正切函数在高中物理解题中的应用
2014-07-22王良彬
王良彬
高中物理新课标中“应用数学工具处理物理问题的能力”是高中物理教学的重要内容，也是高考物理能力考查的重点.数学中的正切函数反映了直角三角形中边与角之间的关系，在高中物理中，有关物理量之间的关系往往构成直角三角形，运用正切函数可使相关物理问题迎刃而解.本文通过几个实例来说明正切函数在高中物理解题中的重要地位以及巧妙应用.
一、正切函数在物体平衡问题中的应用
例1一块长木板倾斜放置，与水平面间的倾角为θ.当一个质量为m的木块沿着长木板匀速下滑时，试求：木块与长木板间的动摩擦因数μ多大？
分析与解木块沿着长木板匀速下滑时受力如图1所示，且三力的合力为零，则有
N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.
因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.
点评当物体沿斜面下滑时，比较μ和tanθ的大小关系就可以判别物体运动情况.例如：假设斜面的倾角θ＝37°，当μ=tan37°=0.75时，物体就沿斜面匀速下滑；当μ=0.5
二、正切函数在临界问题中的应用
例2有一质量为m的物体静止放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ.现用一个与竖直方向成θ角的推力F去推物体，如图2所示.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.试讨论当θ角满足什么条件时，无论用多大的推力F都不能推动物体？
分析与解物体受力如图3所示，要推不动物体，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.
无论推力F多大，要使此式成立，必须有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.
点评由此可见，无论推力F多大，要使物体都处在静止状态，即物体不会被推动，也就是发生“自锁”现象.因此发生“自锁”现象的条件是：推力与竖直方向的夹角满足tanθ≤μ.
三、正切函数在动力学问题中的应用
例3如图4，一个质量为m的小球用细线悬挂于车厢顶板上，当车厢以加速度a向右做匀加速运动时，则细线偏离竖直方向的角度θ为多大？
分析小球受力如图5所示，由牛顿第二定律得mgtanθ=ma,则tanθ=ag.
四、正切函数在平抛运动中的应用
例4一个质量为m的小球以水平初速度v0抛出，不计空气阻力，最后垂直撞在倾角为θ的斜面上，求小球在空中飞行的时间为多少？
分析小球做平抛运动，其轨迹如图6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向与斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和竖直速度vy组成，则有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飞行的时间为t=v0tanθg.
点评对于平抛运动，首先想到将运动分解到水平方向和竖直方向来研究.而最后小球垂直撞在斜面上，则表明了运动的速度方向与斜面垂直，由图可以发现其三角形中的两个分速度与角θ的关系，利用正切函数得解.
五、正切函数在偏转电场中的应用
例5两块长度为L的金属板水平、平行相对放置，相距为d，如图7所示，两金属板与一个电源相连，使两板带上等量异种电荷，在板间形成一个沿竖直方向的匀强电场，其电场强度大小为E.有一带电量为q、质量为m的带正电的粒子，以水平速度v0从左侧垂直电场方向射入两板之间，不计带电粒子的重力，试求
（1）带电粒子离开电场时的偏转距离为多大？（2）带电粒子离开电场时的偏转角为多大？
分析与解带电粒子在电场中只受到电场力作用，因而做类平抛运动，故将运动分解到：沿垂直于电场方向做匀速运动，速度为v0.
沿电场方向做匀加速直线运动，加速度为a=Fm=qEm.
所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.
带电粒子离开电场时的偏转距离为y=qEL22mv20.
带电粒子离开电场时的偏转角为tanθ=vyvx=qELmv20.
点评带电粒子在电场中做类平抛运动，其分析、处理问题的方法与平抛运动的研究方法相似，都采用运动的分解方法.带电粒子在电场中发生偏转，对于所发生偏转距离以及偏转角的问题，经常涉及到正切函数.并且由上述两个结论我们进一步发现，带电粒子离开电场时的偏转距离与偏转角之间的关系有y=L2tanθ，即：带电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度的交点位于板长的中点.对于一些特殊的结论，我们如果能熟练地掌握并加以适当地利用，对我们解决有关物理问题，提高解题的速度，增强解题能力会大有帮助.
