数学形象思维的层次及教育功能

蒋晓勇

纵观高中数学知识，给老师、学生“抽象”、“概括”的感觉，的确要学好高中数学需要学生具有很强的抽象思维能力.不过高中生的思维发展水平如何呢？从高中学生学龄特点来看，学生的抽象思维处于发展阶段，还不够成熟，尤其是刚刚步入高一时，学生的思维主体还是形象思维.那么，我们的教学是不是一下子到达抽象思维要求呢？实践经验表明，如果直接跳跃到抽象思维，不符合最近发展区原理，不仅仅不利于数学知识的学习，还会影响高中生数学思维能力的发展，造成严重的学习负担，影响后续学习.笔者认为高中数学教学不可缺失了形象思维，应重视形象思维的教育功能，促进学生的思维发展、数学素养和数学学习兴趣的提升.本文结合案例就形象思维的层次及教育功能进行分析，望能有助于教学实践.

一、数学形象思维的层次

1．几何思维

几何思维是数学形象思维的第一个层次，包括函数图象、平面几何图形和立体几何图形等.该层次的几何思维涉及到的或是直观的几何问题，或是在原有图形上添加辅助线进一步直观化研究，或是将文字表征化为图形表征进行研究，或是把生活中实际问题化为几何问题的研究.

例如，在立体几何中存在着一类问题——折叠问题，将某一平面图形沿一条直线折起，从而形成一个空间图形.接着探究折叠后的空间图形中某些线或面之间的位置关系.解决这类问题就需要在原有图形的基础上做辅助线完成问题的解答.

例1已知矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，沿对角线AC将它折成一个直二面角，求折叠

后AC与BD所成角.

解如图1所示，在折叠前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延长BE至点G，使EG=BE，连结DG,得EG∥DF，EG=DF，得四边形EFDG为平行四边形，得DG∥EF，∠BDG是异面直线AC与BD所成角.折叠后，如图1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，则EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．类几何思维

类几何思维要比几何思维深一个层次，往往是要求学生将问题与头脑中的原有认知和经验形象进行沟通.数学中的“式”、“形”或“结构”通常是对应着的，例如在解决代数问题时运用类几何思维或将代数问题转化为几何问题，或从代数式的结构特征出发，联想与之相似、相近的结构，进行问题解决.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的结构具有联系.

例2已知点P(x,y)满足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求点P的轨迹方程.

解析解决这个问题可以联想到

点P(x,y)到两个定点(0,-3)，(0,3)的距离和为4.又因为4>23，联系到椭圆的定义则可以知道，P点的轨迹应该是椭圆，则其方程为y24+x2=1.

3．意会形象思维

这是形象思维的最高层次，著名数学家阿达玛(Hadamard)说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图像，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不会误入歧途.”阿达玛(Hadamard)所说的“图像”即是意会形象.

二、数学形象思维的教育功能

1．形象思维能培养学生数学学习兴趣

教师应注意在课堂教学中有效地使用形象思维，突出形象思维的直观、形象的特点，就会使更多的学生远离高度抽象的数学.

例如：在介绍诱导公式时，需要学生掌握六组基本公式，抽象而琐碎.若在证得六组公式后，把其特点编成顺口溜：“奇变偶不变，符号看象限”，实践演练后会收到意想不到的效果.

学生在求知过程中，喜欢新鲜、有趣、多样化.因此，学习时配以贴切形象的歌诀，能引起他们的兴趣，且便于记忆.此外，我们还可以通过构图来实现形象化，使数学学习化抽象为具体、化深奥为浅显，激发学生学习数学的兴趣.

2．形象思维能有效促进对数学知识的理解、记忆和提取

为什么学生感觉数学概念学习难，主要原因在于数学概念和法则都很抽象，表象都比较隐晦，学生需要借助于具体的模型和先行组织者，将学习内容“翻译”、“转换”才能被学生直接感知，而要抽象成数学概念还必须借助于数学形象思维才行.

例如，和学生一起学习“函数”概念时，如果不注重实例分析，学生的思维是不积极的，知识理解程度低.笔者认为应该从学生所接触现实生活中具体的对应关系的量、事物出发，激活形象的思维，促进学生对概念的理解.

