在几何光学中感受感性与理性的统一

马国伟

笔者想通过这一课使学生认识到物理学习中也需要感性图形的辅助

【新课引入】人类对事物的认知一般都是从感性到理性，从具体到抽象，今天我们体验几何光学中的感性与理性

【进入新课】

一、由感性到理性表述几何光学概念规律

（1）感性图形的表述

曾经有位同学问过这样一个问题：光线发生全发射为什么一定要从光密介质射向光疏介质才会发生呢？

在光线由光疏介质进入光密介质时折射角小于入射角，在光线由光密介质进入光疏介质时折射角大于入射角.所以光线由光疏介质进入光密介质一定有折射光线，但光线由光密介质进入光疏介质时，如果入射角达到一定大小，折射角会达到或超过90°，此时发生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介质折射率等于真空中的（或空气中的）除以介质中的

;③全反射时 sinC=1n.

二、由感性到理性解决几何光学问题

例1（2011年苏锡常镇一模）一组平行的细激光束，垂直于半圆柱玻璃的平面射到放于真空中的半圆柱玻璃上，如图3所示．已知光线I沿直线穿过玻璃，它的入射点是O，光线Ⅱ的入射点为A，穿过玻璃后两条光线交于一点．已知玻璃截面的圆半径为R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速为c．求：

①两条光线射出玻璃后的交点与O点的距离；

②光线Ⅱ从A点入射到与光线I相交所用的时间．

解析①作出光路图如图4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由几何关系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,带入可得 t=5R2c.

备注本题第一问的难点为规范作图中的法线为半径，如这一关突破则是第二关几何关系中△OBP底脚为30°的等腰三角形.可能会有不少学生解决不了.第二问的难度则在于求时间时学生很可能会忘记光线在介质中的速度不是c.所以本题学生的正误不容乐观.

从例题中我们可以看到，要解决几何光学问题需要3步:

（1）根据题意作出光路图——感性的图形;

（2）根据题意，利用光路图寻找几何关系——理性的抽象;

（3）根据对问题的分析写表达式，并根据必要的推理写表达式求解——问题的解决.

例2（2013年江苏高考）图5为单反照相机取景器的示意图, ABCDE五棱镜的一个截面AB⊥BC. 光线垂直AB 射入,分别在CD和EA上发生反射,且两次反射的入射角相等,最后光线垂直BC射出.若两次反射都为全反射,则该五棱镜折射率的最小值是多少?(计算结果可用三角函数表示)

解析作出光路图如右图所示.设光线到达CD边的入射角为i，因在CD边和AE边反射，且两次反射角相等.由几何关系可得4i=90°,所以i=22.5°，根据sinC=1n，所以折射率的最小值为nmin=1sin22.5°.

备注本题的重点在于光路的规范作图①法线用虚线作图.②光线实线箭头标示.本题最大的难点在于学生作图时需要将五棱镜中的入射光线和出射光线先行画好.

例3（2010年重庆高考）如图7所示，空气中有一折射率为2的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB.一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则圆弧AB上有光透出部分的弧长为().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假设从E点入射的光线经折射到达D点为光线发生全反射的临界点，此时有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射区域圆心角α=45°.

所以圆弧长为B.

本题有一个难点一个易错点，难点为学生能不能找到临界条件，易错点为从O点入射的光线为圆弧出射光线的最低点.

从感性到理性，从具体到抽象，这是人类认识世界的过程，也是研究物理问题的过程.几何光学很好的诠释了这一过程，其他的部分也在做着诠释，比如动力学问题作出受力分析图和运动过程图，电路问题的电路图，电磁学中的电场线和磁感线等.请同学们在以后的物理学习中要勤于作图将抽象复杂的物理问题转化为具体感性的图形分析，以达到解决物理问题的目的.

