谈数形结合

刘占科

所谓形到数的转化是指在取定的坐标系下，使点与坐标对应，曲线和方程对应，在此基础上通过对方程的研究分析曲线的性质.而形到数的转化的作用在于可以提高我们使用几何方法解决代数问题的能力.在平常的教学中要让学生深刻理解每一个代数式，每一种代数变形，每一种代数式演算方法的几何意义. 下面通过一个例题说明一下如何用几何方法解决代数问题，实现数到形的转化，以此培养学生创造性思维能力.

例已知：实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范围.

分析本题从代数角度出发是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

则y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

结合x的范围可求出y的范围为[65，43].

当然还可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范围.

下面我们从几何角度考虑一下，实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的几何意义是线段x-y+2=0，x∈[1，3]上的点与点

P（-2，-1）连线的斜率.

如图1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范围为[65，43].

本题的实质是应用了经过两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的直线的斜率k=y2-y1x2-x1的几何意义.通过巧妙构建斜率，使复杂的代数问题转化为形象的几何问题，使问题得到别开生面的巧解.

以上例题是先从代数角度分析，再从几何角度研究.可以发现，代数方法侧重严密的推理和数式的演算，借助函数思想、方程思想解决问题.但使用时比较单调、乏味，有时会陷入烦琐运算，极易使学生感到厌烦.而几何方法则独辟蹊径，教师可以通过几何画板软件，借助软件的动态演示，实现数向形转化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直观形象的规范图形来表达，化枯燥为生动，化抽象为直观，化直观为精确.促使学生的抽象思维和形象思维和谐复合，使问题得到简捷解决.

数向形转化的题目很多，但我们要明确，并不是遇到一个代数问题都能用几何方法来解决，也并不是遇到一个代数问题都有必要用几何方法来解决.给定一个代数问题我们应首先分析这个代数问题是否具备由“数向形”转化的可行性，如果具备了转化的条件再分析有没有转化的必要性.总之，要具体问题具体分析，不能照搬和照抄解题模式.“数向形”的转化为我们解决代数问题提供了一种方法，有时会在“山穷水尽疑无路”的情况下，突现“柳暗花明又一村”的效果.一个代数问题用代数方法解决，还是用几何方法解决，要看哪一种简单易行，能起到化繁为简，化难为易，化抽象为直观，化间接为直接的作用.

数向形的转化是研究和解决数学问题的一种基本的思想方法，通过数向形的转化，把问题中数量关系，转化为图形的大小与位置关系，从而把问题变得简单、具体、直观、容易解决.数向形转化的思想方法是反映学生数学能力、数学素养的重要标志之一.练习使用数向形的转化可以提高分析问题、解决问题的能力.

或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.

所谓形到数的转化是指在取定的坐标系下，使点与坐标对应，曲线和方程对应，在此基础上通过对方程的研究分析曲线的性质.而形到数的转化的作用在于可以提高我们使用几何方法解决代数问题的能力.在平常的教学中要让学生深刻理解每一个代数式，每一种代数变形，每一种代数式演算方法的几何意义. 下面通过一个例题说明一下如何用几何方法解决代数问题，实现数到形的转化，以此培养学生创造性思维能力.

例已知：实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范围.

分析本题从代数角度出发是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

则y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

结合x的范围可求出y的范围为[65，43].

当然还可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范围.

下面我们从几何角度考虑一下，实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的几何意义是线段x-y+2=0，x∈[1，3]上的点与点

P（-2，-1）连线的斜率.

如图1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范围为[65，43].

本题的实质是应用了经过两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的直线的斜率k=y2-y1x2-x1的几何意义.通过巧妙构建斜率，使复杂的代数问题转化为形象的几何问题，使问题得到别开生面的巧解.

以上例题是先从代数角度分析，再从几何角度研究.可以发现，代数方法侧重严密的推理和数式的演算，借助函数思想、方程思想解决问题.但使用时比较单调、乏味，有时会陷入烦琐运算，极易使学生感到厌烦.而几何方法则独辟蹊径，教师可以通过几何画板软件，借助软件的动态演示，实现数向形转化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直观形象的规范图形来表达，化枯燥为生动，化抽象为直观，化直观为精确.促使学生的抽象思维和形象思维和谐复合，使问题得到简捷解决.

数向形转化的题目很多，但我们要明确，并不是遇到一个代数问题都能用几何方法来解决，也并不是遇到一个代数问题都有必要用几何方法来解决.给定一个代数问题我们应首先分析这个代数问题是否具备由“数向形”转化的可行性，如果具备了转化的条件再分析有没有转化的必要性.总之，要具体问题具体分析，不能照搬和照抄解题模式.“数向形”的转化为我们解决代数问题提供了一种方法，有时会在“山穷水尽疑无路”的情况下，突现“柳暗花明又一村”的效果.一个代数问题用代数方法解决，还是用几何方法解决，要看哪一种简单易行，能起到化繁为简，化难为易，化抽象为直观，化间接为直接的作用.

