基于单星观测的弹道导弹参数估计方法综述

于大腾，王华，尤岳，陈磊

(国防科学技术大学 航天科学与工程学院，湖南 长沙 410073)

0 引言

随着导弹技术的不断向前飞跃，各种战略、战术导弹及大规模杀伤性武器也在不断扩散。天基预警系统作为战略防御体系的重要组成部分，目前已成为国际前沿研究热点问题之一[1-4]，其中的典型代表为美国正在研制的天基红外系统(SBIRS)计划[5]。在天基预警系统建设与发展过程中，由于卫星部署的阶段性和系统前期的验证与实验活动，基于单星观测的弹道导弹预警技术将是任何一个天基预警系统构建过程中必然会遇到的问题[6]。

由于弹道导弹在熄火点处的位置及速度矢量决定了大部分的弹道参数，因此对反导系统来说，这一段时间内天基预警系统能否捕捉目标，关系着反导系统是否能及时做好战斗准备进行拦截。在弹道导弹助推段，天基预警首先应该提供的是弹道导弹的早期预警，其次才是助推段拦截的目标信息。

经过多年的研究发展，许多学者针对单星观测导弹参数估计问题提出了估计方法[7-11]，然而关于单星观测的弹道导弹参数估计方法的综述文章并不多见，目前尚未发现有相关的综述性文献见刊。本文按照先验信息匹配建模和通用运动建模2个方面对近些年出现的较为典型的单星预警估计方法进行了划分归类，并阐述了不同方法的基本原理与优缺点，分析了相关方法的发展趋势，希望为该方向的研究者提供有益借鉴。

1 单星定位问题简述

由于预警卫星采用红外传感器，只能获得角度信息，对导弹定位来说属于不完备观测[12-13]。要解算导弹的位置需要2颗卫星同时对来袭导弹进行探测。但大部分情况下高轨预警探测处于单星探测情况，因此如何给出单星探测条件下的预警信息成为一个必须解决的问题。

设存在一颗红外预警卫星S，对于一枚弹道导弹的助推段飞行，卫星S的观测数据及观测时间的集合为

U={(ti,Bi,Ei)|i=1,2，…,M}，

(1)

式中：M为观测数据的数量；Bi和Ei为t时刻卫星对目标观测所获得的视线的方位角和仰角。

单星定位问题就是依靠式(1)中的数据对弹道导弹进行参数估算。显然，若仅依靠这些角度信息是不能确定目标弹道参数的。对于这种主动段不完备观测的处理方法必须增加约束条件。由于弹道导弹主动段运动服从一定的运动规律，引入一定的假设后将这些运动规律用参数化模型来描述，就得到了除角度信息外的约束条件。目前对主动段的参数化建模主要有2种方法，一是不考虑先验弹道信息，称为Profile-free Model方法；另一种方法是利用目标主动段的先验信息，称为基于模板(Profile-dependent Model)的方法。在建立模型时，通常基于如下的基本假设：重力加速度为常值；不考虑地球旋转，导弹在射面内运动；观测时大攻角转弯段已结束，导弹处于零攻角飞行状态。

2 单星观测导弹参数估计方法研究现状及趋势

2.1 先验模板匹配方法

由于单颗预警卫星的不完备观测特性，传统的单星预警参数估计算法需要依赖于标准弹道模板先验信息[6-11]。该类方法的主要局限性在于数据库的建立有一定困难，所建立的标准弹道模板库的质量成为该类方法成败的关键。本节主要就3种典型的模板匹配模型进行阐述，并分析了各自的优缺点。

2.1.1 基本弹道轮廓匹配算法

(1) 概述

在标准弹道模板的支持下可以进行单星弹道导弹参数估计[11,14]，该方法为目前服役的DSP预警系统采用的算法。这种方法是基于当今世界范围内的弹道导弹基本类型比较有限，特别是在不同的热点地区弹道导弹的类型是比较固定的，因此可以事先将不同类型的目标主动段弹道模板存储在数据库，形成标称弹道数据库。

