关于丢番图方程4-（-2）2=24

王义锦，佟瑞洲

30建平县高级中学，辽宁建平122400；2.朝阳师范高等专科学校，辽宁朝阳122000

王义锦1，佟瑞洲2

利用初等方法给出了丢番图方程px4-（p-2）y2=2z4当p=Q2+2为奇素数时的全部正整数解，从而拓展了Mordell等学者关于ax4+by4=cz2的结果.

丢番图方程；正整数解；两两互素

对于丢番图方程

在文献[1~10]中，Mordell等学者对方程（1）进行了大量研究，本文研究了（a，b，c）=（p，-2，p-2）时方程（1）的求解问题，即研究了丢番图方程

px4-（p-2）y2=2z4，（x，y）=1，p为奇素数（2）的正整数解问题，获得了p=Q2+2（Q为奇数）时方程（2）的全部正整数解，从而拓展了Mordell等人的结果.例如p=3时方程（2）有正整数解（x，y，z）=（1，1，1），（33，1871，13），….p=11时方程（2）有正整数解（x，y，z）=（1，1，1），（241，59439，227），….

1 定理

其中c2，d1满足且c1，d2满足

（II）、（III）中c1,c2,d1,d2两两互素且均为正整数.

2 证明

为证上述定理，先述如下引理：

引理1[11]设m无平方因数，则当m=4k±1时，丢番图方程

的所有正的本原解必可表为：

其中：a，b，m1，m2为正整数，且（a，b）=（m1，b）=（m2，a）=1，m1m2=m.

引理2[12]设0

其中：a，b，m1，m2为正整数，且（a，b）=（m1，b）=（m2，a）=1，m1m2=m.

证明因（x，y）=1，p=Q2+2由方程（2）知令，则方程（2）可化为

若l=0则1=（x，y）=（x，x2）=x，即方程（2）有解x= y=z=1.

若l>0由（3）及引理1得

或者

或者

（7）式、（8）式中的e，f满足

（i）由（6）式、（7）式中的二式有2cd=ef与2∤ef矛盾.

（ii）由（6）式、（8）式中的二式有：

令c1=（c，e），c2=（c，f），d1=（d，e），d2=（d，f）则由（9）式有：c=c1c2，d=d1d2，e=c1d1，f=c2d2，

c1，c2，d1，d2两两互素且均为正整数（10）把（6）中一式、（8）中二式代入（8）中三式：

此时方程（2）有解

或者

（13）式、（14）式中的e，f满足

（ii）由（12）式、（14）式中的二式知（9）式、（10）式成立。把（14）中二式、三式代入（12）中一式得：

由上式得

此时方程（2）有解

例如：在定理（II）中取d1=c1=1则D=Q，且c1,d2满足，即方程（2）有正整数解

Q为奇数.把Q=1，3代入上式，根据定理（I）不难得到下面两个例子.

例1p=3时方程（2）有正整数解（x，y，z）=（1，1，1），（33，1871，13），….

例2p=11时方程（2）有正整数解（x，y，z）=（1，1，1），（241，59439，227），….

[1]曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989:303.

[2]佟瑞洲.关于丢番图方程x8+py2=4z4与x4+16py8=z2[J].渤海大学学报:自然科学版,2006,27（1）:37-39.

[3]佟瑞洲.关于丢番图方程x4+4py4=z2[J].渤海大学学报:自然科学版,2010,31（1）:48-51.

[4]王洪昌.关于丢番图方程x4+py4=z2[J].辽宁科技大学学报, 2009（2）:113-117.

[5]侯万利.关于丢番图方程x4+2py4=z2[J].辽东学院学报:自然科学版,2009,16（1）:44-46.

[6]王洪昌.关于丢番图方程x4+py4=z2[J].辽宁大学学报,2009, 36（2）:170-172.

[7]佟瑞洲.关于丢番图方程ax4+by4=cz2[J].宝鸡文理学院学报:自然科学版,2011,31（2）:1-3,10.

[8]熊丽华,佟瑞洲.丢番图方程ax4+by4=cz2的解法[J].辽宁大学学报:自然科学版,2011,38（4）:298-302.

[9]姜信君,佟瑞洲.关于丢番图方程px4-（p-1）y2=z4[J].辽宁师范大学学报:自然科学版,2012,35（2）:168-173.

[10]陈塞月,佟瑞洲.丢番图方程ax4+by4=cz2的一个结果[J].青海师范大学学报:自然科学版,2013,29（1）:8-13.

[11]佟瑞洲.广义费马方程与指数丢番图方程[M].沈阳:辽宁科学技术出版社,2011:18.

[12]佟瑞洲.关于丢番图方程x2+my2=z2[J].辽宁工学院学报, 2005,25（5）:349-350.

责任编辑：毕和平

Study of Diophantine Equation4-（-2）2=24

WANG Yijin1，TONG Ruizhou2
（1.Jianping Senior Middle School，Jianping 122400，China；2.Chaoyang Teachers College，Chaoyang 122000，China）

When p=Q2+2,p is odd prime,we give all positive integer solutions to the Diophantine equation px4-（p-2）y2= 2z4by the elementary methods.Thereby we expanded the result of equation ax4+by4=cz2which was studied by Mordell etc.

diophantine equation；positive integer solution；prime to each other

O 156.7

A

1674-4942（2014）04-0386-03

2013-07-01