长寿指数延迟年金的设计与价值测度

张元萍，王力平

(天津财经大学经济学院，天津300222)

一、引 言

人口预期寿命的普遍延长使“生命周期假说”中退休阶段的财富配置得到越来越多的关注，退休人员的财富衰减计划(wealth decumulation)逐渐成为个人理财中的重要课题。年金作为养老金融产品，在老年人的生存期间定期提供支付以支撑其晚年消费，即在保证了老年人每期消费的同时覆盖了全部的长寿风险。然而，现实中各国的年金市场发展的并不繁荣——这就是所谓的“年金之谜”。“年金之谜”的形成有两个方面的原因:第一，需求不旺盛:年金损害了老年人的流动性偏好和遗产动机，同时年金的价格很高;第二，供给非意愿:逆向选择的长期存在以及长寿风险的凸显，限制了寿险公司对年金的供给。虽然学术界讨论了两种寿险公司管理长寿风险的途径:再保险和对冲，但是这两种方法都会提高管理费用，使年金价格进一步升高;此外，这两种方法的管理效果还没有得到充分的现实考证。本文旨在通过长寿指数延迟年金(LIDA)的设计，一方面转移年金提供者承担的长寿风险，另一方面，为年金购买者提供价格较低的多样化长寿风险覆盖率的年金产品。

长寿指数延迟年金(Longevity-Indexed Deferred Annuities)，是一种指数化变额年金产品，实现了长寿风险在年金提供者和购买者之间的转移和分担。以实际存活率与参照存活率的比值作为长寿指数，表征系统性长寿风险。年金供给者将每期支付与长寿指数挂钩，将(部分)系统性长寿风险转移给年金购买者。年金供给者承担(部分)系统性长寿风险、非系统性长寿风险(根据大数定律可充分分散)和利率风险。对购买者而言，LIDA的长寿风险覆盖率不再是100%，而是自身承担了一部分系统性风险，因此价格较低。本文利用保险精算和动态优化数值方法计算一系列LIDA的价格和长寿风险覆盖率，购买者可以根据自己的遗产动机、流动性要求等选择不同风险覆盖率和价格的LIDA产品。

二、文献综述

从长寿风险分担的角度，学者们研究了很多类型的年金产品。第一类是群体自年金化(GSA)或长寿风险池年金(longevity-risk pooling fund)。这一类年金最早由 Wadsworth et al［1］提出，之后 Piggott et al［2］进行细致分析。GSA的风险分担模式是年金持有人承担系统性风险，年金池负责分散非系统性长寿风险，而年金提供者，在一定意义上来讲，不承担任何风险。Piggott et al［2］推导了构成GSA价格的两个调整因子在单一群体年金池、异质群体年金池和死亡率预期改变等情况下的具体形式和支付路径。Qiao和 Sherris［3］利用极值理论计算存活率的分布和年金价格，并在此基础上测度GSA的风险池化效率，并量化了年金池的规模对风险分担的影响。第二类年金产品是与死亡率有关的指数型年金。Richter和Weber［4］设计了死亡率指数年金并比较了传统年金与死亡率指数年金对购买者的吸引力。 Denuit et al［5］提出了长寿指数年金，年金的支付与系统性长寿风险的转移都与长寿指数相关，并对转移的比例设定了上下限，这样设计既能减轻年金供给者的负担又能保证对年金购买者的长寿风险覆盖。

从消费者购买年金价格的角度开发年金产品，代表性的主要是Milevsky［6］年提出的通胀调整型延迟年金(ALDA)。这种年金在高龄阶段(如80岁以后)才产生支付，价格低于普通年金，但能提供高龄阶段的全部风险覆盖。Scott［7］利用保险价值原理分析了一类适合于不愿意完全年金化的老年人的年金产品——长寿年金，即延迟支付的年金。数值计算认为，用10%的财富购买长寿年金所得收益高于50%财富分配在即期年金上所得到的的收益。在ALDA的基础上，Huang et al［8］开发了破产或有生命年金RCLA，其支付要延迟到一个预设的金融扩散过程的触零时刻才产生，文章用数值方法在一系列现实的参数下为RCLA定价。