图1 弹道匹配原理示意图Fig.1 Ballistic matching theory scheme

弹道导弹主动段的弹道近似位于一个平面内，标准弹道模板库主要描述了从发射时刻到关机时刻弹道导弹飞行高度、水平距离与发射时间的函数关系。在获得观测数据后，将弹道主动段建立的模型与弹道库中的弹道进行匹配，进而确定导弹的主动段运动状态。

为了更好地对弹道参数进行匹配，学者们提出了很多考虑弹道实际情况的假设，并以此进行主动段建模与弹道修正。梁新刚[15]和Jilkov[16]等基于“重力转弯假设”建立目标主动段运动状态方程。王雪峰等[17]分析了地球自转对弹道主动段的影响，并对基于弹道轮廓模板的匹配算法进行了改进，修正了关机点估计与速度，减小了弹道主动段非平面性引起的误差，使得系统精度有一定提升。但实际中需要完备的弹道模板数据库和高精度模板配准方案作为基本的技术支持。

(2) 特点

1) 优点：

在模板数据库规模足够大且数据较为真实可信的情况下，匹配得到的模板库中的标准弹道包含了大量真实弹道参数信息，利用它进行参数估计精度较高，可以获得具有较高实用价值的导弹估计参数。

2) 缺点：

由于弹道导弹的弹道各个国家都列为高机密信息，因此其获取十分困难，需要长时间的积累且不能保证获取信息的正确性，在一定程度上限制了其应用。实际上目前只有美国建有规模可观的弹道模板数据库(约7 200多个模板[11])。同时，大数据量的模板会导致运算量大，对系统实时性产生影响。在处理单星观测问题时，还有可能出现数据处理不收敛的情况。

2.1.2 考虑主动段运动特征的匹配算法

(1) 概述

由于基本弹道轮廓匹配算法的弹道模板数据库建立较为困难，实际操作中面临诸多问题，因此部分学者开始思考对匹配算法进行改进。文献[18]和[19]结合文献[7]的工作提出了一种针对单星问题的改进建模方法，即射向平面匹配方法，该方法避免了使用常见方法处理单星观测数据时遇到的不收敛问题。所建立的弹道库数据是导弹主动段的当前位置到发射点的飞行高度、水平距离以及导弹尾焰的红外辐射强度。对于任意时刻的标准数据处理，采用一个4次多项式拟合方法对数据进行处理。

同时该方法还考虑了抛射角不同时对弹道的修正，引入无量纲参数L表征实际弹道与数据库标称弹道的差异。该方法引入弹道近似所在的地心直角坐标系下的平面axd+byd-zd=0(其中，a，b表示平面的法向量参数；xd,yd,zd分别表示弹道的地心坐标)。则若能找到该平面参数、发射点的时刻t0以及修正参数L，便可以确定发射点的经度、纬度、射向，因此将待估参数从文献[7]的ξ=(t0,L,φ0,λ0,h0,α0)T变换为ξ=(a,b,t0,L)T。由星载传感器的角测量值A，E(俯仰角、方位角)和上述弹道平面方程，便可以匹配出a，b，t0，L。

(2) 特点

1) 优点：

通过改进传统的导弹模板匹配算法，避免了对于单颗星条件下的预警时，传统方法方法所建立的模型中的非线性滤波器不稳定、矩阵条件数较大和严重病态的问题；考虑了抛射角修正问题，增强了模型的适应性，提高了估计精度。

2) 缺点：

继承了传统匹配建模方法的缺点，结果的准确性与否同样严重依赖于模板数据库的容量以及数据可靠性，实际应用受到很大限制。

2.1.3 弹道特征参数模板匹配算法

(1) 概述

针对以往模板库中弹道参数信息难以获取的问题，有的学者尝试以某些导弹设计参数来表征弹道特征参数并构建模板库。导弹推力主要由火箭发动机和燃料类型决定，且同一类型导弹主动段推力相对固定[20-22]，因此一些文献考虑采用构造导弹推力[8]或者推力加速度模板[23]的方法来表征导弹的运动特性。整个方法的核心是利用同一型号导弹设计参数相对固定这一基本情况来构建推力或者推力加速度模板库。