六、正切函数在图象问题中的应用
物理图象具有形象、直观、简洁明了的特点，它能形象直观地展示出物理情景以及各物理量间的函数关系.应用物理图象来解题可以起到简便快捷，使较为复杂的问题变得形象易懂.通过理解、分析图像能帮助我们弄清具体的物理过程，构建物理情景，探寻物理量之间的函数关系，达到数与形相结合.物理图象不仅是分析、计算的工具，而且对于物理概念和规律的形成以及运用物理知识来解决实际问题.同时，图像问题也是当前高考热点和重点.在许多情况下，由于物理量间是线性函数关系，其物理图象往往可用一条直线来表示，解题时经常涉及到直线倾角的正切函数（即直线的斜率）.
例如，物体做匀速直线运动时我们会用到位移-时间的图象（x-t图象）如图8所示，反映物体的位移随时间的变化关系，其斜率表示物体运动的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物体做匀加速直线运动时，用到速度－时间的图象（v-t图象）如图9所示，反映物体运动的速度随时间的变化关系，则斜率表示物体运动的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.
再如,一导体的电流与电压的关系如图10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示导体的电阻R.闭合电路的路端电压与电流关系如图11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，则表示电源的内电阻r.
通过上述例子的分析表明正切函数在高中物理解题中有着广泛应用.我们在解决实际物理问题的过程中，通过作图，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理规律等基础知识外，还需要具有灵活运用数学方法和数学技巧，做到“数形结合”、“数理结合”，以拓展解题的思路，不断提高自己灵活运用数学知识解决物理问题的能力.
高中物理新课标中“应用数学工具处理物理问题的能力”是高中物理教学的重要内容，也是高考物理能力考查的重点.数学中的正切函数反映了直角三角形中边与角之间的关系，在高中物理中，有关物理量之间的关系往往构成直角三角形，运用正切函数可使相关物理问题迎刃而解.本文通过几个实例来说明正切函数在高中物理解题中的重要地位以及巧妙应用.
一、正切函数在物体平衡问题中的应用
例1一块长木板倾斜放置，与水平面间的倾角为θ.当一个质量为m的木块沿着长木板匀速下滑时，试求：木块与长木板间的动摩擦因数μ多大？
分析与解木块沿着长木板匀速下滑时受力如图1所示，且三力的合力为零，则有
N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.
因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.
点评当物体沿斜面下滑时，比较μ和tanθ的大小关系就可以判别物体运动情况.例如：假设斜面的倾角θ＝37°，当μ=tan37°=0.75时，物体就沿斜面匀速下滑；当μ=0.5
二、正切函数在临界问题中的应用
例2有一质量为m的物体静止放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ.现用一个与竖直方向成θ角的推力F去推物体，如图2所示.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.试讨论当θ角满足什么条件时，无论用多大的推力F都不能推动物体？
分析与解物体受力如图3所示，要推不动物体，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.
无论推力F多大，要使此式成立，必须有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.
点评由此可见，无论推力F多大，要使物体都处在静止状态，即物体不会被推动，也就是发生“自锁”现象.因此发生“自锁”现象的条件是：推力与竖直方向的夹角满足tanθ≤μ.
三、正切函数在动力学问题中的应用
例3如图4，一个质量为m的小球用细线悬挂于车厢顶板上，当车厢以加速度a向右做匀加速运动时，则细线偏离竖直方向的角度θ为多大？
分析小球受力如图5所示，由牛顿第二定律得mgtanθ=ma,则tanθ=ag.
四、正切函数在平抛运动中的应用
例4一个质量为m的小球以水平初速度v0抛出，不计空气阻力，最后垂直撞在倾角为θ的斜面上，求小球在空中飞行的时间为多少？
分析小球做平抛运动，其轨迹如图6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向与斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和竖直速度vy组成，则有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飞行的时间为t=v0tanθg.
点评对于平抛运动，首先想到将运动分解到水平方向和竖直方向来研究.而最后小球垂直撞在斜面上，则表明了运动的速度方向与斜面垂直，由图可以发现其三角形中的两个分速度与角θ的关系，利用正切函数得解.
五、正切函数在偏转电场中的应用
例5两块长度为L的金属板水平、平行相对放置，相距为d，如图7所示，两金属板与一个电源相连，使两板带上等量异种电荷，在板间形成一个沿竖直方向的匀强电场，其电场强度大小为E.有一带电量为q、质量为m的带正电的粒子，以水平速度v0从左侧垂直电场方向射入两板之间，不计带电粒子的重力，试求
（1）带电粒子离开电场时的偏转距离为多大？（2）带电粒子离开电场时的偏转角为多大？
分析与解带电粒子在电场中只受到电场力作用，因而做类平抛运动，故将运动分解到：沿垂直于电场方向做匀速运动，速度为v0.
