马尔可夫调制模型下交换期权的定价

赵旭龙 王伟

摘 要：在这篇文章中，假定市场经济状态由一个两状态马尔可夫链描述，风险资产满足一个两状态的马尔可夫调制过程。当市场处于高波动状态时，风险资产的价格满足跳扩散过程；当市场处于稳定状态时，风险资产的价格满足几何布朗运动.通过测度变换的技术，得到了交换期权的定价公式。最后，利用蒙特卡洛方法给出了期权价值的数值结果。

关键词：马尔可夫；期权定价；蒙特卡洛模拟

中图分类号：F830 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）10-0120-04

引言

马尔可夫调制模型是近年来非常受欢迎的一种金融模型，国内外大量学者将其应用到金融的多个领域当中，并取得了丰硕的研究成果。有关马尔可夫调制模型下资产定价方面，Guo [1]考虑了当标的资产价格满足马尔可夫调制的几何布朗运动时欧式期权定价题。Guo [2]得到了在马尔可夫调制模型下美式期权的定价公式。Siu [3]研究了当市场中风险资产价格满足马尔可夫调制的几何布朗运动时，嵌入退保期权的分红保单的价值。Boyle和Draviam [4]研究了馬尔可夫调制的几何布朗运动时奇异期权的定价问题。Bo et al[5]研究了马尔可夫调制的跳扩散模型下外汇期权的定价问题。Wang和Wang[6]研究了马尔可夫调制模型下欧式脆弱期权的定价问题。在这篇文章中我们考虑一个两状态马尔可夫调制模型，市场状态由一连续时间马尔可夫链描述，假定市场处于稳定状态时，股票价格满足几何布朗运动；而当市场处于高波动状态时，股票价格服从跳扩散过程。从文中的数值结果可以发现市场的经济状态对期权价值有着很大的影响，因此我们考虑的问题是有意义的。

三、数值模拟

马尔可夫调制的跳扩散模型下交换期权的价值比在Black-Scholes模型下的价值大，这说明了跳风险对期权价值有着很大的影响，在金融模型中忽略了跳风险的存在可能会严重低估期权的价值。

参考文献：

[1] Guo，X..Information and option pricing[J].Quantitative Finance，2001，1：28-44.

[2] Guo，X.，Zhang，Q..Closed form solutions for perpetual American put options with regime switching[J].SIAM Journal on Applied

Mathematics，2004，64（6）：2034-2049.

[3] Siu，T.K..Fair valuation of participating polices with surrender options and regime switching[J].Insurance：Mathematics and

Economics，2005，37：537-552.

[4] Boyle，P.，Draviam，T..Pricing exotic options under regime switching[J].Insurance：Mathematics and Economics，2007，40：267-282.

[5] Bo，L.J.，Wang，Y.J.，Yang，X.W..Markov-modulated jump diffusions for currency option pricing[J].Insurance：Mathematics and

Economics，2010，46（3）：461-469.

[6] Wang，W.，Wang，W.S..Pricing vulnerable options under a Markov-modulated regime switching model[J].Communication in

Statistics-Theory and Methods，2010，39（19）：3421-3433.

[7] Ji Hee Yoon，Bong-Gyu Jang，Kum-Hwan Roh.An analytic valuation method for multivariate contingent claims with regime-

switching volatilities[J].Operations research letters，2011，39：180-187.

Pricing Exchange Options Under a Markov-modulated Model

ZHAO XU-long，WANG Wei

（Department of Financial Engineer，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：In this paper，we suppose that the states of market economy are described by a two-state Markov chain，and the risky asset follows a two-state Markov-modulated process.The risky asset price is driven by a Markov-modulated geometric Brownian motion when the market is stable，but the risky asset follows a jump diffusion process if the market is at a high volatility state.We obtain the pricing formula of a exchange option by measure change.Finally，the result of illustration is provided by Monte Carlo simulation technique.

Key words：Markov；option pricing；Monte Carlo simulation

[责任编辑 吴明宇]