文献[16]和[24]考虑2级弹道式导弹目标，分级和关机分别连接第1级、第2级主动段和自由段，文章建立了3个阶段的目标运动模型，将第1级主动段模型中的λ取为指数递减模型，将第2级建模为非零常值模型，而自由段的λ取常值为0。

文献[23]提出了一种基于弹体旋转的主动段动力学运动方程，文中根据导弹受力情况，将导弹加速度在2个垂直矢量方向上进行分解，通过合理的假设，解析表达了导弹推力加速度值和导弹在重力作用下姿态变化特性，得到推力加速度值与导弹设计参数的关系，从而确定了模板库构建的基本算法。

(2) 特点

1) 优点

①采用自推算方式的推力加速度模板在一定程度上减少了对先验信息的依赖程度，同时由于采用部分导弹参数来进行加速度估算，降低了资料搜集和模板库建立的难度；②由弹道射面的表面特征转向关注导弹的本质特性，可避免由于发射程序改变引起的模板库不匹配问题。

2) 缺点

由于其本质上只是标准弹道模板二阶微分的某种等价形式，同时失去了标准弹道模板的直观性把握，因此该方法没有从根本上解决单星预警导弹参数估计对先验信息的严重依赖性。特别是对于单星预警情况，该方法有可能导致滤波器滤波失败，不能得到收敛结果。

2.2 通用运动模型方法

另一种单星预警问题的解决方法是采用运动建模方式，不考虑可能的先验弹道轮廓信息。针对导弹主动段的运动特性，国内外有很多文献提出了机动目标运动建模的方法，如简单线性模型(CA)[25]，3阶JERK模型，Singer模型，重力模型等[26-27]。一些学者提出了多态重力转弯模型[28-30]，但是由于测量数据点较少的限制，容易出现方程欠定不可解的问题。一些文献为避免模型的复杂化采用了高阶多项式函数来拟合弹道参数[31-32]，但很难抑制截断误差；另一些研究了带约束条件下对主动段目标运动建模的问题[33]，该类方法的优点在于不需要导弹的先验知识，可以通过天基预警系统中多星测元来估计弹道，但是上述方法由于建模复杂、参数较多，并不适用于直接单颗预警卫星观测下的弹道导弹参数估计。本节选取了3种典型的单星预警通用运动建模方法，并对各自特点进行了阐述。

2.2.1 成像关系约束参数估计算法

(1) 概述

文献[34]提出了一种在单相机观测条件下，不需要导弹轨迹先验模板，以较小运算量获得满足一定精度的射向估计方法。文献考虑卫星相机成像可用针孔模型来近似表达，则对成像面上像点坐标进行逆变换(广义逆)，便可以得到其在地球坐标系下的三维坐标X。若已知导弹飞行高度，则目标像点和相机光心f所成的直线与半径为r的球面相交，交点s记为像点对应的弹道轨迹点。文献中该方法选取第一个观测点来替代发射点。

通过交点坐标的几何关系可以确定一个包含多条轨迹的轨迹平面，在这些轨迹中选取3条合适的轨迹r1，r2，r3，利用共面轨迹法向量平行这一几何规律进行约束，可形成一组非线性方程组，再利用蒙特卡罗法求解该方程组，便可以得到r1，r2，r3的值。

(2) 特点

1) 优点

建立了弹道观测成像模型，将第一个观测点假设为发射点，通过几何关系推算，摆脱了对先验信息的依赖，可以独立地在单星预警的情况下进行导弹射向估算。

2) 缺点

①误差来源较多，结果可靠性较差。误差来源主要包括：检测点代替发射点引起的射向估算误差；蒙特卡罗方法求解非线性方程组引起的误差；相机自身的观测数据误差等；②仿真结果精度差异化明显。文献结果显示，低纬度地区射向估计精度较高；高纬度地区射向估计误差较大。

2.2.2 主动段模型约束参数估计算法

(1) 概述

对于单星观测来说，一般会选择首发高程为已知量h0代入运算。但仅利用这些信息获得的弹道导弹的发射方位角与真实的发射方位角差别极大。对此，文献[35]构建了主动段简化模型，并以此进一步计算得到了弹道估计参数。