Mitchell et al［9］在《美国经济评论》杂志上发表了一篇关于个人年金货币价值的文章。为计算年金的保险价值，文章比较了退休人员年金化和非年金化两种模式下的消费效用，并利用两种模式下达到相同最优效用时的财富比值作为年金保险价值的测度指标。Brown和Poterba［10］同样提到了“年金等价财富”的概念，即为了得到与全部年金化相同的效用，消费者至少需要多少倍的非年金化财富。Gong和Webb［11］利用ADLA的年金等价财富与即期年金等价财富的比值作为衡量ADLA的长寿风险覆盖率的指标，计算结果显示，在购买人85岁时，ADLA在满足了购买人流动性要求的同时，提供了高于50%的长寿风险覆盖。

综上所述，GSA将所有长寿风险转移给购买者承担，对于风险厌恶型投资者的吸引力不大;长寿指数年金通过设定上下限的方式约束了系统性风险的转移比例，具有一定合理性。本文在设计长寿指数时，从购买者的角度考虑，只设定年金支付的下限。由于长寿风险一般在75岁之后才开始显现，所以延迟年金相比即期年金而言可能将会更受投资者青睐。本文综合以上两种年金的支付形式，创新性地提出长寿指数延迟年金，同时满足了年金提供者的长寿风险转移和年金购买者的长寿风险覆盖。

三、长寿风险的转移——LIDA的设计与定价

长寿指数延迟年金包含了延迟年金和长寿指数年金这两种年金的支付特征。因此，为了更好的阐述LIDA，我们先分别探讨即期年金(SPIA)、延迟年金(ALDA)和长寿指数年金(LIA)的设计与定价，然后构建LIDA的定价公式，最后做数值计算。

1.即期年金与延迟年金

即期年金(Single-Premium Immediate Annuity)是最简单的年金形式，退休人员在x岁购买，从即期开始定期支付。在不确定生命周期下分析，x岁的人的预期余命用Tx表示，由生存概率tpx决定。因此，每期支付1元的即期年金的价格为:

延迟年金(Advanced-Life Delayed Annuity)是指老年人在x岁时购买，在x+τ岁时开始支付。从这个意义上讲，即期年金是延迟年金的特例，即当τ=0时，延迟年金就退化成了即期年金。根据定义，1元延迟年金的价格为:

从另一个定价的角度看，ALDA的价格可以理解为将在x+τ岁购买的SPIA贴现到x岁时的价值，即:

从(3)式可以看出，延迟年金的价格要小于即期年金的价格。

2.长寿指数年金

长寿指数年金的每期支付不再是定值，而是与真实存活率的预测值相关。真实存活率预期对参照存活率的偏离即为系统性长寿风险。利用长寿指数L表征系统性长寿风险:

tpx表示真实存活率的预测值，通过死亡率模型估算得到。表示参照存活率，由人寿保险生命表计算得到。当死亡率普遍下降，真实存活率上升，长寿指数增大，年金产品的系统性长寿风险增大。为了转移系统性长寿风险，LIA每期的支付设定为1/L，即当预期存活率上升时，LIA的支付下降。

然而，年金购买者不愿意承担全部系统性长寿风险，为了保证年金购买者的收益，本文设定年金支付的下限(如floor=0.8)，此时，长寿指数年金的价格为:

由于死亡率普遍下降，长寿指数几乎不可能大于1，因此，与即期年金相比，长寿指数年金的价格更低。同一年龄和利率下，LIA与SPIA的差别便可以作为年金供给者转移给购买者的系统性长寿风险的度量。

3.长寿指数延迟年金

综合以上LIA与ALDA的支付特征，可以推导出LIDA的单位年金价格:

从公式来看，LIDA的价格比LIA更低，因此相较传统的SPIA，LIDA在价格上更具吸引力。这一点我们将在下文的数值计算中充分体现。

需要说明的是，在传统年金中，年金提供者承担所有风险——利率风险、系统性和非系统性长寿风险。非系统性长寿风险可以通过大量的年金合同进行分散，利率风险和系统性长寿风险是年金提供者风险管理的重点。为了阐述和计算简便，本文暂时不考虑利率风险，将利率设定为常数，单纯考虑系统性长寿风险的转移和覆盖在年金价格中的体现。

