让数学学习成为学生再创造的过程

丁杨华

最近，在朋友的空间里看到一篇转载的博文《可怕的哈佛，可敬的哈佛》，文中指出：“美国小学是知识的吝啬鬼，严格限制孩子得到知识的数量，一个月只允许孩子得到一个知识，孩子每得到一个知识都需要付出很多的汗水和辛苦。在这个过程中，动手、思考和感悟比知识本身更重要，孩子对知识总是有渴望的感觉。”虽然说法略有夸张，但与我们课题研究中所理解的学生的数学学习不谋而合，孩子的数学学习应该是一种数学活动，是学生自主探索的“再创造”的过程。“再创造”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出的，他要求我们一线的数学教育工作者，不要将数学当作一个现成的体系来教，而是让学生在实践的过程中自己去发现，用自己的思维方式重新创造出数学知识。为此，我们在课题研究中，力求教师只给学生提供数学活动的机会，适当启发，引导学生反思、感悟，让学生的创造活动由不自觉的状态发展为有意识的活动。下面简要谈谈我在实践中的一些粗浅体会。

一、创设合理情境，提供再创造的时空

我们目前的小学数学教学，教师关注得较多的可能是教学任务和大量的习题训练，很多新知都是照本宣科，忽略了新知的发现过程和学生学习的情感体验，以致获取新知这样一个生动活泼的过程被无情地抹杀。新知从本质上来说并不是书本给我们的现成结论，而是发现。因此在教学中，教师要为学生创设合理的情境，营造自由的环境，要给学生更多的时间和空间，让他们感知、思考、想象、思维，理解和把握新知，引导和帮助学生对新知进行“再创造”，从而获取“有价值的数学”。

例如，在五年级《公顷的认识》一课的教学中，教师先引领学生回忆已学过的面积单位有哪些。然后提问：如果要测量一块橡皮正面的面积、测量课桌面的面积、我们教室的面积，你准备分别选用什么面积单位呢？追问：边长是多少的正方形面积是1平方厘米、1平方分米、1平方米呢？你能用手势比划一下吗？（再出示人民公园的图片）要测量人民公园的占地面积该选用什么面积单位呢？你发现用平方米来测量人民公园的占地面积怎么样？生1：不太合适。生2：平方米这个单位太小了。师：那你有什么建议？生3：应该选一个比平方米更大的单位。师：好，我们下面就创造比平方米更大的面积单位。出示表格，学生观察，然后尝试创造。

学生试着创造并填表、汇报。生1：边长10米，1平方十米。生2：边长100米，面积1平方百米。生3：边长1000米，面积1平方千米。生4：边长10000米，面积1平方万米……教师在学生自行创造的基础上引出“公顷”这一概念，一切水到渠成。

这里教师精心设计、创设了合理的情境，引领学生回顾，再现1平方厘米、1平方分米、1平方米的大小，极好地调动了学生已有的“数学现实”，让其感受到随着物体表面的增大，测量时选择的面积单位也随之增大，最后由测量人民公园的面积，让学生感受到用“平方米”作单位显得偏小，从而产生了需要创造出一个更大面积单位的愿望，然后放手给予再创造的时空，学生自然将“公顷”这个新的面积单位纳入其已有的知识结构中。

二、制造认知冲突，促进再创造的达成

认知冲突是学生学习的主要动力，其一般策略就是在学习内容和学生求知心理之间制造一种不平衡，把学生引入一种与新问题有关的探究过程中，以促进其再创造。皮亚杰认为，儿童认知发展的过程是“平衡—不平衡—新的平衡”，这与我们数学“再创造”的过程是一致的。心理学研究也表明：当感性输入的信息与儿童已有认知结构不相匹配时，人的兴趣最大，创造欲望最强。因此，教师要合理地设疑立障，制造认知冲突，为学生营造不平衡的学习氛围，让学生在认知失调时通过收集信息和探索调节来降低不和谐，以实现认知的发展，促进再创造的顺利达成。

例如，在六年级《长方体和正方体的体积》的练习课中，我设计了这样一道题：如下图，有一个密封的长方体油箱，从里面量长5分米，高4分米，现在箱里油的高度是2分米。如果把油箱竖起来放，这时油箱里油的高度会是多少分米？