数向形的转化是研究和解决数学问题的一种基本的思想方法，通过数向形的转化，把问题中数量关系，转化为图形的大小与位置关系，从而把问题变得简单、具体、直观、容易解决.数向形转化的思想方法是反映学生数学能力、数学素养的重要标志之一.练习使用数向形的转化可以提高分析问题、解决问题的能力.

或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.

所谓形到数的转化是指在取定的坐标系下，使点与坐标对应，曲线和方程对应，在此基础上通过对方程的研究分析曲线的性质.而形到数的转化的作用在于可以提高我们使用几何方法解决代数问题的能力.在平常的教学中要让学生深刻理解每一个代数式，每一种代数变形，每一种代数式演算方法的几何意义. 下面通过一个例题说明一下如何用几何方法解决代数问题，实现数到形的转化，以此培养学生创造性思维能力.

例已知：实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范围.

分析本题从代数角度出发是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

则y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

结合x的范围可求出y的范围为[65，43].

当然还可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范围.

下面我们从几何角度考虑一下，实数x，y满足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的几何意义是线段x-y+2=0，x∈[1，3]上的点与点

P（-2，-1）连线的斜率.

如图1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范围为[65，43].

本题的实质是应用了经过两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的直线的斜率k=y2-y1x2-x1的几何意义.通过巧妙构建斜率，使复杂的代数问题转化为形象的几何问题，使问题得到别开生面的巧解.

以上例题是先从代数角度分析，再从几何角度研究.可以发现，代数方法侧重严密的推理和数式的演算，借助函数思想、方程思想解决问题.但使用时比较单调、乏味，有时会陷入烦琐运算，极易使学生感到厌烦.而几何方法则独辟蹊径，教师可以通过几何画板软件，借助软件的动态演示，实现数向形转化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直观形象的规范图形来表达，化枯燥为生动，化抽象为直观，化直观为精确.促使学生的抽象思维和形象思维和谐复合，使问题得到简捷解决.

数向形转化的题目很多，但我们要明确，并不是遇到一个代数问题都能用几何方法来解决，也并不是遇到一个代数问题都有必要用几何方法来解决.给定一个代数问题我们应首先分析这个代数问题是否具备由“数向形”转化的可行性，如果具备了转化的条件再分析有没有转化的必要性.总之，要具体问题具体分析，不能照搬和照抄解题模式.“数向形”的转化为我们解决代数问题提供了一种方法，有时会在“山穷水尽疑无路”的情况下，突现“柳暗花明又一村”的效果.一个代数问题用代数方法解决，还是用几何方法解决，要看哪一种简单易行，能起到化繁为简，化难为易，化抽象为直观，化间接为直接的作用.

数向形的转化是研究和解决数学问题的一种基本的思想方法，通过数向形的转化，把问题中数量关系，转化为图形的大小与位置关系，从而把问题变得简单、具体、直观、容易解决.数向形转化的思想方法是反映学生数学能力、数学素养的重要标志之一.练习使用数向形的转化可以提高分析问题、解决问题的能力.

或是和学生一起完成的实验等.

例如，和学生一起学习椭圆的定义时，可以给学生进行简单的实验演示：在竖直平面上固定两个钉子A、B，取一根无弹力绳（绳子的长度大于两钉子的间距），将绳子的两端分别系在A、B上，然后用粉笔拉紧绳在平面上移动，得到图形，不是圆，却又很规则，让学生直观地感受“椭圆”的形态.接着要求学生自己去观察、发现并用形象化的语言对椭圆的特点进行描述，最后再用严格的数学语言进行准确地表达.有了椭圆的认识经验，在此基础上进一步发散，“双曲线”的学习变得简单了，最终掌握“圆锥曲线”的思想方法.

（2）模型资源：教学中用到的模型、挂图、多媒体课件等.

例如，在和学生一起学习“集合间的交、并、补运算”时，给学生提供韦恩图（如图2所示），学生可以十分直观、清晰地看到集合间的关系，有利于知识的理解和运用.

（3）语言资源：数学形象化语言，如概念、定理的文字、符号和图形表征.

我们在教学过程中要根据学生的认知基础科学地设置学习情境，借助于形象思维资源帮助学生从直观的感性认识逐步引导到抽象的数学理性认识.

在数学上，我们必须指出，数学中的形象已经不是形象思维初级阶段的那种形象，即单凭人的感官在所能感知阈限的限度以内的形象，而是在前一步抽象的基础上通过抽象逻辑思维的渗透和数学语言做物质外壳，运用典型化的手段概括出的理想化形象.因此对于数学形象的理解，绝不能仅仅的理解为几何图形，除几何图形之外，它还包括各种试验、实物、模型、表格等，甚至也不排除数学知识在头脑中形成的记忆形象和较直观地揭示问题本质的语言和符号等.如结合数轴解不等式中的数轴；利用图形讲解函数性质的图象；利用韦恩图讲解集合有关知识的韦恩图等均属于数学形象.因此，数学的形象大体属于观念形象的范畴.从这个意义上说，数学形象思维与抽象思维一样属于认识的高级阶段，同样可以揭示、反映事物的本质和规律.