浅析一元函数极值的判定及求法

谢毅

【摘 要】一元函数极值的判定及求法是导数应用的一个重要体现，掌握一元函数极值的判定及求法是了解函数局部性质，描绘函数图像的重要手段，也是二元函数极值问题的基础。本文通过分析一元函数极值的求法，从三种情形阐述极值判定的第二充分条件的局限性。

【关键词】极大值 极小值 驻点 不可导点

一、了解求函数极值的间接要素

1 极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有（或），那么称是函数的一个极大值（或极小值），并且把称为函数的一个极大值点（或极小值点）。

2 求函数极值的间接要素：根据极值的定义，函数的极值是极值点所对应的函数值，所以求函数的极值实际上就是求函数的极值点。函数的极值点包含两种点，一种是驻点，即把使得的点叫做函数的驻点；另一种是不可导点，即使得不存在的点。故求函数的极值无非就是从这两种点中确定谁是极值点，从而求出极值。那么如何从可能极值点中找到函数的极值点呢？

二、利用极值判定的第一和第二充分条件求函数的极值

1 定理1（极值判定的第一充分条件）：设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导。

（1）若当时， >0，而当时， <0，则函数在处取得极大值；

（2）若当时， <0，而当时， >0，则函数在处取得极小值；

（3）若当时，的符号保持不变，则函数在处没有极值。

2 定理2（极值判定的第二充分条件）：设函数在点处存在二阶导数，且，。

若，则函数在点处取得极小值；

若，则函数在点处取得极大值。

3 利用极值判定的第一和第二充分条件求函数的极值：

例1 求函数的极值。

解：（1）的定义域为；

（2）=；

（3）令，得驻点=-1. =3；

（4）在内， >0，在内， <0在内>0

所以函數在点=-1处取得极大值，函数在点=3处取得极小值。

上面是利用极值判定的第一充分条件来求函数的极值，我们再用极值判定的第二充分条件来求函数的极值。

例2 求函数=的极值

解 （1）的定义域为；

（2）=，

（3）令，得=-1， =1

（4），所以=-1， =1都是函数的极小值点，且是函数的极小值。

三、极值判定的第二充分条件的三种局限性

根据上面的例题我们可以得知极值判定的第一充分条件和第二充分条件都有其各自的优势。第一充分条件适用范围广，受限制小，第二充分条件节省计算量。但是观察第二充分条件我们会发现它有三种使用的局限性。

1 若极值点是不可导点时不适用极值判定的第二充分条件。

例3：求函数=的极值

解：（1）的定义域为；

（2）=

（3）显然函数没有驻点，但有这个不可导点，即不存在。此时更不可能存在，所以第二充分条件失效，只能使用第一充分条件。

（4）在内， >0，在内， <0，故是极大值点，是极大值。

2 若驻点是极值点且时不适用极值判定的第二充分条件

例4：求函数的极值

解 （1）的定义域为；

（2）=

==12

（3）令，得驻点=0， =1；。

显然是极小值点且是极小值。而，此时第二充分条件失效。只能使用第一充分条件。

（4）在内>0，在内>0，导数符号相同，所以不是极值点。

3 若函数二阶导数的计算量过大从而失去极值判定的第二充分条件节省计算量的作用时不建议使用极值判定的第二充分条件。

例5：求函数=的极值

解：（1）的定义域为；

（2）=，此时求解计算量过大，不建议使用极值判定的第二充分条件。

（3）令，得驻点=1，另函数存在不可导点=-1.这两个点将定义域分成三个区间。

（4）在内， >0；在内<0；在内>0，所以是极大值点，是极大值。是极小值点，是极小值。

【参考文献】

[1]郑桂梅.高等数学[M].长沙：国防科技大学出版社，2008.

[2]李心灿.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]北京邮电大学数学教研室.高等数学[M].2版.北京：北京邮电大学出版社，2004.

[4]光峰.高等数学简明教程[M].北京：北京邮电大学出版社，2012.