“构造法”在高中数学解题中的应用分析

张起洋

摘 要： 新课改对高中生能力提出了新的要求，高中数学教师在保证数学题锻炼的基础上，要转换学生思维，通过采用一类问题的性质解决另一类问题.出于此种目的，构造法恰好能够较好地解决这一问题，可将“未知”量转为“已知”量，帮助学生解题，同时培养学生的观察能力、分析能力及创造能力，符合当前素质教育的要求.

关键词： 构造法 高中数学解题 应用

构造法，简而言之，是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型，在解题过程中，主要是将“未知”量转变为“已知”量，进而帮助学生快速解决问题.采用构造法最主要的是“转化”思想，构造与原问题相关的辅助问题，帮助学生解决问题.

1.构造方程

方程法的构造是高中数学解题中最常使用的一种构造方法.方程式对于学生来说并不十分陌生，其作为数学的重要内容，通常与函数等相关知识紧密联系.在一定程度上，可利用题型所给的数量关系和结构特征，通过设想建立一种等量性的式子，分析几个未知量之间的相互联系及方程式等量关系，利用恒等式的多方位的变形，将数学题中的抽象内容实质化、特殊化，提高学生解题速度及质量.利用方程构造的方法进行解题，可培养学生的观察能力和思维能力.

如：（m-n） -4（n-x）（x-m）=0，求证：m，n，x为等差数列.

解析：针对这个问题，利用构造的方法，将题中的条件和结论联系在一起，可以将这个问题简单化，针对这个问题构建方程：（n-x）t +（m-n）+（x-m）=0 ①，令△=（m-n） -4（n-x）（x-m），根据题意得出△=0，则构建的方程①中的实数根相等，再由（n-x）+（m-n）+（x-m）=0得出t=1，进而得出该方程中的两个实数根均为1.由韦达定理得出m+n=2x，进而证明题中的m，n，x是等差数列.利用方程构造的方法，对高中数学中的难题进行求解，将数学题简单化，培养学生的观察能力及思维能力，遇到数学题，可以快速地进入主题求解.

2.构造函数

高中数学中，函数与方程一样是高中数学的重要组成部分，采用函数构造的方法进行数学解题，可以对学生的解题思想进行培养，提高学生的实际解题能力.解题思想是数学题解题中的主线，在数学题中，代数类型的题和几何类型的题，均含有一定的函数思想.所以在解题过程中，采用函数构造，可以将数学问题转化为简单的函数问题，然后求解.在这个函数构造的转化过程中，学生的思维和创造性会逐渐形成.

如：已知m、n、a∈R ，其中n

解析：从这个数学题中的信息可知，使用x将题中的a代替，这样就会得出可以一个关于x的式子， < ，将该式子看成一个函数，x∈R ，就可以构造一个函数：f（x）= ，其中的 可以将其看成是 +1，因此可以得出 是在[0，∞]这个区间上的一个函数，而且是一个增函数，进而就可以对这题进行求解.

3.构造图形

在高中数学中，利用图形解题是一种常采用的方法，数形结合是高中数学解题中的重要工具.遇到可以使用图形解题的数学题时，采用图形构造的方法进行解题，可将抽象、复杂问题形象化、简单化，使问题更直观，同时也能够培养学生的数形结合思想.

如： + ，其中（0≤x≤4），求解其最小值.

解析：根据题意可以对该题进行图形构造，利用直角三角形的构造，将这个问题简单化.

图1

从图1，可以得出AB⊥BD，AB⊥AC，当AB，AC，BD的取值设定为4，1，2时，在AB上会出新一个动点O，为此设AO=x，此时就可以得出OC =OD= ，如果想要 + 的值最小，只需要将OC+OD的最小值求出，就可以得出 + 的最小值.

