巧妙设计数学习题，提高数学综合能力

刘海昌

摘 要：新形势下的数学教学要在有限的时间和空间里提高学生的数学能力，使课堂效益最大化，那么数学习题的设计就要更有价值。通过习题让学生将所学知识运用到实际中，解决实际问题，促进数学基础的渗透理解，明确知识之间的联系。有效的习题设计有助于学生数学基本技能的形成和能力的提高。学生在数学学习中往往一学就会、一听就懂，但却一做就错、一考就倒。要解决这些问题，就要让学生真正学会、听懂，掌握基础知识的同时，针对学生在学习中出现的具体问题，要通过习题演练，想出具体对策。

关键词：实际问题 数学基础 知识联系

一、设计习题时不要局限于理论说教，更要联系实际内容

在设计习题时，有以下几条总的原则。

我们在设计习题时要联系学生的学习实际和具体的教学内容，拓展研究领域，扎实开展对数学实际问题的研究；要特别重视培养学生的运算能力，提高做题的准确性、迅速性、简捷性； 要在知识的探究过程中培养学生学习数学的兴趣，并通过学生在学习过程中取得的进步，让学生取得学习数学的信心；调动学生的积极性，引发学生的思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。如在设计线段垂直平分线和角平分线习题时，要考虑到常规辅助线的做法和综合知识在证明中的运用。

二、设计习题时要注意题目的基础性、普及性、发展性

《全日制义务教育数学课程标准》所提出的课程目标是每个学生在学习数学时必须获得数学“四基”——基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”——分析问题的能力、解决问题的能力、发现问题的能力、提出问题的能力。为了完成以上目标，我们在设计习题时应特别注意以下几点。

1.针对性

要抓住本节课内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。如在学习角平分线以后，就要针对角平分线上的点到角两边的距离相等这个性质来设计习题进行强化训练。

例如，如图：射线OP是∠AOB的角平分线，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的长。

此类型的习题既训练了角平分线的性质，又运用了三角形的其他性质，达到了训练的目的和效果。

2.有效性

要关注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代数部分要注意适当地加强运算的训练。如学习二次根式时要针对最简二次根式的一些基本运算技巧设计习题。

3.创新性

题目要有新意，教材本身就是一个不断继承发展的过程。设计习题时要注意不离教材本质，要体现真正的应用，不要人为编造。如在设计线段的中垂线的习题时，要让学生养成把线段中垂线上的点连结到线段两个端点的习惯。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，过AD的中点E作AD的垂线交BC于F，交AB的延长线于G，连结CG.

（1）当BG2=BF·BC时，求证：∠DAG=∠CGA；

（2）当BF∶FC=2∶3时，求BC的长.

这道题可以利用中垂线的性质，第（2）问的思维障碍将被巧妙化解。

4.层次性

要关注层次和梯度，理解教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成一个立体化的训练系统，对不同水平的学生都要起到训练作用，所以要设计不同层次的题目，要有考查基本知识的选择题；还要有考查运用的分析题；也要有考查综合能力的发散思维训练题。

5.精确性

不仅要保证习题的科学性和准确性，而且要尽量精确。要考虑所选习题是否能达到训练效果，对题目要仔细推敲，不能有歧义。

三、设计供课外使用的习题要关注本节内容

1.复习巩固题

此类习题的要求和练习类似，可稍作归纳和提高。例如，已知一次函数y=2x+4，求其与两坐标轴所围成的三角形的面积。这道习题包含了对当堂课知识点的综合运用，复习了一次函数基本知识，也满足了学生进一步理解和研究有关知识与方法的需求，是能体现教学“弹性”的一道习题。

2.综合运用

此类习题涉及相关知识的联系，要在数学思维层面体现思想方法、技能技巧，还要在数学能力方面体现综合运用本节知识来解决问题。习题可以和相关内容建立联系，但要注意解决问题的关键应是本节的重点、难点、核心知识。例如，有关抛物线的知识点可以选取一个题目，对抛物线进行三种表达方式（一般式、顶点式、交点式）的训练，可以让学生去设解析式而达到求解析式的目的，也可以就抛物线的特殊点（定点、与坐标轴的交点、直线与抛物线的交点）、坐标与线段相互转化进行综合训练。