沿电场方向做匀加速直线运动，加速度为a=Fm=qEm.
所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.
带电粒子离开电场时的偏转距离为y=qEL22mv20.
带电粒子离开电场时的偏转角为tanθ=vyvx=qELmv20.
点评带电粒子在电场中做类平抛运动，其分析、处理问题的方法与平抛运动的研究方法相似，都采用运动的分解方法.带电粒子在电场中发生偏转，对于所发生偏转距离以及偏转角的问题，经常涉及到正切函数.并且由上述两个结论我们进一步发现，带电粒子离开电场时的偏转距离与偏转角之间的关系有y=L2tanθ，即：带电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度的交点位于板长的中点.对于一些特殊的结论，我们如果能熟练地掌握并加以适当地利用，对我们解决有关物理问题，提高解题的速度，增强解题能力会大有帮助.
六、正切函数在图象问题中的应用
物理图象具有形象、直观、简洁明了的特点，它能形象直观地展示出物理情景以及各物理量间的函数关系.应用物理图象来解题可以起到简便快捷，使较为复杂的问题变得形象易懂.通过理解、分析图像能帮助我们弄清具体的物理过程，构建物理情景，探寻物理量之间的函数关系，达到数与形相结合.物理图象不仅是分析、计算的工具，而且对于物理概念和规律的形成以及运用物理知识来解决实际问题.同时，图像问题也是当前高考热点和重点.在许多情况下，由于物理量间是线性函数关系，其物理图象往往可用一条直线来表示，解题时经常涉及到直线倾角的正切函数（即直线的斜率）.
例如，物体做匀速直线运动时我们会用到位移-时间的图象（x-t图象）如图8所示，反映物体的位移随时间的变化关系，其斜率表示物体运动的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物体做匀加速直线运动时，用到速度－时间的图象（v-t图象）如图9所示，反映物体运动的速度随时间的变化关系，则斜率表示物体运动的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.
再如,一导体的电流与电压的关系如图10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示导体的电阻R.闭合电路的路端电压与电流关系如图11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，则表示电源的内电阻r.
通过上述例子的分析表明正切函数在高中物理解题中有着广泛应用.我们在解决实际物理问题的过程中，通过作图，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理规律等基础知识外，还需要具有灵活运用数学方法和数学技巧，做到“数形结合”、“数理结合”，以拓展解题的思路，不断提高自己灵活运用数学知识解决物理问题的能力.
高中物理新课标中“应用数学工具处理物理问题的能力”是高中物理教学的重要内容，也是高考物理能力考查的重点.数学中的正切函数反映了直角三角形中边与角之间的关系，在高中物理中，有关物理量之间的关系往往构成直角三角形，运用正切函数可使相关物理问题迎刃而解.本文通过几个实例来说明正切函数在高中物理解题中的重要地位以及巧妙应用.
一、正切函数在物体平衡问题中的应用
例1一块长木板倾斜放置，与水平面间的倾角为θ.当一个质量为m的木块沿着长木板匀速下滑时，试求：木块与长木板间的动摩擦因数μ多大？
分析与解木块沿着长木板匀速下滑时受力如图1所示，且三力的合力为零，则有
N=mgcosθ，f=μN=mgsinθ.
因此有mgsinθ=μmgcosθ,得μ=tanθ.
点评当物体沿斜面下滑时，比较μ和tanθ的大小关系就可以判别物体运动情况.例如：假设斜面的倾角θ＝37°，当μ=tan37°=0.75时，物体就沿斜面匀速下滑；当μ=0.5
二、正切函数在临界问题中的应用
例2有一质量为m的物体静止放在水平地面上，物体与水平地面间的动摩擦因数为μ.现用一个与竖直方向成θ角的推力F去推物体，如图2所示.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.试讨论当θ角满足什么条件时，无论用多大的推力F都不能推动物体？
分析与解物体受力如图3所示，要推不动物体，有：Fx≤fmax，即Fsinθ≤μN=μ(mg+Fcosθ),得到 F(sinθ-μcosθ)≤μmg.
无论推力F多大，要使此式成立，必须有：sinθ-μcosθ≤0, 即 tanθ≤μ.
点评由此可见，无论推力F多大，要使物体都处在静止状态，即物体不会被推动，也就是发生“自锁”现象.因此发生“自锁”现象的条件是：推力与竖直方向的夹角满足tanθ≤μ.
