生活中的分段函数

张小艳

一次函数是初中数学中最基本的知识点之一，是历届中考必考内容。随着新课程标准的颁布实施，作为一次函数强有力的补充，分段函数“扮演”着越来越重要的角色。本文将对现实生活中的分段函数进行探讨。

一、药物治疗原理

导入语：在名目繁多的药品中，选择一种合适的药品是至关重要的，这不仅可以节约一定的费用，更为治疗疾病提供良好的基础。分析好药物治疗原理，能让我们在选择药物治疗疾病时省去许多不必要的麻烦。

例1：某医药研究所研发了一种新药，在试验时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6ug(1ug=10-3mg)，接着逐步衰减，10h时血液中含药量为每毫升3ug，每毫升血液中含药量y（ug）随时间x(h)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后：

（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式。

（2）如果每毫升血液中含药量为4ug或4ug以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长？

解析：由题意可知，当x≤2时，函数是正比例函数，设y=kx(k≠0)，将（2，6）代入得：y=3x，当x≥2时，函数是一次函数，设y=kx+b(k≠0)，将（2，6）（10，3）代入得y=-■x+■.第2问，将y=4代入正比例函数和一次函数中得到x=■和■，从而得出有效时间是■-■=6小时。

二、风速的变化

导入语：植树造林、绿化祖国、造福子孙后代是中国的一项基本国策。尤其2008年奥运会在北京召开，绿色奥运、人文奥运成为了当时举办盛会的潮流。在气候环境日益恶化的今天，植树造林对风沙的控制会起到积极的作用。

例2：某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时平均增速2km/h。4h后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均增速4km/h，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1km/h，最终停止，结合风速与时间的图象，回答下列问题：

（1）在（ ）内填入相应的数值。

（2）沙尘暴从发生到结束，共经历了多少小时？

解析：由题意可知，（）内填入的数据分别为8，32。此次沙尘暴从发生到结束共经历了四个过程，第一过程为4小时，第二过程为6小时，第三过程为15小时，第四过程为32÷1=32小时，所以总的时间为57小时。

三、工程问题

导入语：为了调动农民种地的积极性，国家积极采取措施，为农民种地提供优越条件，开挖河渠便是有效措施之一。

例3：甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如下图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）乙队开挖到30m时，用了_____h，开挖6h时甲队比乙队多挖了_____m。

（2）请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式。

（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

解析：（1）由图象可知，乙队开挖到30m时，用了2h.开挖6h时，甲队挖了60m，乙队挖了50m，所以甲队比乙队多挖了10m。

（2）甲队在0≤x≤6的时段内，y=kx，把（6，60）代入得y=10x乙队在2≤x≤6的时段内，设y=kx+b，把（2，30）（6，50）代入得y=5x+20。

（3）令10x=5x+20，解得x=4，所以当x=4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等。

四、油箱加油问题

导入语：随着科学技术的迅猛发展，手工劳动已逐步被机械自动化代替，从而大大提高了工作效率，为国民经济的逐年增长提供了良好的基础。

例4：某工人用一种自动控制加工机械做一批工件，该机器运行过程中分为加油过程和加工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复，已知机器运行185分钟才能将这批工件加工完。下图是邮箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象。根据图象回答下列问题：

（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）。

（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？

（3）加工完这批工件，机器耗油多少升？

解析：（1）由图象可知，在加工过程中，y=kx+b，把（10，

100）（30，80）代入得y=-x+100。

（2）当y=10时，x=100，所以机器运行100分钟，第一个加工过程停止，其中包括加油10分钟，加工90分钟，由图象可知，机器10分钟加油100升，所以从10升加到100升需要9分钟。

（3）由y=-x+100可知，每加工1分钟，需耗油1升，所以185分钟内加油时间为10+9=19分钟，加工时间为185-19=166分钟，所以耗油166升。