凸数列的几个加权和性质
2014-07-19卢小宁萧振纲
卢小宁, 萧振纲
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
凸数列的几个加权和性质
卢小宁, 萧振纲
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
利用著名的Abel变换, 给出了凸数列的几个加权和性质.
凸数列; 加权和性质; Abel变换
设{an}n≥0是一个实数数列. 如果对任意n∈N*, 总有an−1+an+1≥2an, 则称数列{an}n≥0是一个凸数列.著名的Abel变换是指: 设a1, a2,…,an, b1, b2,…,bn是2n个复数, 则
其中Δbk=bk+1−bk.
文[1~3]给出了凸数列的一系列性质与应用, 石焕南教授在文[4]中用控制不等式理论推广了[3]中给出的凸数列的一个性质, 并在[5]中给出了一系列应用, 文[6]给出了凸数列的几个封闭性质与加权和性质本文利用Abel变换, 再给出凸数列的几个有趣的加权和性质.
定理1设{an}n≥0是一个凸数列, p是一个非负整数, 则对任意n∈N*, 有
证明由Abel变换, 有
其中Δ2ak=Δak+1−Δak=ak+2+ak−2ak+1. 同理,
特别地, 当p=0时, 则有
当p=n时, 则有
当p=2(n−1)时, 则有
定理2设{an}n≥0是一个凸数列, 则对任意n∈N*及任意x>0,x≠1, 有
证明由Abel变换, 有
定理3设{an}n≥0是一个凸数列, 则对任意n∈N*, 有
证明由Abel变换, 有
定理4设{an}n≥0是一个凸数列, 且an−1≥2an, an≥0, 则对任意n∈N*及任意x∈(0,2π), 有
证明由Abel变换, 有
于是
再由an−1≥2an, an≥0即知
定理5设{an}n≥0是一个凸数列, 且an−1≥an≥0, 则对任意n∈N*及任意x∈(0,π], 有
证明由Abel变换, 有
又x∈(0,π], 因此sin(k+1)x≤(k+1)sin x,再注意Δan−1=an−an−1≤0, an≥0, 故
[1] 萧振纲. 凸数列[J]. 中等数学, 1989(4)
[2] 萧振纲. 再谈凸数列[J]. 中等数学, 1991(1)
[3] 萧振纲. 数列与不等式的一个连接点——凸数列[J]. 湖南数学年刊, 1995, 15(4): 62~69
[4] 石焕南, 李大矛. 凸数列的一个等价条件及其应用[J]. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 2001, 27(4)
[5] 石焕南. 受控理论与解析不等式[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2012: 164~169
[6] 萧振纲. 凸数列的几个封闭性质与加权和性质[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2012, 25(2)
Several Weighted Sum Properties of Convex Progression
LU Xiao-ning , XIAO Zhen-gang
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
Several weighted sum properties of convex progression are given by use of Abel's transformation.
convex progression; weighted sum property; Abel's transformation
O178; O122.7
A
1672-5298(2014)04-0006-04
2014-09-10
卢小宁(1959− ), 女, 湖南临湘人, 湖南理工学院数学学院副教授. 主要研究方向: 基础数学