“函数图象”的第一印象

王斌

摘 要：一次函数的图象是学生第一次接触的函数图象，它不仅对学习一次函数的性质非常关键，而且对以后要学习的反比例函数、二次函数都至关重要。正所谓良好的开端是成功的一半，一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

关键词：一次函数；函数图象；思考

无论对人、对事，第一印象都非常重要。一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

那么，我们要讨论的第一个问题就是：一次函数为什么会有图象？

2011年版的初中数学新课标开篇第一句话指出：“数学是研究数量与空间形式的科学”。所以一种数量关系，必定有一种相应的空间表现形式，我们可以用七年级第一学期的实数与数轴来进行说明，任何一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的一个点都可以表示一个实数，由此形成了一种一一对应的关系。而现在函数是反映两个变量之间的关系，所以一维的数轴不够用了，我们就要借助于二维的平面直角坐标来刻画，用横坐标对于自变量x的值，纵坐标对于函数y的值，由此形成类似于实数与数轴的一一对应关系。

有了函数图象的成因之后，我们要解决的问题就是一次函数图象到底是个什么图形。

我们先来看一下教材中的处理方法：

“合作学习”

1.分别选择若干对自变量与函数的对应值，列在下表（请在空壳内填入合适的数，完成表5-5）

表5-5

■

2.分别以表中x的值作点的横坐标，对应的y值作纵坐标，得到两组点，写出用坐标表示的这两组点。

3.画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这两组点。

4.观察所画的两组点，你发现了什么？把你的发现与同伴交流。

问题是只描了五个点就能说明函数图象是一条直线了？或者说这条直线上的点的坐标就一定满足一次函数了？教材是这样说的：

我们发现，如图5-6（图略），坐标满足一次函数y=2x的各点（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直线l1上；而坐标满足一次函数y=2x+1的各点：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直线l2上。反过来，在直线l1或l2上取一些点，这些点的坐标分别满足y=2x或y=2x+1（你不妨试一试）。

教材中的“取一些点”，“你不妨试一试”并不能让我满意，我们知道在函数图象中取的非整数点有时是有误差的，它的坐标不一定能满足函数表达式，而且取点只是验证，并不能从本质上解决问题。

生活中到处有数学，到处存在着数学思想，我们可以从学生熟悉的生活背景引入，让学生感受到数学无所不在，便于学生接受和理解。

笔者认为教材5.4一次函数的图象（1）的节前图是一个非常好的例子。

课本的图象反映的是两名运动员匀速运动中时间与路程的关系。这个例子稍加引导不难看出，一次函数是反映了一种匀速变化的关系，即当自变量x变化相同的幅度，对应的函数值y也变化相同的幅度。一次函数y=kx+b（k≠0）中的k就反映了变化速度，b就反映了起始数值，这样也把一次函数中最重要的两个常量搞清楚了。

再回到教材“合作学习”，当我们描好五个点之后，可以根据一次函数的特性分析，因为这五个点横坐标的变化幅度是相同的（相差1），所以对应纵坐标的变化幅度也相同（相差2），以此类推，当自变量取±3，±4…时，都在同一直线上，然后再分析这些点之间的点，先取相邻两点横坐标的中间值，此时可以这样分析，横坐标的变化幅度变为原来的一半，故函数值的变化幅度也变为原来的一半，所以还是在同一直线上，由此类推不难理解，一次函数对应图象是一条连贯的直线了。

现在剩下最后一个问题了：如何画一次函数图象。

既然知道了图象是一条直线，由“两点确定一条直线”得出，只要求出两个点的坐标即可用“两点法”作图了。两点法通过列表、描点、连线三个步骤，可以作出一次函数的图象，即一条直线。笔者一开始在教学时教学生对一般的一次函数y=kx+b（k≠0）可以选择点（0，b）和（1，k+b）来画直线。比如一次函数y=3x+1，取x=0，x=1代入计算得到两个点（0，1），（1，4）。

但在课后作业中发现有时并不简单。

比如，一次函数y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，这样的分数值不好，实际上是取像x=3，这样3的倍数更加合适。

课程标准中也指出学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而要以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固、深化。

最后，我想说，作为一名数学老师，我在课堂中尽量多地给学生渗透数学的本质、数学的思想，然后才是具体的方法、技巧等，告诫自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗浅的看法，望各位专家批评指正！

参考文献：

[1]苏兴震.对“一次函数图象”教学环节的几点思考[J].中小学数学，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一个误导[J].中小学数学，2013（07）.

[3]中国社会科学院语言研究所词典编辑室。现代汉语词典[M].北京：商务印书馆，1997.

