稳恒磁场中运动导体的能量转化与守恒特性研究

储德林 麻晓敏

（陆军军官学院物理教研室 安徽 合肥 230031）

江海燕

（合肥工业大学电子科学与应用物理学院 安徽 合肥 230009）

陶宗明

（陆军军官学院物理教研室 安徽 合肥 230031）

1 引言

能量守恒与转化定律跟进化论、细胞学说一道被恩格斯誉为促进人类进步的“三大发现”，是自然界中一个很重要的基本规律.在物理学的不同领域，能量守恒与转化规律以不同的形式呈现，比如力学部分的机械能守恒定律、伯努利原理，热学部分的热力学第一定律，光学部分的干涉原理，近代物理部分的光电效应等.当导体在磁场中切割磁感线产生感应电流时，导体有动能、回路中有焦耳热、还可能有外力和阻力做功［1］，这里所说的外力是指除摩擦力之外的动力，如拉力（以下同）.

本文研究这一过程中的能量在不同形式之间转化与守恒特性.

2 物理模型

1831年英国物理学家法拉第发现电磁感应现象，闭合回路中的磁通量发生变化将会在回路中产生感应电动势，电动势的大小与磁通量变化率成正比，电动势的方向由楞次定律给出了一个简易的判定法则：闭合回路中感应电流的方向总是使得它所激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化.

不失一般性，计算物理模型如图1所示［2］.一段长为l，质量为m的导体棒ab与水平平行导轨构成电阻为R的闭合回路，放置在匀强磁场中，导体棒初始速率v0，方向水平向右，受到的阻力为f，外力为T.

图1 物理模型

3 能量守恒与转化特性

在上述物理模型中，导体棒可能受到摩擦力、外力和安培力等3种力，在它们的共同作用下运动，下面分情况讨论其中的能量转化与守恒关系.

3.1 无摩擦力 无外力

对于该情况，如果回路中没有磁场，根据牛顿第一定律，导体棒将会沿着导轨以速率v0一直运动下去.但实际上在磁场作用下，导体棒最终会停止，原有的动能会消耗掉.原因就在于根据法拉第电磁感应定律，回路中将产生逆时针方向的感应电流，该电流在磁场中将产生水平向左的安培力施加在导体棒上，阻碍导体棒的运动，而阻碍作用将通过回路中的焦耳热耗散掉.

以一维运动的导体棒为研究对象，由于接触面光滑，只受到安培力作用.由牛顿第二定律得到

分离变量并积分

结果为

从0→t时间内，导体棒动能改变量为

在同一时间内，回路中感应电流产生的焦耳热为

将式（1）代入，积分并化简得到

式（2）与式（3）相同，表明任意时间内导体棒的动能改变量都以焦耳热的形式释放掉.当t→!时，导体棒最终速度为零，电路焦耳热意味着导体棒的初始动能全部转化为回路的热能，满足能量守恒与转化规律.

3.2 外力与安培力等大反向 无摩擦力

如图2所示，导体棒受到大小相等方向相反的外力和安培力，导体棒在这一对平衡力作用下，保持匀速直线运动状态，拉力对导体棒做正功，大小为

图2 受平衡力作用

同一时间内，感应电流产生的焦耳热为

导体棒做匀速直线运动，即导体棒的动能保持不变，式（4）与式（5）结果相同，表明拉力对导体棒所做的正功全部转化为回路的焦耳热.

3.3 恒定摩擦力 无外力

导体棒受到安培力和恒定摩擦阻力作用，方向都与运动方向相反，受力分析如图3所示.

图3 摩擦力为恒力

由牛顿第二定律

等式两边同乘以dx，得到

将安培力代入并两边积分，得

在该过程中感应电流的焦耳热为

正好与式（6）中等式左边第一项安培力所做的功相等，替换后得

式（6）中等式左边第二项为克服摩擦阻力所做的功，等式右边为导体棒动能改变量，简化为

即

该式表明导体棒的动能全部转化为导体棒克服摩擦力所做的功和回路中的焦耳热.

3.4 线性阻力 无外力

在滑动速率不太大的情况下，导体棒受介质阻

力大小可近似为跟速度成正比f（v）＝kv.

安培力也为阻力，根据牛顿第二定律有

代入有关力的关系式，可得

积分得到

式中

在导体棒从运动到静止时间内，感应电流产生的焦耳热为

同时段内，导体棒克服摩擦阻力做功为

将式（8）焦耳热和式（9）摩擦阻力功相加，得到

其结果恰好等于导体棒刚开始所具有的动能.

3.5 任意阻力 外力与内力平衡

作为一般情况，导体棒既受到拉力作用，又受到安培力、摩擦力及其他耗散力作用，受力分析如图4所示.

图4 一般情况

由牛顿第二定律有

作数学变换

对整个过程积分并考虑到安培力的功等于回路中的焦耳热，得到

即导体棒的动能的变化量取决于外力所做正功与内力所做负功之和.

由于开始外力与摩擦力和安培力平衡，则导体棒做匀速运动，动能保持不变，因此全过程有

即

这表明外力对系统提供的能量全部转化为焦耳热和摩擦内能.如果外力为零，可得

这与前面情形相一致.

4 结束语

本文以切割磁感线的导体棒为例，讨论了导体棒不受外力、仅受与安培力等大而反向的外力、摩擦力为恒力等特殊情况及摩擦力为变力的一般情况等5种运动情形，结果表明所有情况下导体棒的动能变化量都与外力和摩擦力对系统所做的功与焦耳热之差相等，能量在机械能与电能、热能之间转化，但总量不变，证实了导体在磁场中切割磁感线产生动生电流时，遵守能量守恒与转化定律，再次表明能量守恒与转化定律是自然界中的基本规律.

1 金丹青.能量守恒与转化定律在电磁学中的应用.宁波职业技术学院学报，2003（10）：88～90

2 汪大勇.谈楞次定律中能量守恒问题.物理通报，2000（6）：18～19