关于多圆盘 Hardy空间上本性正规的 Beurling型商模的一些探讨

庄春明，戴星超

（浙江师范大学 数学系， 浙江 金华 321004）

关于多圆盘 Hardy空间上本性正规的 Beurling型商模的一些探讨

庄春明，戴星超

（浙江师范大学 数学系， 浙江 金华 321004）

本文主要讨论了多圆盘 Hardy 空间上本性正规的 Beurling 型商模，并得到了 Beurling 型商模本性正规的一个 必要条件.

Hardy 空间；Beurling 型商模；多圆盘

0 引言

设 D={z∈C:|z|<1}是复平面 C中的单位圆盘,Cn是 C上的线性空间,Cn中的单位多圆盘记为 Dn,设 Tn是 Dn的特征边界,其中 Dn和 Tn分别是 D和 T的 n重 Descartes乘积.记dσ 是 Tn的正规 Haar测度,Lp(Tn)=Lp(Tn,dσ)是 Tn的 Le-besgue可测空间.H2(Dn)表示 L2(Tn)上全体解析多项式的闭包.

Douglas和 Paulsen[1]引入了 Hilbert模的概念,并使用模理论方法研究了算子理论问题.Arveson[2]将本性正规 Hilbert模定义为:如果 Hilbert模 N的自伴交换子都是紧的,那么称 N是本性正规的.一个自然的问题是,哪些商模是本性正规的?人们发现,大部分单位球上的 Hardy模、Bergman模和 d-位移的 Hilbert模甚至一些子模是本性正规的[1,2].但对于多圆盘情形,这方面结果有很大差异.Douglas和 Misra[3]证明了商模]是本性正规的.Guo和 Wang[4]后来刻画了双圆盘本性正规的 Beurling型商模.本文将讨论该结果[4]在多圆盘的情形.首先,简单介绍本文涉及到的基础知识.

设(Mz1,Mz2,…,Mzn)为 H2(Dn)上的多元坐标算子组,则 H2(Dn)在多项式环 C[z1,z2,…,zn]作用下的一个 Hilbert模.设 η 是一个内函数,M=[η]=ηH2(Dn)是由 η 生成的 Guo和 Wang[4]所谓的 Beurling型子模,而商模称为 Beurling型商模.设 Pη是到 N的投影,则,则商模N是一个 Hilbert模,模结构为设，对于 i=1,2,…,n,H2(D)在 zi∈D的 正规再生核 为)在 z的正规再生核为

1 主要结果

本节先介绍三圆盘上的自伴交换子在 Beurling型商模N为紧算子的性质,再推广到多圆盘,最后给出 Beurling型商模本性正规的必要条件.对于 1≤k≤n,记

于是

因此〈

结合 η*的定义,对于任意

通过类似的证明方法,这个结果可以推广到多圆盘.

定 理 2 设 η 是一个内函数,Beurling型商模 N本性正规,则，其中 m∈M且 φ(ω)是至多(1,1,L,1)阶的多项式.

Guo和 Wang[6]后来发现，三圆盘及以上多圆盘的齐次商模不是本性正规的.根据定理 2,我们猜测三圆盘及以上多圆盘 Beurling型商模也不是本性正规的.

〔1〕R.Douglas,V.Paulsen,Hilbert Modules over Function Algebras [M].New--York:Longman Scientific& Technical,1989.

〔2〕W.Arveson,Quotient of standard Hilbert modules[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2007,359(12):6027-6055.

〔3〕R.Douglas,G.Misra,Some Calculations for Hilbert modules [J].Journal of O rissa Mathematical Society, 1993:1-11.

〔4〕K.Guo,K.Wang,Beurling type quotient modules over the bidisk and boun- -dary representations[J]. Journal of Functional Analysis,2009,257(10):3218-3238.

〔5〕W.Rudin,Function Theory in Polydiscs [M].New York:Benjam in,1969:110-114.

〔6〕K.Guo K,P.Wang,Essentially normal Hilbert modules and K-homology IV:Quasi-homogenous quotient modules of Hardy module on the polydisks[J].Science China Mathematics,2012,55(8):1613-1626.

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1673-260X（2014）08-0011-02