（作者单位 浙江省诸暨市浣东初中）

？誗编辑 鲁翠红

摘 要：一次函数的图象是学生第一次接触的函数图象，它不仅对学习一次函数的性质非常关键，而且对以后要学习的反比例函数、二次函数都至关重要。正所谓良好的开端是成功的一半，一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

关键词：一次函数；函数图象；思考

无论对人、对事，第一印象都非常重要。一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

那么，我们要讨论的第一个问题就是：一次函数为什么会有图象？

2011年版的初中数学新课标开篇第一句话指出：“数学是研究数量与空间形式的科学”。所以一种数量关系，必定有一种相应的空间表现形式，我们可以用七年级第一学期的实数与数轴来进行说明，任何一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的一个点都可以表示一个实数，由此形成了一种一一对应的关系。而现在函数是反映两个变量之间的关系，所以一维的数轴不够用了，我们就要借助于二维的平面直角坐标来刻画，用横坐标对于自变量x的值，纵坐标对于函数y的值，由此形成类似于实数与数轴的一一对应关系。

有了函数图象的成因之后，我们要解决的问题就是一次函数图象到底是个什么图形。

我们先来看一下教材中的处理方法：

“合作学习”

1.分别选择若干对自变量与函数的对应值，列在下表（请在空壳内填入合适的数，完成表5-5）

表5-5

■

2.分别以表中x的值作点的横坐标，对应的y值作纵坐标，得到两组点，写出用坐标表示的这两组点。

3.画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这两组点。

4.观察所画的两组点，你发现了什么？把你的发现与同伴交流。

问题是只描了五个点就能说明函数图象是一条直线了？或者说这条直线上的点的坐标就一定满足一次函数了？教材是这样说的：

我们发现，如图5-6（图略），坐标满足一次函数y=2x的各点（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直线l1上；而坐标满足一次函数y=2x+1的各点：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直线l2上。反过来，在直线l1或l2上取一些点，这些点的坐标分别满足y=2x或y=2x+1（你不妨试一试）。

教材中的“取一些点”，“你不妨试一试”并不能让我满意，我们知道在函数图象中取的非整数点有时是有误差的，它的坐标不一定能满足函数表达式，而且取点只是验证，并不能从本质上解决问题。

生活中到处有数学，到处存在着数学思想，我们可以从学生熟悉的生活背景引入，让学生感受到数学无所不在，便于学生接受和理解。

笔者认为教材5.4一次函数的图象（1）的节前图是一个非常好的例子。

课本的图象反映的是两名运动员匀速运动中时间与路程的关系。这个例子稍加引导不难看出，一次函数是反映了一种匀速变化的关系，即当自变量x变化相同的幅度，对应的函数值y也变化相同的幅度。一次函数y=kx+b（k≠0）中的k就反映了变化速度，b就反映了起始数值，这样也把一次函数中最重要的两个常量搞清楚了。

再回到教材“合作学习”，当我们描好五个点之后，可以根据一次函数的特性分析，因为这五个点横坐标的变化幅度是相同的（相差1），所以对应纵坐标的变化幅度也相同（相差2），以此类推，当自变量取±3，±4…时，都在同一直线上，然后再分析这些点之间的点，先取相邻两点横坐标的中间值，此时可以这样分析，横坐标的变化幅度变为原来的一半，故函数值的变化幅度也变为原来的一半，所以还是在同一直线上，由此类推不难理解，一次函数对应图象是一条连贯的直线了。

现在剩下最后一个问题了：如何画一次函数图象。

既然知道了图象是一条直线，由“两点确定一条直线”得出，只要求出两个点的坐标即可用“两点法”作图了。两点法通过列表、描点、连线三个步骤，可以作出一次函数的图象，即一条直线。笔者一开始在教学时教学生对一般的一次函数y=kx+b（k≠0）可以选择点（0，b）和（1，k+b）来画直线。比如一次函数y=3x+1，取x=0，x=1代入计算得到两个点（0，1），（1，4）。

但在课后作业中发现有时并不简单。

比如，一次函数y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，这样的分数值不好，实际上是取像x=3，这样3的倍数更加合适。

课程标准中也指出学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而要以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固、深化。

最后，我想说，作为一名数学老师，我在课堂中尽量多地给学生渗透数学的本质、数学的思想，然后才是具体的方法、技巧等，告诫自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗浅的看法，望各位专家批评指正！

参考文献：

[1]苏兴震.对“一次函数图象”教学环节的几点思考[J].中小学数学，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一个误导[J].中小学数学，2013（07）.

[3]中国社会科学院语言研究所词典编辑室。现代汉语词典[M].北京：商务印书馆，1997.