4.数值计算

(1)参数设定

首先，本文利用尚勤［14］构造的死亡强度对生存概率进行预测，具体形式为:

其中，λx(t)为x岁人口在第t年的死亡强度，服从带跳跃的OU过程:

式中Wλ(t)表示标准布朗运动，本文假定死亡率与金融资产收益率相互独立，因此Wλ(t)与Wrt不相关。J(t)是纯复合泊松跳跃过程，泊松到达强度为l＞0，跳跃幅度服从指数分布，其均值μ＜0。假设布朗运动、泊松过程和跳跃过程相互独立。

利用《中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)》中养老金业务男表的数据估计出参数值为:μ =-0.00038，a=0.07698，l=0.00256，σ =0.00031［14］。qx为死亡率，由生命表查得。通过(8)式可以计算x岁的男性人口在未来生存期间(105-x)年的存活率(生命表中的最大年龄为105岁)。

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最后，利率设为定值，r分别取0.03，0.04，0.05。在计算LIDA价格时，年金支付下限分别设定为floor=0.8，0.7，0.6。延迟时间分别设定为 τ=10，15，20，25，30。

(2)本文利用数值法在离散时间下计算60岁男性人口购买年金的价格，结果如表1。

表1 LIDA年金价格

从总体上看，折现利率增大，年金的价格减小。以r=0.03为例，比较各类年金的价格。为获得1元即期年金，需趸交17.118元;而若购买长寿指数年金，价格降低到15.255～15.770元;如果购买LIDA，价格有更大幅度的下降:下限0.8，70岁起付的年金价格为7.034元，较即期年金下降了57.3%。从年金支付的下限进行比较，下限越低，每期保证支付的金额就少，因此年金价格也降低，但不同下限的年金价格差别不大，因为下限之间的差别经折现之后体现在年金价格上就不明显了。从延迟时间来看，随着τ增大，年金价格不断下降，而且下降幅度越来越大，下限0.8，90岁起付的年金价格仅为0.527元。退休人员的个人长寿风险一般在75岁开始显现，因此，单独从价格上考虑，以4.494元购买下限0.8，75岁起付的LIDA对消费者来说更有吸引力。

(3)系统性长寿风险的转移测度。

年金购买者因承担了一部分系统性长寿风险而获得价格较低的年金，本文利用LIA、LIDA与SPIA的年金价格相比的降低幅度粗略地量化转移了的系统性长寿风险。风险分担情况如图1所示。

从图1的数据中我们可以分析出两个特点:第一，LIA的设计目的就是要帮助年金供给者转移系统性长寿风险，从数值上看，转移幅度大概为7%左右，达到了预期的目的。第二，LIA(τ=0)的长寿风险转移率随着折现率r的增大而减小，而LIDA的长寿风险转移率随着折现率r的增大而增大。这说明虽然每类年金的价格都是随着折现率的上升而下降，但LIDA的年金价格下降的幅度更大。第三，LIDA的系统性长寿风险转移的幅度很大，延迟10年支付，可以转移一半以上的系统性长寿风险;当延迟时间为30年时，可以转移95%以上的系统性长寿风险。因此，从年金提供者的角度，发行L I D A是进行长寿风险管理的一个有效有简捷的途径。

图1 长寿风险延迟程度

四、长寿风险的覆盖——L I D A保险价值的计算

年金对长寿风险的保险价值可以用年金的等价财富来度量。退休人员的财富衰减计划大体上有两种选择：年金化和非年金化。假定在非年金化模式下初始财富为W0，老年人通过合理安排自己的消费达到了最大化效用U*，为了达到相同的效用U*，老年人需要进行年金化的财富为 Weq。定义 α=W0/Weq为年金等价财富系数，即1单位年金化的财富等价于α单位的非年金化的财富。由于年金的保险作用，所以α大于1，因而年金的保险价值体现为为达到相同的效用，老年人需要增加多少非年金化财富，即α-1。