该方法首先对主动段进行了简化，设首发高程为定值，且导弹零攻角飞行。随后对弹道进行分段，将每段的视加速度视为一个定值，进一步可获得所建立动力学模型的解析表达式。由于整个弹道位置参数较多、数据量偏少，该方法先利用切贝舍夫多项式[36]对数据进行拟合扩展，随后分段逐步求解未知估计参数来获得导弹主动段的参数。

文献[37]通过动量守恒建立动力学模型，并对观测弹道进行约束，进而建立相应的估计算法。文献[38]对李英良的算法(方法1)进行了改进，随后提出了基于切割平面内的积分弹道匹配算法(方法2)和基于Levenberg-Marquard-Fletcher的积分弹道匹配算法(方法3)，通过仿真给出了各算法的精度并进行比较，得出方法2和方法3精度上都比方法一有所提高

(2) 特点

1) 优点

在首发高程确定的假设下，研究并构建了分段式主动段模型，摆脱了现有匹配算法对先验模板的依赖，可以独立求解单星预警弹道估计问题。该算法为其之后的文献提供了建模思路。

2) 缺点

该算法采用固定首发高程的假设，由此必然会产生模型误差，同时主动段模型的构建虽然进行了分段考虑，但仍然较为简单，这些都可能会使最终的参数估计产生偏差。若再考虑观测量的固有偏差，最终的结果将较难达到理想水平。

2.2.3 模型合理性约束参数估计算法

(1) 概述

文献[39]从另一种角度对单星预警问题进行了尝试。通过建立弹道导弹主动段飞行动量模型和弹道平面切割模型，构建了单星预警观测视线对目标导弹射向的估计算法，通过迭代计算得到一组切割弹道，最后利用模型合理性约束体系对结果进行筛选，最终得出的射向估计值较其它类型的通用运动模型约束所得到的结果精度有所提高。

算法主要步骤为：

①确定首次发现高程区间和发动机关机高程区间；②遍历所有切割弹道，同时计算各切割弹道的参数。③对弹道的合理性进行判定。④计算最小期望偏差最优解。

(2) 特点

1) 优点

在没有标准弹道先验模板的情况下，建立了目标主动段模型，利用弹道参数合理性对遍历弹道进行约束筛选，从一种较新的角度对如何进行单星弹道参数估算问题进行了尝试，得到的结果优于其他的通用建模方法。

2) 缺点

所建立的主动段模型过于简化、未考虑因素较多。同时由于算法采用双层迭代，其计算速度可能并不理想，会对系统的实时性造成影响。该方法还有较大的改进空间。

3 结束语

单星预警技术是在我国建设自主天基预警体系阶段内不可缺少的重要一环，是整个天基红外预警系统十分重要的一部分，本文分两大部分综述了当前已有的国内外单星观测导弹参数估计方法，同时阐述了各个方法的优缺点，整理出了单星预警技术的发展脉络。

第1类先验模板匹配建模法主要采用的是事先构建先验模板库的方式对对不完备观测量进行补充，在所构建的模板库容量足够大且库中模板信息可靠性有一定保障的情况下，利用该类方法能够达到较高的精度，具有实际应用价值。但是精度也很大程度上取决于模板库容量与信息准确性，同时模板库的构建本身也是一项艰巨的工程。

第2类通用运动建模主要是通过构建各种约束模型来对导弹主动段进行约束，其本质上仍属于补充先验信息，但是以模型约束替代模板匹配。目前该类的几种典型算法还都很不完善，主要问题是主动段运动受力复杂，同时自身模型也较为复杂，因此如何合理简化主动段模型、组成合理的约束体系成为影响该类方法结果精度的关键性因素

对于上述2类方法存在的主要问题，作者认为以后各自可能的努力方向为：

(1) 尽可能地合理简化单星参数估计算法所依赖的先验信息，在保证精度要求的前提下，提取可以代表弹道核心特质的参数，并给出切实可行的先验信息获取方法。

(2) 继续深入研究弹道导弹主动段的合理模型约束，将开放假设与多种实际约束相结合，从根本上解决单星弹道导弹参数估计算法对导弹相关先验信息依赖。

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