题目刚出示完，生1：“不对呀，缺了一个条件，不知道宽是多少分米，不好做啊！”班上同学纷纷点头附和。我认真看了看题目，点点头，添上了一个条件“宽3分米”。不一会儿，小手纷纷举起。生2：“先算出油的体积532=30（立方分米），接下来用油的体积除以竖过来的底面积（高度与宽的积）就能算出竖起来后油的高度，即30÷（4×3）=2.5（分米）。”同学们点头称是。一会儿，生3站起来说道：“其实这道题原来就不缺少条件，油箱的宽不知道，我们可以假设宽为x，那么油的体积就是5×x×2=10x（立方分米），然后除以竖起的底面，也就是高与宽的积，就能算出竖起来后油的高度，即10x÷（4×x）=2.5（分米），这里的x正好互相抵消，所以我们也可以假设宽为任何符合实际情况的数。”生4：“哦，我明白了！从图上看，两次不同的摆放，油的体积是不变的，油箱的宽度也是不变的，可以推算出两次摆放中虽是不同形状的长方形，但面积是相等的，所以竖起来后油的高度可以直接用5×2÷4=2.5（分米），不需要再添加‘宽3分米这一条件了。”“原来是这样啊！”同学们恍然大悟。“我还有新的发现！”生5突然站起来，“密封的长方体油箱的高是4分米，油的高度是2分米，说明油箱里装了半箱油；油箱竖起来放，也应该是这时高度5分米的一半，也就是2.5分米。”教室里立刻响起了经久不息的掌声。

精巧的练习设计，巧妙地制造了认知冲突，引领学生经历了“缺少条件—补充条件—去除条件”三个阶段，让学生历经多维度、多层次解决问题的探求过程，促进多种不同思维层次再创造的顺利达成，实现了知识技能目标和发展性目标的和谐发展。

三、借助合情推理，开辟再创造的途径

数学中的很多创造常借助合情推理来实现；数学学习中，新结论得出前，合情推理常为我们提供解题的思路与方向；在我们数学再创造的过程中，合情推理也有着重要的作用，但传统的数学教学经常忽视这一点，片面强调演绎的作用，偏向于培养学生的逻辑思维能力，这对学生创造能力的培养是极为不利的。为此，我们常为学生提供数学原型，引领学生展开合情推理，开辟“再创造”的新途径。endprint

例如，五年级教学了《圆的周长》后，我在复习课上设计了这样一道拓展题：如下图，一个底面直径为1.5米的油桶，在距离为20.34米的两墙之间滚动，油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈？

全班42名学生均列式为：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。课后，我反思：要求油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈，从数量关系上应用油桶滚过的路程除以油桶的底面周长，这学生都理解。学生难以理解的是油桶实际滚过的路程，都认为是两墙间的距离。基于以上思考，我精心做了准备，第二天上课时首先向学生出示了四年级数学活动课上曾研究过的“火车过桥”的问题。在学生充分回答的基础上，我用课件演示了过桥的过程，帮助学生进一步理解：火车过桥所行的路程是桥长加火车自身的长度。接着，我再出示昨天的拓展题，让学生小组合作探究：油桶实际滚过的路程是多少？在“火车过桥”的启示下，各小组陆续“再创造”出结论：油桶滚过的路程与火车过桥恰好相反，油桶滚过的路程比两墙间的距离少一条直径的长度1.5米。因为油桶要是滚过20.34米，就会滚到墙里面去，这是不可能实现的。所以列式为：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用课件动态演示了油桶滚过的实际路线，学生彻底明白了。

这里，借助“火车过桥”的模型，唤醒了学生的潜能，学生们展开合情推理，经过观察、联想、比较、类比、归纳，从而完成对所学内容的再创造，顺利攻克了“油桶实际滚过的路程”这一难点。

四、经历数学化过程，感悟再创造价值

弗赖登塔尔指出：与其让学生学习数学，还不如让学生经历数学化。所谓“数学化”就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以组织、整理、应用的过程。在数学学习中，引导学生在“数学化”过程中感悟再创造的价值，领略数学的思想方法是其精髓之所在。让学生在解决问题时体验、概括数学的思想方法，实质上就是让学生用自己的方式“再创造”相关的思想方法。

比如，在教学《除数是整数的小数除法》时，在复习环节，教者设计了65÷5和12÷5让学生笔算，展示后，教者提问：像“12÷5=2……2”这样的题，想想能不能继续往下除？学生试做，实物投影展示做得较好的学生的竖式。教者讲解：生活中也有许多这样的情况，如测量一个物体时，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一点，又想到了厘米。所以当除下来商是整数，还有余数时，我们就可以用到小数。板书课题：小数除法。新课环节，出示妈妈购买水果的主题图，提问：从图中知道了哪些信息？你能求出什么？板书算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提问：你们用除法计算的依据是什么？生：总价÷数量=单价。学生估算每道算式的结果，教师依次板书：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下来，探究算法。学生试做5.2÷4后，提问：同学们发现整数除法与小数除法相比怎样？生：差不多，有一样的地方，计算方法相同；也有不一样的地方，小数除法的商有小数点。师：你们商中的小数点都点对了，是怎么点的？生：5除以4，商1余1，余数1和2个0.1合起来就是12个0.1，12个0.1除以4，每份是3个0.1，是0.3，所以商是1与0.3的和1.3，所以商1的后面要点上小数点。接着，教师依次用长方形图、圆形图、人民币、千米四种不同的原型演示帮助学生理解意义。经历了这一过程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”学生们就能顺利解决。