上文中提到，即期年金对长寿风险的覆盖率是100%，因此，L I D A的长寿风险的覆盖率可以通过比较L I D A与即期年金的保险价值获得。

1.分析框架

假定老年人在60岁有一定量初始财富，未来没有收入来源，老年人通过选择财富衰减策略最大化晚年效用。本文采用时间可加的效用函数来描述：

其中，消费效用采用了C R R A效用函数形式，γ表示相对风险厌恶系数。ρ表示时间偏好。

（1）当老年人选择非年金化时，每期的财富约束如下：

（10）、（11a） 和（11b） 式组成了动态最优化模型，通过对模型的求解，可以得出最优消费路径和最大化效用U*。

（2）当老年人购买即期年金或长寿指数年金时，每期的财富约束如下：

假定老年人将全部财富年金化，手中所剩财富W0=0，之后每期都会获得At的支付。当老年人购买即期年金时，At为定值；当老年人购买L I A时，At与长寿指数有关。求解（10）、（12a） 和（12b） 构成的动态优化模型，找出满足m a x U=U*时的每期支付进而计算 Weq：

ax表示某一类型年金（SP I A、L I A、L I D A）的价格。通过以上求解得出和。

（3）当老年人购买L I D A时，财富缩减过程包括两个阶段：年金起付时刻之前的自主安排和年金支付期定期获得支付。因此，效用的计算也分为两个阶段。出于简单考虑，本文假定，在起付期之前，老年人按照（1）中的最优消费路径进行消费，并得到相应的效用。在年金支付期，动态优化模型变化如下:此时，需计算满足 maxU =U*-U*1 的At)。

(4)计算长寿风险覆盖率。

通过以上计算，可以分别得到即期年金、LIA和LIDA的保险价值如下:

即期年金覆盖了全部长寿风险，因此，其长寿风险覆盖率为100%。其他年金的长寿风险覆盖率(longevity-risk coverage)可以与之比较得到:

2.数值计算

假定参数 ρ=0.05，r=0.03，本文利用离散时间下动态最优化数值方法进行实证分析。

(1)LIA长寿风险覆盖率计算结果如表2。

表2 LIA的等价财富系数和长寿风险覆盖率

以往很多研究表明，年金对风险规避型消费者而言价值更大，这个结论在表3中也能体现。同样提供100%风险覆盖的即期年金，对γ=3的消费者而言，1单位年金化财富相当于1.609单位的非年金化财富，而对γ=7的消费者而言，等价财富系数上升到1.655。由于LIA存在着系统性长寿风险转移，因此其等价财富系数均小于即期年金，而且随着年金支付下限的降低，年金的等价财富系数减小。

长寿风险覆盖率是根据等价财富系数计算获得的，因此对不同风险偏好的消费者来说，同一年金的长寿风险覆盖率不同，从这个意义上讲，这是一个相对主观的指标。同一年金对于γ=3和γ=7的消费者的长寿风险覆盖率相差2%～3%。从整体结果来看，LIA能够为年金购买者提供80%以上的长寿风险覆盖。

(2)LIDA长寿风险覆盖率的计算。年金保险价值与消费者风险规避系数的关系在表3中已经得到体现，在此仅以γ=3为例对LIDA长寿风险覆盖率进行阐述，如图2所示。

当消费者的风险规避系数一定时，LIDA的长寿风险覆盖率沿着两个维度变化:一是随着支付下限的降低而降低，二是随着延迟时间的延长而降低，而且降低的幅度越来越大。从计算结果来看，当延迟时间不超过20年时，LIDA能够提供50%以上的长寿风险覆盖。当老年人选择75岁起付的下限为0.8的LIDA时，其获得的长寿风险覆盖为65.62%;结合表1的价格数据，75岁的老年人以26.25%(4.494/17.118)的价格获得65.62%的长寿风险覆盖，其余的34.38%的长寿风险由节省下来73.75%的非年金化财富覆盖，这样可以既保证了一定程度的长寿风险覆盖，又使老年人手中留有较多的流动性财富供其支配。此外，本文的分析是基于老年人在退休期间没有任何其他收入来源的假设之上的，当老年人存在其他收入来源，如退休金、社保金、继续工作的报酬、儿女赡养费等，那么在本文提供的一系列LIDA中，老年人将会有更大的选择空间。

图2 LIDA长寿风险覆盖率

五、结论及展望

本文从养老金融产品创新的角度，缓解了年金的供给和需求的矛盾:在转移了年金供给人的部分系统性长寿风险的同时，为年金购买者提供了具有一定长寿风险覆盖的更低价格的年金产品——长寿指数延迟年金(LIDA)。