数学定理的学习和证明同样不应该是纯理性的，也需要数学形象思维的参与.我们在和学生学习了一条数学定理及其证明后，学生是不是真的懂了呢？笔者认为必须从概念的直观含义出发，我们教师要呈现出可视化的图形，给学生展示证明的直观思路.只有建立在直观的思路上，学生的懂才是真正的懂.

其实，从高中数学教材的安排来看，教材注重知识学习过程形象思维的直观呈现.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先从生活中实际例子出发，激活学生头脑中的已有经验，促进学生问题的解决.学生在解决问题的过程中对生活中的问题有了一个整体认识，这个时候给出原理的内容，实现从生活到知识的自然过渡，感受到生活是知识的本源，也体验到了数学定理在现实生活中的价值，提升学生的学习情感.

3．形象思维推动学生思维向深刻性、概括性方向发展

教学中有哪些形象的资源？笔者根据教学实践经验，将形象的资源分为三类：

（1）实物资源：教学中用到的实物、标本，给学生演示的或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.

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纵观高中数学知识，给老师、学生“抽象”、“概括”的感觉，的确要学好高中数学需要学生具有很强的抽象思维能力.不过高中生的思维发展水平如何呢？从高中学生学龄特点来看，学生的抽象思维处于发展阶段，还不够成熟，尤其是刚刚步入高一时，学生的思维主体还是形象思维.那么，我们的教学是不是一下子到达抽象思维要求呢？实践经验表明，如果直接跳跃到抽象思维，不符合最近发展区原理，不仅仅不利于数学知识的学习，还会影响高中生数学思维能力的发展，造成严重的学习负担，影响后续学习.笔者认为高中数学教学不可缺失了形象思维，应重视形象思维的教育功能，促进学生的思维发展、数学素养和数学学习兴趣的提升.本文结合案例就形象思维的层次及教育功能进行分析，望能有助于教学实践.

一、数学形象思维的层次

1．几何思维

几何思维是数学形象思维的第一个层次，包括函数图象、平面几何图形和立体几何图形等.该层次的几何思维涉及到的或是直观的几何问题，或是在原有图形上添加辅助线进一步直观化研究，或是将文字表征化为图形表征进行研究，或是把生活中实际问题化为几何问题的研究.

例如，在立体几何中存在着一类问题——折叠问题，将某一平面图形沿一条直线折起，从而形成一个空间图形.接着探究折叠后的空间图形中某些线或面之间的位置关系.解决这类问题就需要在原有图形的基础上做辅助线完成问题的解答.

例1已知矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，沿对角线AC将它折成一个直二面角，求折叠

后AC与BD所成角.

解如图1所示，在折叠前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延长BE至点G，使EG=BE，连结DG,得EG∥DF，EG=DF，得四边形EFDG为平行四边形，得DG∥EF，∠BDG是异面直线AC与BD所成角.折叠后，如图1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，则EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．类几何思维

类几何思维要比几何思维深一个层次，往往是要求学生将问题与头脑中的原有认知和经验形象进行沟通.数学中的“式”、“形”或“结构”通常是对应着的，例如在解决代数问题时运用类几何思维或将代数问题转化为几何问题，或从代数式的结构特征出发，联想与之相似、相近的结构，进行问题解决.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的结构具有联系.

例2已知点P(x,y)满足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求点P的轨迹方程.

解析解决这个问题可以联想到

点P(x,y)到两个定点(0,-3)，(0,3)的距离和为4.又因为4>23，联系到椭圆的定义则可以知道，P点的轨迹应该是椭圆，则其方程为y24+x2=1.

3．意会形象思维

这是形象思维的最高层次，著名数学家阿达玛(Hadamard)说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图像，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不会误入歧途.”阿达玛(Hadamard)所说的“图像”即是意会形象.

二、数学形象思维的教育功能

1．形象思维能培养学生数学学习兴趣

教师应注意在课堂教学中有效地使用形象思维，突出形象思维的直观、形象的特点，就会使更多的学生远离高度抽象的数学.