3.拓展探索

此类习题更注意探究性、拓展性。数学教材包括两方面的内容——看的内容和做的内容。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。练习、习题就是给学生做的内容，练习、习题、复习题构成了教材的训练系统，通过循序渐进的训练，使学生对内容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函数的习题设计中，可以根据同学们获得的知识进一步猜想：一次函数y=kx+b （k、b为常数，且k≠0）的图象是什么形状？并进一步思考：①作一次函数图象时，要取几个点？②用两点定线法作一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象。③你取的是哪几个点？学会比较，怎样取比较简单？探索出由特殊到一般的规律。通过习题使学生的发散思维得到训练，培养了学生良好的思维品质，使教学由传授知识向开发思维引申，也培养了学生敢于质疑的创新意识，使课堂学习效果得到了升华。

四、设计习题时要尊重学生的个体差异

在习题训练过程中，要关注全体学生的发展，不同水平的学生都要考虑。对于学习有困难的学生，设计基本的训练题，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，对他们的解法和表述进行恰当的指导和评价；对于学有余力的学生，设计有难度的问题，鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法，同时给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的视野，发展他们的数学才能。

总之，教材中的习题与中考题的定位不同，因此，教材中的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，要注意对中考题进行加工和改造，以有利于训练本节（章）的核心知识，有利于增强学生理解数学、应用数学、学好数学的信心。

参考文献

[1]马复.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]张一民.中学数学教学方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，1999.

摘 要：新形势下的数学教学要在有限的时间和空间里提高学生的数学能力，使课堂效益最大化，那么数学习题的设计就要更有价值。通过习题让学生将所学知识运用到实际中，解决实际问题，促进数学基础的渗透理解，明确知识之间的联系。有效的习题设计有助于学生数学基本技能的形成和能力的提高。学生在数学学习中往往一学就会、一听就懂，但却一做就错、一考就倒。要解决这些问题，就要让学生真正学会、听懂，掌握基础知识的同时，针对学生在学习中出现的具体问题，要通过习题演练，想出具体对策。

关键词：实际问题 数学基础 知识联系

一、设计习题时不要局限于理论说教，更要联系实际内容

在设计习题时，有以下几条总的原则。

我们在设计习题时要联系学生的学习实际和具体的教学内容，拓展研究领域，扎实开展对数学实际问题的研究；要特别重视培养学生的运算能力，提高做题的准确性、迅速性、简捷性； 要在知识的探究过程中培养学生学习数学的兴趣，并通过学生在学习过程中取得的进步，让学生取得学习数学的信心；调动学生的积极性，引发学生的思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。如在设计线段垂直平分线和角平分线习题时，要考虑到常规辅助线的做法和综合知识在证明中的运用。

二、设计习题时要注意题目的基础性、普及性、发展性

《全日制义务教育数学课程标准》所提出的课程目标是每个学生在学习数学时必须获得数学“四基”——基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”——分析问题的能力、解决问题的能力、发现问题的能力、提出问题的能力。为了完成以上目标，我们在设计习题时应特别注意以下几点。

1.针对性

要抓住本节课内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。如在学习角平分线以后，就要针对角平分线上的点到角两边的距离相等这个性质来设计习题进行强化训练。

例如，如图：射线OP是∠AOB的角平分线，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的长。

此类型的习题既训练了角平分线的性质，又运用了三角形的其他性质，达到了训练的目的和效果。

2.有效性

要关注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代数部分要注意适当地加强运算的训练。如学习二次根式时要针对最简二次根式的一些基本运算技巧设计习题。

3.创新性

题目要有新意，教材本身就是一个不断继承发展的过程。设计习题时要注意不离教材本质，要体现真正的应用，不要人为编造。如在设计线段的中垂线的习题时，要让学生养成把线段中垂线上的点连结到线段两个端点的习惯。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，过AD的中点E作AD的垂线交BC于F，交AB的延长线于G，连结CG.