在年金产品中，年金供给者承担利率风险、系统性长寿风险和非系统性长寿风险。利率风险是任何金融产品都会包含的风险，非系统性长寿风险可以根据大数定律进行分散，而系统性长寿风险才是年金供给者真正的挑战。再保险和长寿风险对冲产品都是管理长寿风险的合理途径。然而，再保险市场的成熟程度限制了年金供给者进行再保险的可能;而长寿风险的对冲对产品参数的设定、市场成交量、资本市场发达程度等都有很高的要求。长寿指数延迟年金，通过设定长寿指数将系统性长寿风险部分转移给年金购买者，转移程度随着下限的降低和延迟时间的延长而增大。这样，既丰富了老年人的产品选择，又有效地减轻了年金供给者的风险负担。实证结果显示，本文设定的三款下限为0.8～0.6的LIDA均能够转移50%以上的系统性长寿风险。

老年人制定财富衰减计划时会在年金化和非年金化之间踌躇，实质上是在购买年金的代价和长寿风险覆盖之间进行衡量。即期年金可以为老年人提供100%的长寿风险覆盖，但代价是很高的年金价格以及损害了老年人的流动性需求和遗产需求。本文在梳理计算各类年金(SPIA、LIA、LIDA)的价格之后，引入年金等价财富的概念，利用动态最优化数值算法求解不同种类年金的长寿风险覆盖率。计算结果表明，长寿指数年金可以以较低价格提供80%以上的长寿风险覆盖，而LIDA为老年人提供了一系列更低价格、不同长寿风险覆盖程度的产品，使老年人在长寿风险覆盖率、流动性需求和遗产动机之间有更大的权衡空间。

［1］ Wadsworth M，Findlater A，Boardman T.Reinventing annuities［R］.The Staple Inn Actuarial Society Working Paper，2001.

［2］ Piggott J，Valdez E A，Detzel B.The simple analytics of pooled annuity fund［J］.Journal of Risk and Insurance ，2005，72(3):497-520.

［3］ Qiao Chao，Sherris M.Managing systematic mortality risk with group self pooling and annuitisation schemes［R］.ARC Centre of Excellence in Population Ageing Research(CEPAR)Working Paper，2011.

［4］ Richter A ，Weber F.Mortality-indexed annuities:Managing longevity risk via product design［R］.Discussion Paper of Munich School of Management，University of Munich，2009 .

［5］ Denuit M，Haberman S，Renshaw A.Longevity-indexed life annuities［J］.North American Actuarial Journal，2011，15:97-111.

［6］ Milevsky M A.Real longevity insurance with a deductible:Introduction to advanced-life delayed annuities(ALDA)［J］.North American Actuarial Journal，2005，9(4):109-122.

［7］ Scott J S.The longevity annuity:An annuity for everyone?［J］.Financial Analysts Journal，2008，64(1):40-48.

［8］ Huang Huaxiong，Milevsky M A，Salisbury T S.Valuation and hedging of the ruin-contingent life annuity(RCLA)［J］.Journal of Risk and Insurance，2013，80(1).

［9］ Mitchell O S，Poterba J M ，Warshawsky M J，Brown J R.New evidence on the money′s worth of individual annuities［J］.American Economic Review，1999，89(5):1299-1318.

［10］ Brown J R，Poterba J M.Joint life annuities and annuity demand by married couples［J］.Journal of Risk and Insurance，2000，67(4):527-554.

［11］ Gong Guan，Webb A.Evaluating the advanced life deferred annuity-An annuity people might actually buy［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2010，46:210-221.

［12］ Horneff W J，Maurer R H，Stamos M Z.Life-cycle asset allocation with annuity markets:Is longevity insurance a good deal?［R］.University of Michigan，Michigan Retirement Research Center Working Paper，2006.

［13］ Blake D，Cairns A，Dowd K，MacMinn R.Longevity bonds:Financial engineering，valuation and hedging［J］.Journal of Risk and Insurance ，2006，73:647-72.

［14］ 尚勤，秦学志，周颖颖.死亡强度服从 Ornstein-Uhlenbeck跳过程的长寿债券定价模型［J］.系统管理学报，2008，17(3):297-302.