基于谱图和约束NMF的滚动轴承特征频谱提取算法

崔得龙,张清华,肖明,王磊

(1．广东石油化工学院 计算机与电子信息学院，广东 茂名 525000；2．广东省石化装备故障诊断重点实验室，广东 茂名 525000；3．太原理工大学 信息工程学院， 太原 030024)

信号的时频分析是信号处理的一个重要领域，其研究对象主要是非平稳信号。时频分析的任务是描述信号的频谱如何在时间上变化，研究并了解时变频谱在数学和物理之间的对应关系，构造合适的时频分布并进行恰当的处理，达到不同的信号处理目的。因此，寻找合适的、性能优良的时频分布是非平稳信号分析与处理的重要研究内容。目前，研究非平稳信号常用的方法有短时Fourier变换、Wigner-Will分布、科恩类等，不同分析方法具有不同的特点和应用范围。

短时Fourier变换[1]通过选取适当的窗函数，可实现一定程度上的时频分析，而且通过短时Fourier变换建立起来的频谱图是最简单、最直观的一种时频分布，但在分析非平稳信号时，时间分辨率和频率分辨率要受到窗函数宽度的限制，不能同时达到最优；Wigner-Will分布[2]和科恩类时频分布虽然具有良好的时频特性，可以准确估计信号瞬时频率、瞬时带宽等时频参数，但存在交叉干扰项，影响了实际应用范围；除此之外，非平稳信号分析与处理还包括时变谱估计技术和最优过滤技术在非平稳信号处理中的延伸和发展，以及特殊平稳信号的平稳化处理、循环平稳信号分析与处理等重要专题。

非负矩阵分解(Non-Negative Matrix Factorizations, NMF)[3]是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法，这种非负性条件符合许多实际问题的要求。NMF区别于主分量分析、线性鉴别分析、投影寻踪、因子分析、冗余归纳、独立分量分析等常用的信号变换方法，其使分解后的所有分量均为非负值(纯加性)，并同时实现了非线性的维数约减。这种非负性的限制导致了相应描述在一定程度上的稀疏性，更能体现智能数据处理的本质。纯加性和稀疏性使得对数据的描述变得方便与合理，同时还在一定程度上抑制了外界变化对特征提取造成的影响，所以NMF已逐渐成为信号处理、生物医学工程、模式识别、计算机视觉和图像工程等研究领域中应用广泛的多维数据处理工具[3-7]。

为了克服传统时频分析中信号特征频谱提取技术的参数敏感问题，设计了一种基于谱图和约束NMF(CNMF)的特征频谱提取算法。该算法首先对振动信号进行归一化预处理和短时Fourier变换，获得代表非平稳信号特性的瞬时参数即谱图；然后对谱图进行CNMF分解；最后由分解得到的基矩阵获得原始振动信号的特征频谱；并对其可行性和有效性进行了试验验证。

1 非负矩阵分解

1.1 NMF

定义：对一个M维的随机向量v进行N次观测，记为vj,j=1,2,…,N，取V=[V·1,V·2,…,V·N]，其中V·j=vj[6]，则要求存在非负的M×L的基矩阵W=[W·1,W·2,…,W·N]和L×N的系数矩阵H=[H·1,H·2,…,H·N]使V≈W·H[8]。

显然，NMF是用非负约束来获取数据表示的一种方法。由于它只允许数据是原始数据的加性组合，因此被称为基于部分的特征提取方法。通常要求L≤min(M,N)，即当W包含随机变量的本质特征时，才能使用较少的基数据去描述大量的样本数据，使V≈W·H成立。

NMF的实现是一个优化求解的过程，文献[9]证明了NMF存在唯一解的条件。基本思想是合理地构造目标函数，交替地优化W和H，从而得到NMF的一个局部最优解。算法的关键是目标函数的设定和迭代规则的选择。目标函数为最小化‖V-W·H‖2，对于任意W，H，当W,H≥0时迭代规则为

1.2 CNMF

对于特征频谱提取问题，如果除V≈W·H这一非负分解式之外，没有其他有关源信号的先验知识，则存在特征频谱提取结果不唯一的问题。在实际应用中，特征频谱提取通常要求提取的信号频谱数量最少且独立性最大。因此，引入约束条件[10]

(1)

式中：ε为预先设定的允许误差最小值；L的最小值即为提取的特征频谱数。(1) 式为典型的线性优化问题，其迭代计算公式为

(2)

(3)

(4)

式中：λ为搜索步长；dij为可行下降方向dj的元素，类似可得d′i的计算公式。

2 算法设计

基于谱图和CNMF的特征频谱提取算法的具体步骤如下。

(1)预处理，将采集到的振动信号进行归一化预处理，得到归一化振动信号

(5)