笔者想通过这一课使学生认识到物理学习中也需要感性图形的辅助

【新课引入】人类对事物的认知一般都是从感性到理性，从具体到抽象，今天我们体验几何光学中的感性与理性

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一、由感性到理性表述几何光学概念规律

（1）感性图形的表述

曾经有位同学问过这样一个问题：光线发生全发射为什么一定要从光密介质射向光疏介质才会发生呢？

在光线由光疏介质进入光密介质时折射角小于入射角，在光线由光密介质进入光疏介质时折射角大于入射角.所以光线由光疏介质进入光密介质一定有折射光线，但光线由光密介质进入光疏介质时，如果入射角达到一定大小，折射角会达到或超过90°，此时发生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介质折射率等于真空中的（或空气中的）除以介质中的

;③全反射时 sinC=1n.

二、由感性到理性解决几何光学问题

例1（2011年苏锡常镇一模）一组平行的细激光束，垂直于半圆柱玻璃的平面射到放于真空中的半圆柱玻璃上，如图3所示．已知光线I沿直线穿过玻璃，它的入射点是O，光线Ⅱ的入射点为A，穿过玻璃后两条光线交于一点．已知玻璃截面的圆半径为R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速为c．求：

①两条光线射出玻璃后的交点与O点的距离；

②光线Ⅱ从A点入射到与光线I相交所用的时间．

解析①作出光路图如图4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由几何关系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,带入可得 t=5R2c.

备注本题第一问的难点为规范作图中的法线为半径，如这一关突破则是第二关几何关系中△OBP底脚为30°的等腰三角形.可能会有不少学生解决不了.第二问的难度则在于求时间时学生很可能会忘记光线在介质中的速度不是c.所以本题学生的正误不容乐观.

从例题中我们可以看到，要解决几何光学问题需要3步:

（1）根据题意作出光路图——感性的图形;

（2）根据题意，利用光路图寻找几何关系——理性的抽象;

（3）根据对问题的分析写表达式，并根据必要的推理写表达式求解——问题的解决.

例2（2013年江苏高考）图5为单反照相机取景器的示意图, ABCDE五棱镜的一个截面AB⊥BC. 光线垂直AB 射入,分别在CD和EA上发生反射,且两次反射的入射角相等,最后光线垂直BC射出.若两次反射都为全反射,则该五棱镜折射率的最小值是多少?(计算结果可用三角函数表示)

解析作出光路图如右图所示.设光线到达CD边的入射角为i，因在CD边和AE边反射，且两次反射角相等.由几何关系可得4i=90°,所以i=22.5°，根据sinC=1n，所以折射率的最小值为nmin=1sin22.5°.

备注本题的重点在于光路的规范作图①法线用虚线作图.②光线实线箭头标示.本题最大的难点在于学生作图时需要将五棱镜中的入射光线和出射光线先行画好.

例3（2010年重庆高考）如图7所示，空气中有一折射率为2的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB.一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则圆弧AB上有光透出部分的弧长为().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假设从E点入射的光线经折射到达D点为光线发生全反射的临界点，此时有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射区域圆心角α=45°.

所以圆弧长为B.

本题有一个难点一个易错点，难点为学生能不能找到临界条件，易错点为从O点入射的光线为圆弧出射光线的最低点.

从感性到理性，从具体到抽象，这是人类认识世界的过程，也是研究物理问题的过程.几何光学很好的诠释了这一过程，其他的部分也在做着诠释，比如动力学问题作出受力分析图和运动过程图，电路问题的电路图，电磁学中的电场线和磁感线等.请同学们在以后的物理学习中要勤于作图将抽象复杂的物理问题转化为具体感性的图形分析，以达到解决物理问题的目的.

