复合函数求导的简便教学法

于风宏　杨广峰

摘 要： 在课堂教学中，我们介绍的复合函数的求导方法是“链式法则”.“链式法则”内容为复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 对于初学者来说，其往往把握不住“链式法则”的关键部分，导致思维混乱，难以下笔，感到“链式法则”很难掌握.本文分析得出对复合函数求导法则的理解和使用方法，此方法简称为“层层扒皮法”，这个方法对初学者来说容易理解，易于掌握.

关键词： 复合函数求导 链式法则 层层扒皮法

在教学过程中，我们发现绝大多数学生一元复合函数的求导非常困难.尤其对于复合层级多于3层的复合函数，初学者在对其求导的时候，总会出现或多或少的问题，或是无从下手，或是求导不到位，或是中间的连接符号极其混乱，或是对“链式法则”的理解不够全面，等等，总之，求出的导数不够透彻.出现这些问题的主要原因是初学者的初等数学基础知识掌握不够牢固，对于复合函数的内容掌握不全面，不清楚复合函数是如何复合的，不能快速分辨复合函数的复合层次.

鉴于此，我们在教学过程中结合“链式法则”，总结出易于学生理解和应用的求复合函数导数的精巧方法——层层扒皮法.下面依据“链式法则”介绍这种求导方法.

课堂教学中，我们介绍的复合函数求导方法是“链式法则”，即复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

对于初学者来说，比较简单的复合函数，他们会很容易找到中间变量，也能够较顺畅地应用“链式法则”.比如下面的例子：

例1.求复合函数y=ln2x的导数.

解：设中间变量为u，则u=2x，那么所给函数是由y=lnu和u=2x复合而成的，则根据链式法则，我们得到所给函数的导数为：

= · = .（2x）′= ·2=

如果复合函数的复合层级多于3层的话，初学者在求导过程中，就会出现混乱.这个时候，我们所说的 “层层扒皮法”就比较好用了.层层扒皮法，就是将复合函数从外向内，一层一层地“扒皮”，每“扒”一层“皮”，就将这层“皮”求导，这层“皮”内部的内容，作为一个整体，看做这层“皮”的自变量，不同层“皮“的导数之间用乘号相连接，同样的方法，依次进行，直到对最内层自变量求导为止.

下面，演示如何应用 “层层扒皮法”来解决多复合层次的复合函数求导问题.

例2.求复合函数y=sin[sin（cos4x）]的导数.

解： 我们来观察所给函数，从左向右（遵循从外向内的原则）看，首先看到的是“sin”，我们把“sin”称为第一层皮，把它的内部函数sin（cos4x）看做一个整体变量，对“sin”求导，得到

y′=cos[sin（cos4x）]（1）

“扒掉”刚刚求导的第一层皮“sin”，我们看到第二个“sin”，这里我们可以把它称为第二层皮，依然把第二层皮的内部函数cos（4x）看成整体，并且对第二层的“sin”它求导，得到cos（cos4x），

将此式与（1）式相乘，我们得到这二层皮的导数为

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x） （2）

我们用同样的思路，继续向内层求导，得到第三层的导数为：-sin4x，

将其与（2）式相乘，得到

y′=cos[sin（cos4x）]·cos（cos4x）·（-sin4x）（3）

同理，再“扒掉”刚刚求完导的第三层“cos”这一层，我们看最内层函数是“4x”，它的导数为：4

将其与（3）式相乘，于是有

y′=cos[sin（cos4x）]×cos（cos4x）×（-sin4x）×4，

整理一下，得到y′=-4sin4x·cos（cos4x）·cos[sin（cos4x）]

就是所求y=sin[sin（cos4x）]的导数.

类似上例的复合函数，按照从左向右的方向，从外向内，逐步分清所要求导的复合函数的复合层次，逐层扒皮，逐层求导，按照这样的思维过程，学生将会很容易克服解题过程中出现的求导结果不彻底、不到位的问题。

同样的，我们可以用层层扒皮法求下列函数的导数.

（1）y=tan[ln（x +2x-3）] （2）y=sin[arccos（sin3x）]

结果为：

（1）y′=sec [ln（x +2x-3）]· ·（2x+2）

（2）y′=cos[arccos（sin3x）]· ·cos3x·3

从上述答案中，可以清楚地看出每一层函数的导数.

幂函数类型和指数函数类型的复合函数能否用层层扒皮法来求导呢？我们用下面两个例子具体说明.

例3.求复合函数y=（arctan（x +1）） 的导数.

解：我们按照从内向外的方向来找层次，首先最外层是 “平方”，把“平方”内部的函数内容arctan（x +1）作为一个整体，对这层求导，得到的导数为

y′=2（arctan（x +1）） （4）

“扒掉”“平方”这层皮，我们看到了arctan（x +1）这一层，对“arctan”求导，把（x +1）看成“arctan”的整体变量，得到它的导数为

，

将其与（4）式相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））g （5）

“扒掉”“arctan”这一层，我们看到最内层为（x +1），它的导数为2x，再与（5）相乘，得到

y′=2（arctan（x +1））· ·2x，

整理以后得到

y′=4·

上式就是复合函数y=（arctan（x +1）） 的导数.

对于指数型复合函数的导数求解方法，其实与其他类型复合函数的导数的求解方法是一致的.

例4.求函数y=e 的导数.

解：函数的最外层是“指数函数”——e ，把（2x-1） 看成e 的整体变量，所以，最外层的导数为

y′=e （6）

“扒掉”“指数函数”e 这一层皮，我们看到的是（2x-1） 这一层，把这里的2x-1看成是“平方”的整体变量，并且对“平方”求导，得到

2（2x-1）

“扒掉”这一层皮，看到最内层是（2x-1），它的导数是2，最后我们把各层函数的导数用乘号连接起来，得到y′=e ·2（2x-1）·2

整理后得y′=4（2x-1）e

上式即为y=e 的导数.

从以上的众多例子中我们不难发现，不同类型的复合函数的分层方向是不同的，但是，只要我们弄清所求导数的函数的复合层次，再结合“层层扒皮求导法”的思维过程，对求复合函数的导数而言，都会比较容易上手。

“层层扒皮求导法”的本质依然是链式法则，建议教师在教学过程中，在讲解“链式法则”以后，再介绍“层层扒皮法”，会达到事半功倍的效果。