(2)归一化振动信号时频分析获得代表归一化振动信号特性的瞬时参数，即谱图。首先对归一化振动信号进行短时Fourier变换

(6)

式中：h(t)为窗函数。然后计算谱图

(7)

谱图为信号实值、非负的二次型分布，且具有时移和频移不变性。

(3)对谱图进行CNMF分解

SS≈W·H。

(8)

由于信号谱图数值非负，因此可直接应用非负矩阵分解进行变换，无需进行任何额外处理。在进行信号谱图CNMF分解时，设定允许的收敛误差ε和初始步长λ，将分解所得的基矩阵W进行表达，即获得原始机械振动信号的特征频谱。由于信号谱图具有时移和频移不变性，分解结果的表达也包含有原始信号时间和频率的信息。

组合式旋转机械复合故障诊断试验装置如图1所示，使用EMT490测振设备测量试验对象的振动加速度信号。利用上述算法进行特征频谱提取，结果如图2所示。

图1 组合式旋转机械复合故障诊断试验装置

对比图2b和图2d，图2b的提取结果包含了原始振动加速度信号的所有频谱分量，由于原始振动加速度信号成因复杂，频谱分量数目众多，不易进一步频谱分析；图2d提取的特征频谱包含了原始频谱图中的绝大部分信息，同时有效的抑制了外界噪声的干扰。

图2 特征频谱提取效果图

3 试验结果

3.1 仿真试验

按照表1选取不同组合的统计相关或统计无关混合源信号，利用所设计的算法进行仿真试验，其中f1=10 Hz，f2=20 Hz，f3=30 Hz，f4=40 Hz，f5=50 Hz，f6=60 Hz，f7=70 Hz，f8=80 Hz，混合信号时长t=10 s，采样频率fs=200 Hz。仿真试验计算机硬件配置为Intel(R) Core(TM)2 Duo CPU(2.93GHz)，3.25GB内存，500G硬盘，操作系统为Windows XP，试验环境为MATLAB 2010b，试验结果如图3所示。

表1 仿真信号

由图3的试验结果可见，无论源信号之间是否相关，提取的特征频谱均包含了原始采样信号频谱中的绝大部分信息，同时有效地降低了外界噪声的干扰。

图3 仿真试验特征频谱提取结果

3.2 工程应用

为了进一步验证算法的可行性和有效性，选用文献[11]的数据进行验证。如图4所示，试验平台由感应电动机、扭矩传感器记录仪、测力计等组成。加速度传感器安放于轴承端部进行数据采集，采集的轴承数据来自于电动机驱动端，外圈固定，所用轴承为SKF 6205-2RS JEM深沟球轴承，球组节圆直径Dpw=39 mm，钢球直径Dw=8 mm，接触角α=0，内径d=25 mm，钢球数Z=9，电动机额定转速1 796 r/min，轴颈旋转频率fr=29.93 Hz。采用电火花技术在轴承上预设置单点故障，分别模拟正常、内圈故障、外圈故障和钢球故障。试验时，采样频率为12 kHz，选取的数据长度为4 096。

图4 试验平台

理论计算可知,钢球故障特征频率为

内圈故障特征频率为

外圈故障特征频率为

实例分析特征频谱提取结果如图5所示，图5中传统频谱分析提取的特征频率分别为164.1，164.1，117.2 Hz，文中算法提取的特征频率分别为179，63，118 Hz，其中63 Hz可看做内圈故障特征频率的二分频。由于轴承经常运行在复杂的工况下，传感器采集到的振动信号除了包含轴承的故障信息以外，通常还包含其他旋转轴的转频及其倍频等谐波成分和噪声，这些谐波成分和噪声通常会干扰对轴承的诊断。由图5可知，使用传统的频谱分析方法，故障信号特有频率分量淹没在背景信号之中，难以有效提取和分析。而文中设计算法提取的特征频谱不仅有效抑制了外界噪声的干扰，而且包含了故障信号的特有频谱信息，为准确诊断故障类型提供了可靠依据。

图5 实例分析特征频谱提取结果

4 结束语

为了克服传统时频分析中信号特征频谱提取中参数敏感问题，将谱图理论和CNMF相结合，设计了一种基于谱图和CNMF的特征频谱提取算法。理论和试验结果表明，本算法提取的特征频谱不仅包含了原始频谱图中的绝大部分信息，而且有效抑制了外界噪声的干扰，为准确诊断故障类型提供了有效依据。同时由于谱图概念简单，运算速度快，可实现故障的在线检测。今后的工作将集中于降低收敛误差、优化搜索步长和进一步提高参数的准确选取等方面。