（1）当BG2=BF·BC时，求证：∠DAG=∠CGA；

（2）当BF∶FC=2∶3时，求BC的长.

这道题可以利用中垂线的性质，第（2）问的思维障碍将被巧妙化解。

4.层次性

要关注层次和梯度，理解教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成一个立体化的训练系统，对不同水平的学生都要起到训练作用，所以要设计不同层次的题目，要有考查基本知识的选择题；还要有考查运用的分析题；也要有考查综合能力的发散思维训练题。

5.精确性

不仅要保证习题的科学性和准确性，而且要尽量精确。要考虑所选习题是否能达到训练效果，对题目要仔细推敲，不能有歧义。

三、设计供课外使用的习题要关注本节内容

1.复习巩固题

此类习题的要求和练习类似，可稍作归纳和提高。例如，已知一次函数y=2x+4，求其与两坐标轴所围成的三角形的面积。这道习题包含了对当堂课知识点的综合运用，复习了一次函数基本知识，也满足了学生进一步理解和研究有关知识与方法的需求，是能体现教学“弹性”的一道习题。

2.综合运用

此类习题涉及相关知识的联系，要在数学思维层面体现思想方法、技能技巧，还要在数学能力方面体现综合运用本节知识来解决问题。习题可以和相关内容建立联系，但要注意解决问题的关键应是本节的重点、难点、核心知识。例如，有关抛物线的知识点可以选取一个题目，对抛物线进行三种表达方式（一般式、顶点式、交点式）的训练，可以让学生去设解析式而达到求解析式的目的，也可以就抛物线的特殊点（定点、与坐标轴的交点、直线与抛物线的交点）、坐标与线段相互转化进行综合训练。

3.拓展探索

此类习题更注意探究性、拓展性。数学教材包括两方面的内容——看的内容和做的内容。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。练习、习题就是给学生做的内容，练习、习题、复习题构成了教材的训练系统，通过循序渐进的训练，使学生对内容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函数的习题设计中，可以根据同学们获得的知识进一步猜想：一次函数y=kx+b （k、b为常数，且k≠0）的图象是什么形状？并进一步思考：①作一次函数图象时，要取几个点？②用两点定线法作一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象。③你取的是哪几个点？学会比较，怎样取比较简单？探索出由特殊到一般的规律。通过习题使学生的发散思维得到训练，培养了学生良好的思维品质，使教学由传授知识向开发思维引申，也培养了学生敢于质疑的创新意识，使课堂学习效果得到了升华。

四、设计习题时要尊重学生的个体差异

在习题训练过程中，要关注全体学生的发展，不同水平的学生都要考虑。对于学习有困难的学生，设计基本的训练题，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，对他们的解法和表述进行恰当的指导和评价；对于学有余力的学生，设计有难度的问题，鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法，同时给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的视野，发展他们的数学才能。

总之，教材中的习题与中考题的定位不同，因此，教材中的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，要注意对中考题进行加工和改造，以有利于训练本节（章）的核心知识，有利于增强学生理解数学、应用数学、学好数学的信心。

参考文献

[1]马复.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]张一民.中学数学教学方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，1999.