笔者想通过这一课使学生认识到物理学习中也需要感性图形的辅助

【新课引入】人类对事物的认知一般都是从感性到理性，从具体到抽象，今天我们体验几何光学中的感性与理性

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一、由感性到理性表述几何光学概念规律

（1）感性图形的表述

曾经有位同学问过这样一个问题：光线发生全发射为什么一定要从光密介质射向光疏介质才会发生呢？

在光线由光疏介质进入光密介质时折射角小于入射角，在光线由光密介质进入光疏介质时折射角大于入射角.所以光线由光疏介质进入光密介质一定有折射光线，但光线由光密介质进入光疏介质时，如果入射角达到一定大小，折射角会达到或超过90°，此时发生全反射.

（2）理性抽象的表述:①反射角等于入射角i=β;

②折射率：n=sinisinr=cv介质折射率等于真空中的（或空气中的）除以介质中的

;③全反射时 sinC=1n.

二、由感性到理性解决几何光学问题

例1（2011年苏锡常镇一模）一组平行的细激光束，垂直于半圆柱玻璃的平面射到放于真空中的半圆柱玻璃上，如图3所示．已知光线I沿直线穿过玻璃，它的入射点是O，光线Ⅱ的入射点为A，穿过玻璃后两条光线交于一点．已知玻璃截面的圆半径为R，OA=R2，玻璃的折射率n=3，真空光速为c．求：

①两条光线射出玻璃后的交点与O点的距离；

②光线Ⅱ从A点入射到与光线I相交所用的时间．

解析①作出光路图如图4所示.

sinθ1=OAOB=12,由n=sinθ2sinθ1，所以θ2=60°.

由几何关系可得OB=BP，所以OP=2Rcos30°=3R.

②t=tAB+tBP，v=cn，tAB=ABv， tBP=BPc,带入可得 t=5R2c.

备注本题第一问的难点为规范作图中的法线为半径，如这一关突破则是第二关几何关系中△OBP底脚为30°的等腰三角形.可能会有不少学生解决不了.第二问的难度则在于求时间时学生很可能会忘记光线在介质中的速度不是c.所以本题学生的正误不容乐观.

从例题中我们可以看到，要解决几何光学问题需要3步:

（1）根据题意作出光路图——感性的图形;

（2）根据题意，利用光路图寻找几何关系——理性的抽象;

（3）根据对问题的分析写表达式，并根据必要的推理写表达式求解——问题的解决.

例2（2013年江苏高考）图5为单反照相机取景器的示意图, ABCDE五棱镜的一个截面AB⊥BC. 光线垂直AB 射入,分别在CD和EA上发生反射,且两次反射的入射角相等,最后光线垂直BC射出.若两次反射都为全反射,则该五棱镜折射率的最小值是多少?(计算结果可用三角函数表示)

解析作出光路图如右图所示.设光线到达CD边的入射角为i，因在CD边和AE边反射，且两次反射角相等.由几何关系可得4i=90°,所以i=22.5°，根据sinC=1n，所以折射率的最小值为nmin=1sin22.5°.

备注本题的重点在于光路的规范作图①法线用虚线作图.②光线实线箭头标示.本题最大的难点在于学生作图时需要将五棱镜中的入射光线和出射光线先行画好.

例3（2010年重庆高考）如图7所示，空气中有一折射率为2的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB.一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光．若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则圆弧AB上有光透出部分的弧长为().

A.16πRB.14πRC.13πR D.512πR

解析假设从E点入射的光线经折射到达D点为光线发生全反射的临界点，此时有θ=30°， ODE=45°，所以∠DOA=15°.

又β=30°，所以出射区域圆心角α=45°.

所以圆弧长为B.

本题有一个难点一个易错点，难点为学生能不能找到临界条件，易错点为从O点入射的光线为圆弧出射光线的最低点.

从感性到理性，从具体到抽象，这是人类认识世界的过程，也是研究物理问题的过程.几何光学很好的诠释了这一过程，其他的部分也在做着诠释，比如动力学问题作出受力分析图和运动过程图，电路问题的电路图，电磁学中的电场线和磁感线等.请同学们在以后的物理学习中要勤于作图将抽象复杂的物理问题转化为具体感性的图形分析，以达到解决物理问题的目的.