例如：在介绍诱导公式时，需要学生掌握六组基本公式，抽象而琐碎.若在证得六组公式后，把其特点编成顺口溜：“奇变偶不变，符号看象限”，实践演练后会收到意想不到的效果.

学生在求知过程中，喜欢新鲜、有趣、多样化.因此，学习时配以贴切形象的歌诀，能引起他们的兴趣，且便于记忆.此外，我们还可以通过构图来实现形象化，使数学学习化抽象为具体、化深奥为浅显，激发学生学习数学的兴趣.

2．形象思维能有效促进对数学知识的理解、记忆和提取

为什么学生感觉数学概念学习难，主要原因在于数学概念和法则都很抽象，表象都比较隐晦，学生需要借助于具体的模型和先行组织者，将学习内容“翻译”、“转换”才能被学生直接感知，而要抽象成数学概念还必须借助于数学形象思维才行.

例如，和学生一起学习“函数”概念时，如果不注重实例分析，学生的思维是不积极的，知识理解程度低.笔者认为应该从学生所接触现实生活中具体的对应关系的量、事物出发，激活形象的思维，促进学生对概念的理解.

数学定理的学习和证明同样不应该是纯理性的，也需要数学形象思维的参与.我们在和学生学习了一条数学定理及其证明后，学生是不是真的懂了呢？笔者认为必须从概念的直观含义出发，我们教师要呈现出可视化的图形，给学生展示证明的直观思路.只有建立在直观的思路上，学生的懂才是真正的懂.

其实，从高中数学教材的安排来看，教材注重知识学习过程形象思维的直观呈现.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先从生活中实际例子出发，激活学生头脑中的已有经验，促进学生问题的解决.学生在解决问题的过程中对生活中的问题有了一个整体认识，这个时候给出原理的内容，实现从生活到知识的自然过渡，感受到生活是知识的本源，也体验到了数学定理在现实生活中的价值，提升学生的学习情感.

3．形象思维推动学生思维向深刻性、概括性方向发展

教学中有哪些形象的资源？笔者根据教学实践经验，将形象的资源分为三类：

（1）实物资源：教学中用到的实物、标本，给学生演示的或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.

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纵观高中数学知识，给老师、学生“抽象”、“概括”的感觉，的确要学好高中数学需要学生具有很强的抽象思维能力.不过高中生的思维发展水平如何呢？从高中学生学龄特点来看，学生的抽象思维处于发展阶段，还不够成熟，尤其是刚刚步入高一时，学生的思维主体还是形象思维.那么，我们的教学是不是一下子到达抽象思维要求呢？实践经验表明，如果直接跳跃到抽象思维，不符合最近发展区原理，不仅仅不利于数学知识的学习，还会影响高中生数学思维能力的发展，造成严重的学习负担，影响后续学习.笔者认为高中数学教学不可缺失了形象思维，应重视形象思维的教育功能，促进学生的思维发展、数学素养和数学学习兴趣的提升.本文结合案例就形象思维的层次及教育功能进行分析，望能有助于教学实践.

一、数学形象思维的层次

1．几何思维

几何思维是数学形象思维的第一个层次，包括函数图象、平面几何图形和立体几何图形等.该层次的几何思维涉及到的或是直观的几何问题，或是在原有图形上添加辅助线进一步直观化研究，或是将文字表征化为图形表征进行研究，或是把生活中实际问题化为几何问题的研究.

例如，在立体几何中存在着一类问题——折叠问题，将某一平面图形沿一条直线折起，从而形成一个空间图形.接着探究折叠后的空间图形中某些线或面之间的位置关系.解决这类问题就需要在原有图形的基础上做辅助线完成问题的解答.

例1已知矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，沿对角线AC将它折成一个直二面角，求折叠

后AC与BD所成角.

