单摆测定重力加速度实验的拓展与变式

姚小君

（浙江省余姚中学 浙江 余姚 315400）

用单摆测定重力加速度是新课程高中《物理·选修3－4》中的重点实验.本实验的课外探究教学，既可以让学生重温实验的相关重要操作和误差来源分析，巩固和加深学生对单摆周期公式的理解，又可以对此实验进行拓展和变式，使学生的发散性思维和创造性思维得以进一步提升.下面是对本实验的课外探究式教学设计.

1 重温单摆测重力加速度实验

1.1 重温实验原理

根据单摆周期公式

测出摆长L和对应的周期T，即可求得单摆所在处的重力加速度

1.2 实验误差来源分析

（1）悬点不固定，导致摆长改变，如图1所示.

图1 悬点不固定产生误差

（2）摆长太短，如图2所示，一般需选择1m左右.

图2 摆长太短产生误差

（3）测量摆长时只测量线长，如图3所示.正确应该是竖直悬挂时，用米尺测出摆线长l，用游标卡尺测出摆球直径d.摆长

图3 摆长未计算摆球半径产生误差

（4）摆到最高点或任意某位置开始计时（图4），或单摆做类似圆锥摆运动.正确应该是从平衡位置开始计时，保持单摆在同一竖直平面内摆动.

图4 摆球摆动时未在平衡位置开始计时产生误差

（5）摆角太大（图5）.应该控制摆角5°～10°，使摆球尽量做简谐振动.

图5 摆角太大产生误差

（6）秒表读数误差，秒表计时太短（图6）.一般而言，测30～50次全振动时间比较合适.

图6 摆动次数少，计时时间短秒表读数误差

实验中，应尽量减小实验误差，摆长选择约为1 m左右，要求相对误差Et≤0.5%.累积多次全振动时间求周期并多次测量取平均值.

2 实验的拓展与变式

2.1 条件限制情况下的测g实验设计

【例1】有位同学要测定重力加速度，手边只有一根结实的长细绳、秒表、30cm长的刻度尺，还有一块质量约为2kg的不规则形状的石块.请你帮他设计一个测定重力加速度的实验，写出实验步骤，推导出重力加速度值的表达式，并进行实验.

2.2 结合图像类测g问题 展开讨论 撰写科学小论文

【例2】两位同实验小组同学某次实验得到的数据按表1记录数据.

表1 实验表格

但他们在记录摆长时总是少加摆球半径，若他们在测周期时均没有出现技术差错（如多数或少数全振动次数等情况），则甲同学根据表格算出的g与当地的重力加速度相比总是偏小，但乙同学在把他们记录的数据绘入T2－l坐标系并作图（图7）后发现，图像虽未经过原点，但斜率而T2＝，根据图像计算g值与当地的重力加速度非常接近，于是两位同学因为意见不统一展开了激烈的争论……

请你试着解释这个问题，并撰写成科学小论文.

图7

2.3 应用单摆装置测定其他物理量

【例3】给你一块小磁铁、一块铁板、秒表、刻度尺、木架、细线等，你如何估测当磁铁与铁板相距1 cm时相互作用的磁力？

【例4】如何用秒表、游标卡尺和一个小钢球粗略测量凹面镜（或凹透镜）的半径？请阐明简要步骤并进行实验.（已知凹面镜半径远大于小钢球半径）

【例5】现有一块秒表、一台天平、一个重物、一根足够长且不宜伸长的细线，如何估算一物体从高处落下时受到的平均阻力？请阐明简要步骤并进行实验.

2.4 单摆“新”现象探索与研究

一次实验课上，有几个同学做了如下实验：如图8所示，两个完全相同的单摆，使它们相隔一定的距离，让一个单摆小球（假设A球）开始以一定的角度（一般在5°至10°左右）摆动时，另一个小球B也开始跟着摆动，经过数次摆动以后，A球在最低点的速度为零，B球速度达到最大；再经过同样次数的摆动，B球的速度为零，A球速度最大 …… 这样不断重复，情形类似于两个等质量小球的弹性碰撞.试经过实验探究，得出以下结论：

图8 单摆“新”现象的探究

（1）两小球间能量能全部转移，且传递过程是可逆的；

（2）能量传递时间与两摆悬点间水平距离有关；

（3）能量传递时间与单摆振幅无关.

x／cm L／cm t／s 3 4 5 10 15 20 20 6.9 7.4 7.7 10.0 12.8 15.2 30 11.2 11.8 12.1 15.8 20.0 24.4 40 17.2 17.9 18.6 24.2 30.5 36.0

解释上述实验现象：

以整个系统为研究对象，两摆摆动过程中，在忽略系统所受空气阻力的情况下，系统在水平悬绳两端所受外力不做功，故系统的机械能守恒，在任何时刻，我们都可以列出如下能量守恒式，设A球从最高点h0开始摆动，水平方向v0＝0

整个系统在水平方向上所受的合外力为零，所以系统动量守恒

当B球在最大位移处时，由式（2）可知，因为

所以

式（1）简化为

当A球在最大位移处时，由式（2）可知，因为

所以

式（1）简化为

两小球间能量能全部转移，且传递过程可逆.

两球质量相同，当A球开始摆动时，A球摆动的周期是一定的，B在A的驱动力作用下也开始摆动.A，B摆悬点间水平方向的传播可认为是通过波的形式来传播的，在周期一定的情况下，传播速度v只与介质有关.故传播能量所需时间与波传播的距离成正比，由下式确定即.这就是前面实验的第2个结论.能量传递时间与两摆悬点间水平距离有关.对于同一根水平绳、同一个摆，如果悬点之间距离不变，只改变振幅，根据周期公式可得周期是不变的，从而得出能量传递的时间不变.这就是前面实验第3个结论，即能量传递时间与单摆振幅无关.

学生课外探究与思考：若初始状态将质量相同的A，B两小球悬挂在同一细线上，给A施加一个水平初速度v0，使A球摆动起来，现象又会有什么不同？试解释之.

3 课外巩固与思考

（1）（1999年高考上海卷）在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝______.如果已知摆球的直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图9所示，那么单摆的摆长是______cm.如果测定了40次全振动的时间如图10中的秒表所示，那么秒表的读数是______s，单摆的振动周期是______s.

图9

图10

（2）某山高耸入云，两登山运动员想估算一下山顶到山脚的高度，但他们没有带尺，也没有手表等计时装置.他们开动脑筋，在背包上抽出一根较长的细线，两人合作在山脚和山顶各做了一次实验，便估算出了山的高度（设他们的身体状况没有因为登山活动而改变，地球半径R为已知，山脚下重力加速度g0＝9.8m／s2）.请回答：

1）实验原理：_____________________.

2）简要步骤及记录的数据：__________.

3）计算山的高度的表达式：__________.

（3）如何用秒表和单摆测地球的平均密度？请阐明简要步骤.（地球半径R已知）

（4）将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图10（a）所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心之距l，并通过改变l，测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴，l为横轴作出函数关系图像，就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度.

图10

1）如果实验中所得到的T2－l关系图像如图10（b）所示，那么真正的图像应该是a，b，c中的__________.

2）由图像可知，小筒的深度h＝__________m；当地重力加速度g＝__________m／s2.