一次函数与行程问题例析

华兴恒

一次函数在初中数学中有很重要的应用，许多行程问题常常通过一次函数的形式出现，要解答此类问题，关键是要能够看懂图像，从中获取有用的信息，只有这样才能正确的求解.下面举例分析，相信对提高同学们的解题能力肯定会有所帮助.

例1. 一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图像是一条直线，它可以表示许多实际意义.如图1所示，x代表时间（小时），y代表路程（千米），那么从图像上可以看出，某人出发时（x = 0）离某地（原点）2千米.出发1小时后，由x = 1得到y = 5，即某人离开某地5千米，他实际走了3千米.在图2中，AC、BC分别表示甲、乙两人的运动图像，请结合图像回答下述问题：

(1) 图2中，点A(0, 2)、B(1, 0)各表示什么实际意义？

(2) 求甲、乙两人各自的运动速度.

(3) 求甲出发3小时后，甲、乙两人各自距原地（原点）多远？

解析：(1) 点A(0, 2)表示甲出发时离某地2千米；点B(1, 0)表示甲出发1小时后，已从某地（原点）出发.

(2) 由A(0, 2)、C(2, 4)可知甲2小时走2千米，由B(1, 0)、C(2, 4)可知，乙1小时走4千米，所以甲的速度为1千米/时，乙的速度为4千米/时.

(3) 3小时后，甲离原地为1 × 3 + 2 = 5（千米），乙离原地为2 × 4 = 8（千米）.

例2. A、B两地相距50千米，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，图3中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s与该日下午时间t之间的关系.试根据图形填空：

(1) 甲出发_____小时，乙才出发.

(2) 乙行驶_____小时可追上甲，此时两人距B地还有_____千米.

解析：(1)由M(2, 0)可知，乙是在甲出发1小时后于下午2点出发的.

（2）设乙行驶t小时追上甲，由M(2, 0)、N(3, 50)可知乙的速度为50千米/时.由Q(2, 20)、R(5, 50)可知，甲从下午2点开始速度为10千米/时.

∴50t–10t = 20，∴t =■，则50t = 25.

即乙行驶■小时就追上甲，此时两人距B地还有25千米.

例3. 假定甲、乙在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图4所示.那么可以知道：

(1) 这是一次_____米的赛跑；

(2) 甲、乙两人中先到达终点的是______；

(3) 乙在这次赛跑中的速度为_____米、秒.

解析：从图像上容易看出：(1) 这是一次100米的赛跑.

(2) 甲经12秒到达终点，乙经12.5秒到达终点，显然是甲先到达终点.

(3) 乙这次赛跑的速度为■= 8米/秒.

例4. 某同学骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，行至中途因车出了毛病，需要修理，但修车铺已过，他只好推着车返回修车铺.车修好后，因为怕迟到，他比修车前加快了骑车速度，继续匀速行驶，图5是他与出发地的距离s关于行驶时间t的函数关系图像，那么符合这个同学行驶过程情况的图像大致是（ ）

解析：由于该同学有返回的过程，在这个过程中随着时间的增加，路程要减小，同时车修好后，他提高了骑行的速度，则图像与正常速度骑行的图像要陡一些，故应选B.

练习：如图6所示，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是80千米.请你根据图像回答或解决下列问题：

(1)谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？

(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？

(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程中的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）.

(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.

参考答案：

(1)自行车出发早3小时，摩托车到达乙地早2小时；(2)自行车：10千米/时，摩托车：■千米/时；(3)自行车：y = 10x，摩托车：y = ■x-80；(4)当3 < x < 6时，两车行驶在途中；①当3 < x < 4.8时，10x >■x-80；当x = 4.8时，10x =■x-80；③当4.8 < x < 6时，10x <■x-80.

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）

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