解如图1所示，在折叠前的矩形ABCD中，作DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，并延长BE至点G，使EG=BE，连结DG,得EG∥DF，EG=DF，得四边形EFDG为平行四边形，得DG∥EF，∠BDG是异面直线AC与BD所成角.折叠后，如图1所示，仍有EF⊥EG,EF⊥EB，则EF⊥平面BEG，所以∠BEG是折成的二面角的平面角，即∠BEG=90°.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC=5,BE=EG=DF=125,AE=FC=95.得DG=EF=5-2×95=75.在等腰Rt△BGD中，BG=2BE=1225,又DG∥EF，所以得DG⊥平面BEGDG⊥BG.得在Rt△BGD中,

tan∠BDG=BGDG=1227,即得∠BDG=arctan1227.

2．类几何思维

类几何思维要比几何思维深一个层次，往往是要求学生将问题与头脑中的原有认知和经验形象进行沟通.数学中的“式”、“形”或“结构”通常是对应着的，例如在解决代数问题时运用类几何思维或将代数问题转化为几何问题，或从代数式的结构特征出发，联想与之相似、相近的结构，进行问题解决.例如tanα=ab和k=y1-y2x1-x2的结构具有联系.

例2已知点P(x,y)满足x2+(y+3)2+x2+(y-3)2=4，求点P的轨迹方程.

解析解决这个问题可以联想到

点P(x,y)到两个定点(0,-3)，(0,3)的距离和为4.又因为4>23，联系到椭圆的定义则可以知道，P点的轨迹应该是椭圆，则其方程为y24+x2=1.

3．意会形象思维

这是形象思维的最高层次，著名数学家阿达玛(Hadamard)说：“在我所从事的全部数学研究中，我都会构作这样的图像，它一定是一幅模糊的东西，有了这个图，我才不会误入歧途.”阿达玛(Hadamard)所说的“图像”即是意会形象.

二、数学形象思维的教育功能

1．形象思维能培养学生数学学习兴趣

教师应注意在课堂教学中有效地使用形象思维，突出形象思维的直观、形象的特点，就会使更多的学生远离高度抽象的数学.

例如：在介绍诱导公式时，需要学生掌握六组基本公式，抽象而琐碎.若在证得六组公式后，把其特点编成顺口溜：“奇变偶不变，符号看象限”，实践演练后会收到意想不到的效果.

学生在求知过程中，喜欢新鲜、有趣、多样化.因此，学习时配以贴切形象的歌诀，能引起他们的兴趣，且便于记忆.此外，我们还可以通过构图来实现形象化，使数学学习化抽象为具体、化深奥为浅显，激发学生学习数学的兴趣.

2．形象思维能有效促进对数学知识的理解、记忆和提取

为什么学生感觉数学概念学习难，主要原因在于数学概念和法则都很抽象，表象都比较隐晦，学生需要借助于具体的模型和先行组织者，将学习内容“翻译”、“转换”才能被学生直接感知，而要抽象成数学概念还必须借助于数学形象思维才行.

例如，和学生一起学习“函数”概念时，如果不注重实例分析，学生的思维是不积极的，知识理解程度低.笔者认为应该从学生所接触现实生活中具体的对应关系的量、事物出发，激活形象的思维，促进学生对概念的理解.

数学定理的学习和证明同样不应该是纯理性的，也需要数学形象思维的参与.我们在和学生学习了一条数学定理及其证明后，学生是不是真的懂了呢？笔者认为必须从概念的直观含义出发，我们教师要呈现出可视化的图形，给学生展示证明的直观思路.只有建立在直观的思路上，学生的懂才是真正的懂.

其实，从高中数学教材的安排来看，教材注重知识学习过程形象思维的直观呈现.比如“加法原理”、“乘法原理”，教材首先从生活中实际例子出发，激活学生头脑中的已有经验，促进学生问题的解决.学生在解决问题的过程中对生活中的问题有了一个整体认识，这个时候给出原理的内容，实现从生活到知识的自然过渡，感受到生活是知识的本源，也体验到了数学定理在现实生活中的价值，提升学生的学习情感.

3．形象思维推动学生思维向深刻性、概括性方向发展

教学中有哪些形象的资源？笔者根据教学实践经验，将形象的资源分为三类：

（1）实物资源：教学中用到的实物、标本，给学生演示的或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.

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