高考数学中数列与不等式分析

陈青山

摘 要： 高考数学中的数列和不等式两部分的知识点，在高考数学试题中都会考查，在广东高考数学中也是如此.想要在高考中取得优异的数学成绩，需要对不等式和数列这块的知识点掌握牢固，在后面的大题中往往会结合数列与不等式的知识点综合性出考题，这对考生来说是有难度的.所以学会如何突破解决这类难题很重要.本文主要讨论常见题型和解题方法.

关键词： 数列与不等式 例题 解析

一、高考中关于数列与不等式的题型分析

1.以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.

2.以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.

3.将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.

二、典型例题分析

题型一：有数列参与的不等式证明

例题1.设数列{a }的前n项和为S ，已知a =1， =a - n -n- ，n∈N*，

（1）求a 的值；

（2）求数列{a }的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有 + +…+ < .

解析：这道题属于数列基本运算，要求考生掌握基本知识，并且将数列和不等式的基本知识点结合起来，巧妙地综合性解题.

（1）首先令n=1，代入题目所给的式子 =a - n -n- ，即可以解得a =4.

（2）本题有两个解题方案.

解法一：令n=2，代入题目所给的式子 =a - n -n- ，a =4，解得a =9.

猜想a =n ，下面用数学归纳法证明.

1.当n=1时，猜想显然成立；

2.假设当n≤k时，a =k ，S = ，

则当n=k+1时，a = + k +k+ = + k +k+ =（k+1）

那么当n=k+1时，猜想也成立.

联合1和2得，对任意正整数n，a =n .

解法二：当n≥2时，2S =na - n -n - n，

2S =（n-1）a - （n-1） -（n-1） - （n-1）.

两式相减得2a =na -（n-1）a - （3n -3n+1）-（2n-1）-

整理即可得（n+1）a =na -n（n+1）

又因为 - =1，

所以{ }是首项为 =1，公差为1的等差数列，

所以 =1=（n-1）×1=n，即a =n .

（3） = < = - ，n≥2

当n=1时， =1< ；

当n=2时， + =1+ < ；

当n≥3时， + +…+ <1+ + - + - +…+ - = - < ，

综上所述，对一切正整数n，有 + +…+ < .

小结：第（1）小问取n=1就可以得到答案；第（2）小问给了两种解法，比较这两种解法，用数学归纳法解答思维量、运算量都小得多，所以推荐数学归纳法；第（3）小问通过适当放缩和裂项相消求和是关键.

题型二：求数列的最大值

例题2.设等差数列{a }的前项和为S ，若S ≥10，S ≤15，则a 的最大值为？摇 ？摇.

【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a 的最大值.

【解】∵等差数列{a }的前项和为S ，且S ≥10，S ≤15，

∴S =4a +6d≥10，S =5a +10d≤15即，2a -3d≥5，a -d≤3，

∴ ≤a ≤3+d，则5+3d≤6+2d，即d≤1.

∴a ≤3+d≤3+1=4，故a 的最大值为4.

小结：本题主要是根据条件的不等式关系求最值的，其中确定数列的公差d是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.

题型三：有数列参与的比较大小

例题3.已知数列{a }是等差数列，其前n项和为S ，a =7，S =24.

（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；

（Ⅱ）设p、q都是正整数，且p≠q，证明：S <（S +S ）.

【分析】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立方程组即可解决第（Ⅰ）小题；第（Ⅱ）小题利用差值比较法就可顺利解决.

【解】（Ⅰ）设等差数列{a }的公差是d，依题意得，a +2d=7，4a +10d=24解得a =3，d=2，

∴数列{a }的通项公式为a =a +（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1.

（Ⅱ）证明：∵a =2n+1，∴S =n +2n.

2S -（S +S ）=2[（p+q） +2（p+q）]-（4p +4p）-（4q +4q）=-2（p-q） ，

∵p≠q，∴2S -（S +S ）<0，∴S <（S +S ）.

小结：利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.

题型四：求有数列参与的不等式条件下参数的取值范围

例题4.已知a>0，且a≠1，数列{a }的前n项和为S ，，它满足条件 =1- ，数列b =a ·lga .endprint

（1）求数列{b }的前n项T .

（2）若对一切，n∈N*都有b

分析：这道题将数列、不等式和对数结合在一起，综合性很强，考查考生对数列、不等式和对数的知识点的掌握.

解：（1）因为 =1- ，所以S =

当n=1时，a =S = =a

当n≥2时，a =S -S = - =a ，所以a =a ，（n∈N*）

此时b =a ·lga =a ·lga =n·a lga

所以T =b +b +…b =lga（a+2a +3a +…+na ）

假设u =a+2a +3a +…+na

所以（1-a）u =a+a +a +…a -na = -na

所以u = -

所以T =lga[ - ]

（2）因为b

可得1.当a>1时，由lga>0可得a>

又因为 <1（，n∈N*），而a>1，所以a> 对一切正整数都成立.

所以a的取值范围为a>1.

2：当0（n+1）a，a< ，

因为 ≥ （n∈N*），而0

所以a的取值范围为0

由1，2可知对一切，n∈N*都有b 1.

小结：本题综合性强，涉及对数知识的运算，要学会灵活转换，分类讨论.

三、反思

关于高考中数列与不等式的研究，由数列衍生出的不等式题，往往是各地高考数学的压轴题，是考试的重点难点；主要考查知识的热点和重点——数列的通项公式，前n项和公式及二者之间的关系，等差数列和等比数列，归纳与猜想，数学归纳法，比较大小，不等式证明.在高考复习中要及时归纳，加强以下方面题型的指导和分析：数列与不等式恒成立条件下的参数问题，数列与不等式交汇的探索性问题，数列求和与不等式的交汇，数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在今后几年高考题中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现，数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题.其中以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点.

参考文献：

[1]广东省高考数学卷理科.2013，6，8.

[2]四川省高考数学卷理科.2011.6，8.