（作者单位 浙江省诸暨市浣东初中）

？誗编辑 鲁翠红

摘 要：一次函数的图象是学生第一次接触的函数图象，它不仅对学习一次函数的性质非常关键，而且对以后要学习的反比例函数、二次函数都至关重要。正所谓良好的开端是成功的一半，一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

关键词：一次函数；函数图象；思考

无论对人、对事，第一印象都非常重要。一次函数图象的成功学习也将为以后其他函数图象的学习做好了坚实的铺垫。

那么，我们要讨论的第一个问题就是：一次函数为什么会有图象？

2011年版的初中数学新课标开篇第一句话指出：“数学是研究数量与空间形式的科学”。所以一种数量关系，必定有一种相应的空间表现形式，我们可以用七年级第一学期的实数与数轴来进行说明，任何一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的一个点都可以表示一个实数，由此形成了一种一一对应的关系。而现在函数是反映两个变量之间的关系，所以一维的数轴不够用了，我们就要借助于二维的平面直角坐标来刻画，用横坐标对于自变量x的值，纵坐标对于函数y的值，由此形成类似于实数与数轴的一一对应关系。

有了函数图象的成因之后，我们要解决的问题就是一次函数图象到底是个什么图形。

我们先来看一下教材中的处理方法：

“合作学习”

1.分别选择若干对自变量与函数的对应值，列在下表（请在空壳内填入合适的数，完成表5-5）

表5-5

■

2.分别以表中x的值作点的横坐标，对应的y值作纵坐标，得到两组点，写出用坐标表示的这两组点。

3.画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这两组点。

4.观察所画的两组点，你发现了什么？把你的发现与同伴交流。

问题是只描了五个点就能说明函数图象是一条直线了？或者说这条直线上的点的坐标就一定满足一次函数了？教材是这样说的：

我们发现，如图5-6（图略），坐标满足一次函数y=2x的各点（-2，-4），（-1，-2）。（0，0），（1，2），（2，4）…都在直线l1上；而坐标满足一次函数y=2x+1的各点：（-2，-3），（-1，-1）。（0，1），（1，3），（2，5）…都在直线l2上。反过来，在直线l1或l2上取一些点，这些点的坐标分别满足y=2x或y=2x+1（你不妨试一试）。

教材中的“取一些点”，“你不妨试一试”并不能让我满意，我们知道在函数图象中取的非整数点有时是有误差的，它的坐标不一定能满足函数表达式，而且取点只是验证，并不能从本质上解决问题。

生活中到处有数学，到处存在着数学思想，我们可以从学生熟悉的生活背景引入，让学生感受到数学无所不在，便于学生接受和理解。

笔者认为教材5.4一次函数的图象（1）的节前图是一个非常好的例子。

课本的图象反映的是两名运动员匀速运动中时间与路程的关系。这个例子稍加引导不难看出，一次函数是反映了一种匀速变化的关系，即当自变量x变化相同的幅度，对应的函数值y也变化相同的幅度。一次函数y=kx+b（k≠0）中的k就反映了变化速度，b就反映了起始数值，这样也把一次函数中最重要的两个常量搞清楚了。

再回到教材“合作学习”，当我们描好五个点之后，可以根据一次函数的特性分析，因为这五个点横坐标的变化幅度是相同的（相差1），所以对应纵坐标的变化幅度也相同（相差2），以此类推，当自变量取±3，±4…时，都在同一直线上，然后再分析这些点之间的点，先取相邻两点横坐标的中间值，此时可以这样分析，横坐标的变化幅度变为原来的一半，故函数值的变化幅度也变为原来的一半，所以还是在同一直线上，由此类推不难理解，一次函数对应图象是一条连贯的直线了。

现在剩下最后一个问题了：如何画一次函数图象。

既然知道了图象是一条直线，由“两点确定一条直线”得出，只要求出两个点的坐标即可用“两点法”作图了。两点法通过列表、描点、连线三个步骤，可以作出一次函数的图象，即一条直线。笔者一开始在教学时教学生对一般的一次函数y=kx+b（k≠0）可以选择点（0，b）和（1，k+b）来画直线。比如一次函数y=3x+1，取x=0，x=1代入计算得到两个点（0，1），（1，4）。

但在课后作业中发现有时并不简单。

比如，一次函数y=■x-2，取x=1代入算得y=

-■，这样的分数值不好，实际上是取像x=3，这样3的倍数更加合适。

课程标准中也指出学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而要以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固、深化。

最后，我想说，作为一名数学老师，我在课堂中尽量多地给学生渗透数学的本质、数学的思想，然后才是具体的方法、技巧等，告诫自己切勿舍本逐末。

以上是本人一些粗浅的看法，望各位专家批评指正！

参考文献：

[1]苏兴震.对“一次函数图象”教学环节的几点思考[J].中小学数学，2013（07）.

[2]胡孝平.教材中存在的一个误导[J].中小学数学，2013（07）.

[3]中国社会科学院语言研究所词典编辑室。现代汉语词典[M].北京：商务印书馆，1997.

（作者单位 浙江省诸暨市浣东初中）

？誗编辑 鲁翠红