弹簧劲度系数精确测量研究

有四普 夏清华 左 伟 曾 军

（湖北文理学院物理与电子工程学院 湖北 襄阳 441053）

弹簧是一种常见的物体，在实际生活中的应用范围比较广且非常重要，弹簧也经常出现在精密仪器中，因此能准确知道弹簧的劲度系数在实际生产应用中是很有意义的.故而如何精确测量弹簧劲度系数也成了一个很有意义的工作，本文对传统实验教学方法进行了改进和创新，利用弹簧振子做简谐振动的特性来实现对弹簧劲度系数的测量.

1 教学中传统实验法对弹簧劲度系数测量的缺陷

教学中对弹簧劲度系数测量的传统实验法缺陷分别为：

（1）利用胡克定律测弹簧劲度系数的缺陷是弹簧自身重力和长度测量对实验精度的影响；

（2）传统的利用弹簧振子在气垫导轨上做简谐振动测弹簧劲度系数的缺陷是弹簧振子来回做简谐振动时受到气流粘滞阻力的影响，使实验得到的数据并不精准.

2 弹簧质量对振子运动周期影响的理论分析

对于一个确定的弹簧其劲度系数是确定的，为κ，振子与弹簧本身的质量分别为M和m，而弹簧的圆频率ω和κ满足以下表达式［1，2］

对式（1）进行极限分析得到弹簧振子的周期关系式

可见对于已知弹簧来说弹簧振子的质量对弹簧振子的振动周期有着决定性的作用，因此在利用弹簧振子做简谐运动来测弹簧的劲度系数时要根据选择的振子的质量来选择实验的原理公式，即要对理想情况下做简谐运动的弹簧振子的周期公式做相应的修正.一般来说弹簧的簧丝越细、簧圈的节高越小、弹簧的形变越小、弹簧的匝数越多，弹簧的弹性性质越接近理想弹性状态［3］.

3 改进后实验的优点

在同等实验环境的情况下对实验方法与原理做了如下改进，使得传统实验法中的缺陷得到了克服.新实验原理采用简谐振动法测弹簧劲度系数，克服了胡克法实验中弹簧自身重力和长度测量对实验精度的影响.新实验法虽然也是利用简谐振动测弹簧的劲度系数，但是在实验过程中我们做了两个改进使得新法要优于传统方法，而且实验消耗更小，

（1）对实验原理中简谐振动的周期表达式进行了一级和二级修正，这在原理上就已经优于传统的实验方法；

（2）改进了实验操作方法，使振子在竖直方向上振动，克服了气垫导轨气流粘滞力对实验数据的影响.实验中还是使用相同的实验仪器进行数据观测，却得到了更为精确的结果.

4 改进后实验的原理

在忽略空气阻力的情况下，弹簧振子谐振周期的一、二级修正公式分别为

则由（3）、（4）两式弹簧的劲度系数分别为

5 改进后的实验

本实验采用MUJ－6B型电脑通用计数器来记录弹簧振子的周期精度为10－1ms，采用JY2002型电子天平来测量振子的质量精度为10－2g，振子是由密度较大的铜制成，使得空气阻力对本实验测量精度的影响更小，弹簧劲度系数未知.实验中的弹簧质量为11.19g.

本实验将弹簧振子竖直悬挂，突破了传统法中将弹簧振子水平放置的方式，因为水平放置的弹簧振子不严格满足胡克定律，测出的数据比弹簧竖直放置测出的数据误差要大［4］.将弹簧振子上端固定在铁架台上，在振子平衡位置附近安装MUJ－6B型电脑通用计数器的数据采集端，安装完成后调试好实验仪器后进行实验.实验装置如图1所示.

图1 测量弹簧劲度系数的实验装置

采用如图1所示实验装置进行实验测得的实验数据如表1.

表1 实验测得的数据

5.1 弹簧的劲度系数

利用贝塞尔公式对表1数据进行处理并根据拉依达准则和肖维涅准则对数据进行验证处理知实验所得数据全部合格，可信度很高.为了能直观反映出弹簧劲度系数大小以及对无修正、一级修正、二级修正后得到的数据进行对比，于是对表1数据经过处理后得到弹簧的劲度系数κ，一级修正和二级修正之差a，无修正和二级修正之差b，a占二级修正的百分比c，b占二级修正的百分比d，具体处理数据如表2所示.

表2 弹簧的劲度系数

5.2 实验分析

不妨设弹簧振子的质量M与弹簧的质量m之比为λn，其中n取1，2，3，4分别表示实验中振子的质量为54.50g，64.44g，84.34g，104.59g这几种情况，将实验数据代入得

分析上式得：λ1＜λ2＜λ3＜λ4，而且根据实验观测数据得到的a，b，c，d值的变化趋势刚好相反为

a，b，c，d值变化的趋势正好反映了实验数据的精确性随着λn值的增大而变得更加精确，这与文献［5］中得到的结论是一致的，同时也检验了本实验观测数据的可信度.结合实验中的观测数据与文献［5］中的相关分析我们也可以得出同样的结论：弹簧振子和弹簧的质量之比越大，弹簧振子的运动越接近于简谐振动.

6 结论

分析表2中的数据我们可以得出如下结论：

（1）无修正和二级修正之差b是一级修正和二级修正之差a的5～10倍；

（2）修正后的数据要比无修正的数据精确度高一个数量级；

（3）无修正的实验结果与二级修正后的实验结果之间的浮动在10%以内，而一级修正和二级修正后的实验结果之间的浮动在1%以内，这说明无修正的实验结果与修正后的实验结果相差很大，因此要做精度在10－2N／m级别的实验，必须要对实验原理进行修正，而在这个级别上一级和二级修正则对观测结果影响不大；

（4）在弹簧的弹性形变内振子的质量越大，实验观测的数据复现率越高，即环境对本实验的影响越小实验的精度越高；

（5）当弹簧振子的质量大于弹簧质量的5倍时，弹簧可以近似认为是轻质弹簧［6］，但是没有修正的传统方法得到的数据与修正后得到的数据差别仍然很大而且这个差别在5%左右；

（6）综合前5个结论来看，实验原理的改进的确使实验观测数据的精度得到了提高，这说明改进后的实验从原理和实际操作结果来看都是优于传统实验的.

1 沈钟伟，张峰.弹簧质量对振动周期的影响.大学物理，2013，32（3）：44～45

2 Robert Weinstock.Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the Stieltjes integral.American Journal of Physics，1979，47（6）：508～514

3 江昌龙.能量法求解弹簧的弹性系数.力学与实践，2008，30（6）：93

4 蒋毅.也谈弹簧振子计及弹簧质量的问题.昭通师专学报（自然科学版），1987（5）

5 康文秀.弹簧质量对振子运动的影响.保定师范专科学校学报，2004，17（2）：25～27

6 徐月明.弹簧质量对振子振动周期影响的实验研究.物理通报，2011（11）：64～65