永磁同步电机双率残差增广最小二乘参数辨识

徐鹏， 肖建， 杨奕， 李山

(1.西南交通大学电气工程学院，四川成都610031;2.重庆理工大学电子信息与自动化学院，重庆400054)

0 引言

经典系统辨识理论通常假设系统的输入输出采样数据均是在同一操作频率(单率)下获得。随着各种工业过程的发展和生产需求的提高，受客观物理因素的限制，如输入输出变量的频率特性、设备传感器特性等，输入与输出变量需要采用不同的采样(保持)频率采集过程数据，从而出现多率采样系统。多率采样系统理论研究技术起步于20世纪50年代，随后逐步应用于通信系统、信号处理、网络控制系统、过程工业控制等领域。随着被控对象复杂度的加深，多率采样系统更多用于各类控制系统中，而多率采样系统的建模与辨识先于控制成为研究的热点［1］。

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motors，PMSM)具有体积小、结构简单、效率高等诸多优点，使得其在数控机床、医疗器械、航空航天等领域得到广泛应用。然而与其他交流电机一样，由于受噪声、温度和磁场等因素影响，永磁同步电动机是一个参数不确定、非线性、强耦合和多变量高阶复杂系统，为保证相关的控制算法有效运行，首先需要获得电机相关参数，目前常用的电机参数辨识方法主要有最小二乘法［2－8］、卡尔曼滤波法［9－12］、模型参考自适应法［13－16］以及人工神经网络法［17－20］。最小二乘法具有算法简单、易于实现等优点，因此被广泛应用于系统辨识中。它既可以用于动态系统也可以用于静态系统;既可以用于线性系统，也可以用于非线性系统;既可以用于离线估计，也可以用于在线估计。文献［5］用带有遗忘因子的最小二乘法对转子惯性常数、阻尼常数进行了估计，并采用极点配置理论设计的实时PI控制器在参数变化的情况下对永磁同步电机进行了精确控制。文献［6］采用带有遗忘因子的最小二乘法对定子电阻、转子磁通和电机铜损电阻进行了辨识，通过采用输入、输出反馈控制和滑模观测器观测转子速度和位置实现永磁同步电机的无速度传感器控制。文献［7－8］论述了采用带有遗忘因子的最小二乘法对Rd，Rq，Ld，Lq在有短路情况下引起较大温升时的参数变化进行了辨识，以检测定子绕组匝间短路。

本文采用多项式变换技术推导出永磁同步电机双率采样数据系统模型，而变换后原单率系统模型中的白噪声变成有色噪声，针对带有色噪声的双率采样模型，推导出辨识永磁同步电机双率采样系统基于残差增广最小二乘算法(DR－RELS)，并对算法进行收敛性分析，仿真实验结果表明DR－RELS辨识算法对永磁同步电机双率采样系统的参数辨识一致收敛。

1 永磁同步电机数学模型

永磁同步电动机具有多变量、强耦合、非线性的性质，要获得良好的调速性能需在控制时实现对象的近似解耦。因此常采用转子磁链定向同步旋转坐标系(即d－q轴旋转坐标系)对永磁同步电动机性能进行分析研究。在建立永磁同步电机d－q轴数学模型前对电机本体及外界影响做出一些假设，永磁同步电动机在d－q轴旋转坐标系下的电压方程［21－22］为

机械运动方程

2 永磁同步电机双率增广最小二乘算法

多输入多输出多率采样系统可以分解为若干个单输入单输出双率采样系统来进行研究。国内外很多学者研究多率采样系统时，往往从双率采样系统出发，然后将研究成果推广至多率采样系统。针对一类单输入单输出(SISO)系统，其输入量的保持频率与输出量的采样频率不同，如图1所示，Pc为连续时间过程，由计算机产生的离散控制信号u(tT1)经过周期为T1=ph的零阶保持器HT1产生的连续信号uc作为连续过程Pc的输入，受噪声v影响的输出yc经过采样周期T2=qh的采样器ST2产生离散输出信号y(tT2)(p和q互质，h为基周期)。

图1 双率采样数据系统Fig.1 Dual-rate sampled-data system

多项式变换技术是除提升技术以外的唯一能够获得双率辨识模型的方法，这种方法通过对单率模型作一定的转换，使其可以直接使用双率数据辨识出系统模型，然后在辨识出的双率模型参数的基础上结合双率数据得出采样间输出的估计，最后实现双率系统的参数辨识［1，23］。

设定采样基周期为h=T，输入采样周期为T，输出采样周期为2T，即p=1，q=2，引入多项式

式(3)两边左乘D(z)得到

为简化问题分析，下面仅分析d轴电流，并设定q轴电流无噪声干扰，即vq(k)=0，整理得

代换参数得

式中:

定义参数向量

那么式(6)可以写成下列回归形式

用qt代替k得到

式中:

φ0(qt)包含可测得的双率采样输入输出数据{i(qt)，u(t)}，同时也包含不可测的噪声项v(qti)，无法采用标准的最小二乘算法估计参数 ϑ。φ0(qt)中的未知项 v(qt－i)用残差 v^(qt－i)来代替，则φ0(qt)用下面的信息向量代替

残差估计值可由下式计算得到

其中y(qt－i)=id(qt－i)，由于i=1不是q的整数倍，式(9)中 y(qt－i)和 φT(qt－i)均不可测，则无法通过式(9)来计算残差估计。为此，需要将不可测的输出采样中间值y(qt－i)用其估计y^(qt－i)来代替，其计算过程如下:

由式(3)得

设

则式(10)可写成如下形式

用qt代换k

式中:

残差估计值可由下式求得，

可得针对永磁同步电机双率采样系统模型公式(7)的参数ϑ辨识算法，即基于残差增广最小二乘(DR－RELS)辨识算法

算法初始化设置:P(0)=p0I，p0为很大的正整数，I为单位阵，ϑ^(0)为很小的实向量。

做法：1.取水淀粉加入热水中，将手浸泡15分钟，然后用清水洗净，涂抹大量的含有维生素A的软膏。2.用保鲜膜包裹手部，戴上手套或保鲜膜保持一夜，第二天早上再洗净即可。

3 算法性能分析

设{v(t)，Ft}为定义在概率空间{Ω，F，P}的鞅差分序列，其中{Ft}是由{v(t)}产生的代数序列，比如，Ft=σ(v(t)，v(t－1)，v(t－2)，…)或 Ft=σ(y(t)，y(t－1)，y(t－2)，…)［24］。

对于噪声序列{v(t)}，假设其满足下列条件:

算法收敛性的验证需要以下引理。

引理1 对于DR－RELS算法式(12)～式(21)，下列不等式成立:

证明参考文献［25］中引理2的证明，此处从略。

定义

那么可得

引理2 对于双率采样系统公式(8)和DRRELS算法式(12)～式(21)，假设条件(A1)和(A2)成立，且

(A3)H(z):=D－1(z)－严格正实

则

这里(A3)保证了S(qt)≥0成立。

证明参考文献［1］中引理2.2.2的证明，此处从略。

定理3 对于双率系统式(8)和DR－RELS式(12)～(21)算法，假设引理2中的条件都满足，那么对于任意c＞1，有

证明结合文献［1］，对于结论1，设

由 P－1(qt)的定义(20)可知 ln|P－1(qt)|为非递减，利用引理2可得

应用文献［24］中的引理D.5.3可得

由于S(qt)≥0，上式表示

由 ln|P－1(qt)|=O(lnr(qt))=O(lnλmax［P－1(qt)］，则

对于结论2，3和4设

c＞1.则结论2，3和4可以用相似的方法得以证明。定理3证毕。

4 仿真实验

永磁同步电机电磁参数见表1所示，系统基周期T=1e－6(s)，输入采样周期为 1e－6(s)，输出采样周期为2e－6(s)，p=1，q=2，电机调速采用双闭环PI调节方式，转速设定为ω=100(rad/s)，负载转矩为7 N·m，转速和d轴电流响应如图2，图3所示。

表1 永磁同步电机电磁参数Table 1 Electromagnetic parameters of PMSM

由电机电磁参数可以得到永磁同步电机双率采样系统的参数真实值

图2 转速响应Fig.2 Speed response

图3 d轴电流响应Fig.3 d-axis current response

结合参数ϑ的值以及公式(8)φ0(qt)表达式，可以确定 αd1，βd1，βd2为辨识过程的关键参数，而 αd2，βd3，βd4参数相对极小，γd1辨识因采用残差估计噪声故不作为考察参数。故设定辨识过程的关键参数为噪声信号{v(t)}为零均值、方差为σ2白噪声序列。不同噪声方差σ2下应用DR－RELS算法来估计参数ϑ，并采用其估计值直接计算:=［的估计值，则参数估计和估计误差见表2～表5和图 4，其中 δ:= ‖－ ϑk‖/‖ϑk‖，δs:= ‖－ θ‖/‖θ‖为欧几里得范数计算参数估计误差。

表2 DR-RELS算法的ϑk估计值(σ2=0.012)Table 2 DR-RELS estimates ϑk(σ2=0.012)

表3 a1和b1估计值(σ2=0.012)Table 3 Estimates a1and b1(σ2=0.012)

表4 DR-RELS算法的ϑk估计值(σ2=0.022)Table 4 DR-RELS estimates ϑk(σ2=0.022)

表5 a1和b1估计值(σ2=0.022)Table 5 Estimates a1and b1(σ2=0.022)

由表2～表5和图4可以看出，随着时间t的增加，参数估计误差δ逐渐减小，参数估计值收敛于真实值。随着噪声方差σ2的减小，参数估计误差δ在辨识初期的振荡幅度逐渐减小。但因辨识参数值的差异性太大，如αd1远大于βd1，βd2，这就导致各个参数收敛速度的不均衡。结合图3电流响应，可以看出辨识初期电流值在零附近，噪声信号影响较大，而噪声的估计值不准确性导致参数估计误差δ振荡剧烈。

图4 不同噪声方差下参数估计误差δFig.4 Comparison between σ2=0.012and 0.022:DR-RELS estimation error δ

采用DR－RELS虽然能有效辨识带噪声的永磁同步电机双率采样系统，但是由于采用多项式变换技术后待辨识参数的增加，使得应用DR－RELS算法时增加了算法的计算量。

5 结论

采用多项式变换技术对多变量、强耦合永磁同步电机系统变换得基于双率采样数据的数学模型，并采用基于残差增广最小二乘算法(DR－RELS)对其变换后的模型进行参数辨识，同时对算法进行了性能分析，仿真结果证明该算法对永磁同步电机双率采样数据模型参数估计一致收敛性。

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