“除数是整数的小数除法”，其算法具有一定的抽象性，与学生惯用的形象思维有一定的反差，教者巧妙沟通其与整数除法的内在联系，唤起已有的生活经验，让学生经历生活问题数学化的过程，促使学生再创造出小数除法的计算法则，并在高密度的思维中提高问题解决能力，发展学生的数学思维能力，感受再创造的魅力。

总之，在数学学习中，学生的创造性思维无处不在，关键在于我们教师的诱导与激发。我们每位数学教师要删减过满的课堂容量，留给学生充足的“再创造”时间；要改变单一的机械训练，留给孩子再创造的操作平台；要摒弃繁多的课外作业，留给孩子再创造的探究空间……让我们的孩子放慢脚步，在亲历再创造的过程中展现自我、发展自我、成就自我！endprint

例如，五年级教学了《圆的周长》后，我在复习课上设计了这样一道拓展题：如下图，一个底面直径为1.5米的油桶，在距离为20.34米的两墙之间滚动，油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈？

全班42名学生均列式为：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。课后，我反思：要求油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈，从数量关系上应用油桶滚过的路程除以油桶的底面周长，这学生都理解。学生难以理解的是油桶实际滚过的路程，都认为是两墙间的距离。基于以上思考，我精心做了准备，第二天上课时首先向学生出示了四年级数学活动课上曾研究过的“火车过桥”的问题。在学生充分回答的基础上，我用课件演示了过桥的过程，帮助学生进一步理解：火车过桥所行的路程是桥长加火车自身的长度。接着，我再出示昨天的拓展题，让学生小组合作探究：油桶实际滚过的路程是多少？在“火车过桥”的启示下，各小组陆续“再创造”出结论：油桶滚过的路程与火车过桥恰好相反，油桶滚过的路程比两墙间的距离少一条直径的长度1.5米。因为油桶要是滚过20.34米，就会滚到墙里面去，这是不可能实现的。所以列式为：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用课件动态演示了油桶滚过的实际路线，学生彻底明白了。

这里，借助“火车过桥”的模型，唤醒了学生的潜能，学生们展开合情推理，经过观察、联想、比较、类比、归纳，从而完成对所学内容的再创造，顺利攻克了“油桶实际滚过的路程”这一难点。

四、经历数学化过程，感悟再创造价值

弗赖登塔尔指出：与其让学生学习数学，还不如让学生经历数学化。所谓“数学化”就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以组织、整理、应用的过程。在数学学习中，引导学生在“数学化”过程中感悟再创造的价值，领略数学的思想方法是其精髓之所在。让学生在解决问题时体验、概括数学的思想方法，实质上就是让学生用自己的方式“再创造”相关的思想方法。

比如，在教学《除数是整数的小数除法》时，在复习环节，教者设计了65÷5和12÷5让学生笔算，展示后，教者提问：像“12÷5=2……2”这样的题，想想能不能继续往下除？学生试做，实物投影展示做得较好的学生的竖式。教者讲解：生活中也有许多这样的情况，如测量一个物体时，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一点，又想到了厘米。所以当除下来商是整数，还有余数时，我们就可以用到小数。板书课题：小数除法。新课环节，出示妈妈购买水果的主题图，提问：从图中知道了哪些信息？你能求出什么？板书算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提问：你们用除法计算的依据是什么？生：总价÷数量=单价。学生估算每道算式的结果，教师依次板书：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下来，探究算法。学生试做5.2÷4后，提问：同学们发现整数除法与小数除法相比怎样？生：差不多，有一样的地方，计算方法相同；也有不一样的地方，小数除法的商有小数点。师：你们商中的小数点都点对了，是怎么点的？生：5除以4，商1余1，余数1和2个0.1合起来就是12个0.1，12个0.1除以4，每份是3个0.1，是0.3，所以商是1与0.3的和1.3，所以商1的后面要点上小数点。接着，教师依次用长方形图、圆形图、人民币、千米四种不同的原型演示帮助学生理解意义。经历了这一过程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”学生们就能顺利解决。

“除数是整数的小数除法”，其算法具有一定的抽象性，与学生惯用的形象思维有一定的反差，教者巧妙沟通其与整数除法的内在联系，唤起已有的生活经验，让学生经历生活问题数学化的过程，促使学生再创造出小数除法的计算法则，并在高密度的思维中提高问题解决能力，发展学生的数学思维能力，感受再创造的魅力。