4.构造数列

高考题的特征“源于课本，而不同于课本”，学生在解课本习题时，当遇到陌生问题时，应静下心想想教师之前所教的解题方法，选择适当的解题方法，深化思维.在解题过程中，认识到与某个知识点类似，可将其转化为该知识点进行解答.构造法能够有效解决这一问题.已知a ，且a =pa +q（p、q是常数）的形式的数列，均可用构造等比数列法即a +x=p（a +x）（x是常数），数列{a +x}为等比数列，这是大家都非常熟悉的.

如：若数列{a }满足a =1，a = a +1，求a .

解析1：令a +x= （a +x）（x是常数），则a = a + x-x= a - x

该式与已知式a = a +1对比，可求得x的值.

- x=1

即x=-2

∴ = ∴数列{a -2}是以a -2=-1为首项，以 为公比的等比数列.

∴a -2=-1×（ ）

∴a =2-

对既非等差又非等比数列通项求解，应用化归思想，可以通过构造将其转化成等差或等比数列之后，再对应用各自的通项公式进行求解.

解析2：∵a = a +1

∴a = a +1

两式相减得a -a = （a -a ）

令b =a -a （n=1，2，3，…）

则b =a -a = ，b = b

所以，数列{b }是以 为首项，以 为公比的等比数列.

所以b = ×（ ） = ，即a -a = ，

a -a = ，a -a = ，a -a = ，当n>1时，a -a = .

这n-1个式子相加得

a -a = + + +…+

于是a =1+ + + +…+ = =2- （n≥2）

a =1也满足上式，

因此，a =2- .

这两种方法相比，后一种方法比较麻烦，从中可得知：相邻三项之间也可构造出等比数列.在教学中，可以让学生思考、讨论并相互交流，让学生自主分析如何将其构造成等差及等比数列，教师可以根据学生的实际情况，适时对学生的疑问给予引导，如果学生还找不到方法，教师就可以引导学生参照例一的方法，对课本习题进行研究探讨，从而找到解题方法.

5.构造向量

向量是高中数学解题中应用较广泛的知识点，通过构造向量，能够提高解题效率.尤其对于不等式的结构，如x x +y y ，可采用向量的数量积的坐标表示，将原不等式进行适当变形，为不等式的证明提供新方法.

如：已知 ≤x≤5，证明：不等式2 + + <2 .

解析：在上述不等式左侧，2 + + 可变形为2 +1· +1· 的形式，而该形式正好是x x +y y +z z 的结构，对此，可采用向量的数量积表示，并利用数量积的性质a·b≤|a||b|证明该不等式.

构造向量a=（ ， ， ），b=（ ， ， ），则有：|a|= =

|b|= =

又因为a·b≤|a||b|，所以 · + · + · ≤ · <2 ，

最后可得：2 + + <2 .

6.构造模型

所谓现实模型，是指构造与现实生活相关的模型，这种模型构造有利于学生理解，使复杂问题简单化，抽象问题形象化.仍以“已知α、β、λ均为正实数，且α<β，证明 > ”为例，可构建以下现实模型.

解析：因为α、β、λ均为正实数，且α<β，所以可假设α代表溶质，β代表溶液，那 代表溶液的浓度，而 即可理解为加入λ量的溶质后溶液浓度.而溶液溶剂不变，由浓度= 可知，当浓度升高时，表示：该不等式成立.通过构建该模型使问题简单化，有利于学生更好地理解问题.

高中生课程繁多，面对浩瀚如海的数学题，在实际学习中难免有无形压力，不仅失去数学学习兴趣，而且挫伤解题积极性.为此，教师应在数学解题教学中加强“构造法”在高中生数学解题中的运用，根据题目类型，寻找适合的构造方法，帮助高中生节省解题时间，同时在一定程度上培养高中生的思维能力和创新能力，提高学生的数学解题能力.

参考文献：

[1]史海霞.构造法在高中数学中的运用[J].读与写（上，下旬），2014，（3）：171-171.

[2]耿燕.高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].语数外学习（数学教育），2013，（2）：12.