三、正切函数在动力学问题中的应用
例3如图4，一个质量为m的小球用细线悬挂于车厢顶板上，当车厢以加速度a向右做匀加速运动时，则细线偏离竖直方向的角度θ为多大？
分析小球受力如图5所示，由牛顿第二定律得mgtanθ=ma,则tanθ=ag.
四、正切函数在平抛运动中的应用
例4一个质量为m的小球以水平初速度v0抛出，不计空气阻力，最后垂直撞在倾角为θ的斜面上，求小球在空中飞行的时间为多少？
分析小球做平抛运动，其轨迹如图6，最后小球垂直撞在斜面上，即其速度方向与斜面垂直，而速度v是由水平速度vx和竖直速度vy组成，则有tanθ=vyvx=gtv0,所以小球在空中飞行的时间为t=v0tanθg.
点评对于平抛运动，首先想到将运动分解到水平方向和竖直方向来研究.而最后小球垂直撞在斜面上，则表明了运动的速度方向与斜面垂直，由图可以发现其三角形中的两个分速度与角θ的关系，利用正切函数得解.
五、正切函数在偏转电场中的应用
例5两块长度为L的金属板水平、平行相对放置，相距为d，如图7所示，两金属板与一个电源相连，使两板带上等量异种电荷，在板间形成一个沿竖直方向的匀强电场，其电场强度大小为E.有一带电量为q、质量为m的带正电的粒子，以水平速度v0从左侧垂直电场方向射入两板之间，不计带电粒子的重力，试求
（1）带电粒子离开电场时的偏转距离为多大？（2）带电粒子离开电场时的偏转角为多大？
分析与解带电粒子在电场中只受到电场力作用，因而做类平抛运动，故将运动分解到：沿垂直于电场方向做匀速运动，速度为v0.
沿电场方向做匀加速直线运动，加速度为a=Fm=qEm.
所以有L=v0t,vx=v0,y=12at2,vy=at.
带电粒子离开电场时的偏转距离为y=qEL22mv20.
带电粒子离开电场时的偏转角为tanθ=vyvx=qELmv20.
点评带电粒子在电场中做类平抛运动，其分析、处理问题的方法与平抛运动的研究方法相似，都采用运动的分解方法.带电粒子在电场中发生偏转，对于所发生偏转距离以及偏转角的问题，经常涉及到正切函数.并且由上述两个结论我们进一步发现，带电粒子离开电场时的偏转距离与偏转角之间的关系有y=L2tanθ，即：带电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度的交点位于板长的中点.对于一些特殊的结论，我们如果能熟练地掌握并加以适当地利用，对我们解决有关物理问题，提高解题的速度，增强解题能力会大有帮助.
六、正切函数在图象问题中的应用
物理图象具有形象、直观、简洁明了的特点，它能形象直观地展示出物理情景以及各物理量间的函数关系.应用物理图象来解题可以起到简便快捷，使较为复杂的问题变得形象易懂.通过理解、分析图像能帮助我们弄清具体的物理过程，构建物理情景，探寻物理量之间的函数关系，达到数与形相结合.物理图象不仅是分析、计算的工具，而且对于物理概念和规律的形成以及运用物理知识来解决实际问题.同时，图像问题也是当前高考热点和重点.在许多情况下，由于物理量间是线性函数关系，其物理图象往往可用一条直线来表示，解题时经常涉及到直线倾角的正切函数（即直线的斜率）.
例如，物体做匀速直线运动时我们会用到位移-时间的图象（x-t图象）如图8所示，反映物体的位移随时间的变化关系，其斜率表示物体运动的速度，tanθ=ΔxΔt=v；物体做匀加速直线运动时，用到速度－时间的图象（v-t图象）如图9所示，反映物体运动的速度随时间的变化关系，则斜率表示物体运动的加速度，tanθ=ΔvΔt=a.
再如,一导体的电流与电压的关系如图10所示，其斜率tanθ=ΔUΔI=R，表示导体的电阻R.闭合电路的路端电压与电流关系如图11所示，其斜率：tanθ=ΔUΔI=r，则表示电源的内电阻r.
通过上述例子的分析表明正切函数在高中物理解题中有着广泛应用.我们在解决实际物理问题的过程中，通过作图，建立清晰的物理情景和物理模型，除了需要牢固掌握物理概念和物理规律等基础知识外，还需要具有灵活运用数学方法和数学技巧，做到“数形结合”、“数理结合”，以拓展解题的思路，不断提高自己灵活运用数学知识解决物理问题的能力.