总之，在数学学习中，学生的创造性思维无处不在，关键在于我们教师的诱导与激发。我们每位数学教师要删减过满的课堂容量，留给学生充足的“再创造”时间；要改变单一的机械训练，留给孩子再创造的操作平台；要摒弃繁多的课外作业，留给孩子再创造的探究空间……让我们的孩子放慢脚步，在亲历再创造的过程中展现自我、发展自我、成就自我！endprint

例如，五年级教学了《圆的周长》后，我在复习课上设计了这样一道拓展题：如下图，一个底面直径为1.5米的油桶，在距离为20.34米的两墙之间滚动，油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈？

全班42名学生均列式为：20.34÷（3.14×1.5）≈4.3（圈）。课后，我反思：要求油桶从一侧墙滚到另一侧墙要滚多少圈，从数量关系上应用油桶滚过的路程除以油桶的底面周长，这学生都理解。学生难以理解的是油桶实际滚过的路程，都认为是两墙间的距离。基于以上思考，我精心做了准备，第二天上课时首先向学生出示了四年级数学活动课上曾研究过的“火车过桥”的问题。在学生充分回答的基础上，我用课件演示了过桥的过程，帮助学生进一步理解：火车过桥所行的路程是桥长加火车自身的长度。接着，我再出示昨天的拓展题，让学生小组合作探究：油桶实际滚过的路程是多少？在“火车过桥”的启示下，各小组陆续“再创造”出结论：油桶滚过的路程与火车过桥恰好相反，油桶滚过的路程比两墙间的距离少一条直径的长度1.5米。因为油桶要是滚过20.34米，就会滚到墙里面去，这是不可能实现的。所以列式为：（20.34-1.5）÷（3.14×1.5）=4（圈）。最后，我用课件动态演示了油桶滚过的实际路线，学生彻底明白了。

这里，借助“火车过桥”的模型，唤醒了学生的潜能，学生们展开合情推理，经过观察、联想、比较、类比、归纳，从而完成对所学内容的再创造，顺利攻克了“油桶实际滚过的路程”这一难点。

四、经历数学化过程，感悟再创造价值

弗赖登塔尔指出：与其让学生学习数学，还不如让学生经历数学化。所谓“数学化”就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以组织、整理、应用的过程。在数学学习中，引导学生在“数学化”过程中感悟再创造的价值，领略数学的思想方法是其精髓之所在。让学生在解决问题时体验、概括数学的思想方法，实质上就是让学生用自己的方式“再创造”相关的思想方法。

比如，在教学《除数是整数的小数除法》时，在复习环节，教者设计了65÷5和12÷5让学生笔算，展示后，教者提问：像“12÷5=2……2”这样的题，想想能不能继续往下除？学生试做，实物投影展示做得较好的学生的竖式。教者讲解：生活中也有许多这样的情况，如测量一个物体时，用米尺量，多了一些，想到分米，仍多一点，又想到了厘米。所以当除下来商是整数，还有余数时，我们就可以用到小数。板书课题：小数除法。新课环节，出示妈妈购买水果的主题图，提问：从图中知道了哪些信息？你能求出什么？板书算式：5.2÷4，12.4÷5，5.7÷6。提问：你们用除法计算的依据是什么？生：总价÷数量=单价。学生估算每道算式的结果，教师依次板书：1.（ ），2.（ ），0.（ ）。接下来，探究算法。学生试做5.2÷4后，提问：同学们发现整数除法与小数除法相比怎样？生：差不多，有一样的地方，计算方法相同；也有不一样的地方，小数除法的商有小数点。师：你们商中的小数点都点对了，是怎么点的？生：5除以4，商1余1，余数1和2个0.1合起来就是12个0.1，12个0.1除以4，每份是3个0.1，是0.3，所以商是1与0.3的和1.3，所以商1的后面要点上小数点。接着，教师依次用长方形图、圆形图、人民币、千米四种不同的原型演示帮助学生理解意义。经历了这一过程，后面的“12.4÷5、5.7÷6”学生们就能顺利解决。

“除数是整数的小数除法”，其算法具有一定的抽象性，与学生惯用的形象思维有一定的反差，教者巧妙沟通其与整数除法的内在联系，唤起已有的生活经验，让学生经历生活问题数学化的过程，促使学生再创造出小数除法的计算法则，并在高密度的思维中提高问题解决能力，发展学生的数学思维能力，感受再创造的魅力。

总之，在数学学习中，学生的创造性思维无处不在，关键在于我们教师的诱导与激发。我们每位数学教师要删减过满的课堂容量，留给学生充足的“再创造”时间；要改变单一的机械训练，留给孩子再创造的操作平台；要摒弃繁多的课外作业，留给孩子再创造的探究空间……让我们的孩子放慢脚步，在亲历再创造的过程中展现自我、发展自我、成就自我！endprint