关于数学初高中衔接的若干知识点

潘东忠

一、因式分解的初高中衔接

1.因式分解的定义

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

2.因式分解的方法

初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、求根公式法、换元法等。

初中所学习的因式分解方法是针对形如x2+（p+q）x+pq这样的二次项系数为1的二次三项式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一个字母，也可以是一个单项式、多项式。与初中相比，只是常数项还含有字母，方法都是一样的。

十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况：

（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。

二、不等关系与不等式的初高中衔接

1.不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式。

2.不等式的性质

（1）对称性：a＞b?圳b＜a

（2）传递性：a＞b，b＞c?圳a＞c

（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd

（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）

（6）可开方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）

3.两条常用性质

（1）倒数性质：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。

（2）若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分数的性质：■＞■；■＜■（b－m＞0）。

三、一元二次不等式解法的初高中衔接

1.一元二次不等式

一元二次不等式经过变形，标准形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。

2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的关系

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像。

3.一元二次不等式解法步骤

（1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正）

（2）首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）

（3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）

四、绝对值不等式的初高中衔接

初中知识回顾：

1.含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）

（1）利用绝对值的定义：（零点分段法）

|x|= x x≥0-x x<0

（2）利用绝对值的几何意义：|x|表示x到原点的距离。

2.知识拓展

（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)的解法|ax+b|>c?圳ax+b>c或ax+b<-c；|ax+b|

（2）|f(x)|>g(x)或|f(x)|g(x)?圳f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；|f(x)|

（3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|的解法：|f(x)|>|g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|<|g(x)|?圳f2(x)

（4）|x-a|±|x-b|的几何意义：数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和（差）。

主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式进行求解。