最小二乘法在抛光设备压力控制中的应用

2014-07-04孙振杰王君锋程启忠

电子工业专用设备 2014年12期

孙振杰，王君锋，程启忠

(1.中国电子科技集团公司第四十五研究所, 北京100176；2.华北石油管理局水电厂，河北任丘062552)

在化学机械抛光过程中，压力的变化对化学机械抛光的工艺性有显著的影响，因此晶片在抛光过程中设定精确的压力是非常必要的，如何建立一种行之有效的抛光压力控制方法，是CMP 工艺研究的一个重要方面。

在实际的抛光过程中，压力值的大小不仅影响抛光后晶片表面去除率、粗糙度等工艺指标，而且当压力波动较大时，会对晶片的表面加工质量产生严重的影响甚至产生碎片。因此在抛光设备压力控制部分不仅要考虑控制方法，同时要考虑合理的压力值设定范围。那么如何在蓝宝石晶片抛光过程中，设置合理的压力参数呢，下面采用数值分析的方法进行研究，这里我们主要研究单因子因素，以抛光去除率作为响应变量，抛光压力作为因子，建立响应变量与因子的回归关系。

1 数学描述

在科学实验和统计研究中，往往需要从一组观测值（i=0，1，2，…，n），去寻找y 与x 之间的函数关系，即：y=f(x)。通过最小二乘法拟合曲线的方法，得到y 与x 的拟合曲线。以便直观地研究y随x 的变化关系。

2 最小二乘法拟合曲线概述

求得拟合曲线以后再通过误差分析得到拟合曲线y*(x)对数据(xi，yi)的拟合精度，其中可以用误差平方和σ 来描述：

3 算法分析

由于影响晶片抛光去除率的工艺参数很多，而本方案只考虑抛光压力与抛光去除率的函数关系，因此在实验过程中，保证其它工艺参数设置不变，而逐步增大抛光压力参数设置。通过实验测得抛光去除率与抛光压力关系数据如表1，求抛光去除率y 与压力x 关系的拟合曲线，以便在程序控制中进行压力的校正。

上述的y 一般是在实验中通过观测得到，总会带有观测误差，并且n 往往很大，因此不能要求曲线y=f(x)通过上述数据表示出所有点。

为了得到抛光压力与抛光去除率之间的函数关系，这里我们用最小二乘法分别进行一次、二次和三次多项式的曲线拟合，并通过MINITAB 软件绘制出曲线拟合的图形。

4 程序设计

class pre

{

protected:

int m，n；

double *a，*x，*y；

double dt；

public:

pre(int m，int n)

{

this->m = m；

this->n = n；

dt = 0；

x = new double[m]；

y = new double[m]；

a = new double[n+1]；

}

函数中一共有m 个数据点，数据点的x 值，即压力值。

void pre::press()

{

double *vy = new double[m+1]；

double *f = new double[n+1]；

int i，j，k；

double **vx = new double*[n+1]；

double **coe = new double*[n+1]；

for(i = 0；i <= n；i++)

{

vx[i]= new double[m+1]；

coe[i]= new double[n+1]；

/*进行曲线拟合*/

}

for(i = 0；i <= n；i++)

{

for(j = 0；j < m；j++)

{

vx[i][j]= value(x[j]，i)；

}

for(j = 0；j < m；j++)

{

vy[j]= y[j]；

}

在上述构造的曲线族中寻找一曲线按照某种原则去拟合数据，用所得的拟合数据曲线去代替数据所反应的函数关系。新的拟合曲线记为y*(x)

/*误差分析*/

void pre::deviat()

{

double *funcValue = new double[m]；

double sum=0；

int i，j；

for(j = 0；j < m；j++)

{

funcValue[j]= 0；

for(i = 0；i <= n；i++)

{

funcValue[j]+= a[i]* value(x[j]，i)；

}

sum += (y[j]- funcValue[j]) * (y[j]- funcValue[j])；

}

this->dt = sqrt(sum)；

}

5 结果分析

5.1 病态处理

作曲线拟合，选择基函数是至关重要的，通常要根据具体的物理背景或坐标点（i＝0，1，2，…，m）的分布情况去选择。通常选择幂函数（j＝0，1，2，…，n）作基函数，这时，拟合曲线是n 次多项式曲线。当n 较大（n≥7）时，相应的法方程往往是病态的，n 越大病态越严重，此时需重新选择基函数进行曲线拟合。

本方案中，通过分析可知采用二次和三次多项式拟合所得数据已经满足要求，因此此案例未涉及病态的处理。