摘 要：新形势下的数学教学要在有限的时间和空间里提高学生的数学能力，使课堂效益最大化，那么数学习题的设计就要更有价值。通过习题让学生将所学知识运用到实际中，解决实际问题，促进数学基础的渗透理解，明确知识之间的联系。有效的习题设计有助于学生数学基本技能的形成和能力的提高。学生在数学学习中往往一学就会、一听就懂，但却一做就错、一考就倒。要解决这些问题，就要让学生真正学会、听懂，掌握基础知识的同时，针对学生在学习中出现的具体问题，要通过习题演练，想出具体对策。

关键词：实际问题 数学基础 知识联系

一、设计习题时不要局限于理论说教，更要联系实际内容

在设计习题时，有以下几条总的原则。

我们在设计习题时要联系学生的学习实际和具体的教学内容，拓展研究领域，扎实开展对数学实际问题的研究；要特别重视培养学生的运算能力，提高做题的准确性、迅速性、简捷性； 要在知识的探究过程中培养学生学习数学的兴趣，并通过学生在学习过程中取得的进步，让学生取得学习数学的信心；调动学生的积极性，引发学生的思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。如在设计线段垂直平分线和角平分线习题时，要考虑到常规辅助线的做法和综合知识在证明中的运用。

二、设计习题时要注意题目的基础性、普及性、发展性

《全日制义务教育数学课程标准》所提出的课程目标是每个学生在学习数学时必须获得数学“四基”——基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”——分析问题的能力、解决问题的能力、发现问题的能力、提出问题的能力。为了完成以上目标，我们在设计习题时应特别注意以下几点。

1.针对性

要抓住本节课内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。如在学习角平分线以后，就要针对角平分线上的点到角两边的距离相等这个性质来设计习题进行强化训练。

例如，如图：射线OP是∠AOB的角平分线，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的长。

此类型的习题既训练了角平分线的性质，又运用了三角形的其他性质，达到了训练的目的和效果。

2.有效性

要关注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代数部分要注意适当地加强运算的训练。如学习二次根式时要针对最简二次根式的一些基本运算技巧设计习题。

3.创新性

题目要有新意，教材本身就是一个不断继承发展的过程。设计习题时要注意不离教材本质，要体现真正的应用，不要人为编造。如在设计线段的中垂线的习题时，要让学生养成把线段中垂线上的点连结到线段两个端点的习惯。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，过AD的中点E作AD的垂线交BC于F，交AB的延长线于G，连结CG.

（1）当BG2=BF·BC时，求证：∠DAG=∠CGA；

（2）当BF∶FC=2∶3时，求BC的长.

这道题可以利用中垂线的性质，第（2）问的思维障碍将被巧妙化解。

4.层次性

要关注层次和梯度，理解教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成一个立体化的训练系统，对不同水平的学生都要起到训练作用，所以要设计不同层次的题目，要有考查基本知识的选择题；还要有考查运用的分析题；也要有考查综合能力的发散思维训练题。

5.精确性

不仅要保证习题的科学性和准确性，而且要尽量精确。要考虑所选习题是否能达到训练效果，对题目要仔细推敲，不能有歧义。

三、设计供课外使用的习题要关注本节内容

1.复习巩固题

此类习题的要求和练习类似，可稍作归纳和提高。例如，已知一次函数y=2x+4，求其与两坐标轴所围成的三角形的面积。这道习题包含了对当堂课知识点的综合运用，复习了一次函数基本知识，也满足了学生进一步理解和研究有关知识与方法的需求，是能体现教学“弹性”的一道习题。

2.综合运用

此类习题涉及相关知识的联系，要在数学思维层面体现思想方法、技能技巧，还要在数学能力方面体现综合运用本节知识来解决问题。习题可以和相关内容建立联系，但要注意解决问题的关键应是本节的重点、难点、核心知识。例如，有关抛物线的知识点可以选取一个题目，对抛物线进行三种表达方式（一般式、顶点式、交点式）的训练，可以让学生去设解析式而达到求解析式的目的，也可以就抛物线的特殊点（定点、与坐标轴的交点、直线与抛物线的交点）、坐标与线段相互转化进行综合训练。

3.拓展探索

此类习题更注意探究性、拓展性。数学教材包括两方面的内容——看的内容和做的内容。正文、习题是一个整体，习题是正文的自然延续，是通过训练帮助学生理解正文内容的。练习、习题就是给学生做的内容，练习、习题、复习题构成了教材的训练系统，通过循序渐进的训练，使学生对内容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函数的习题设计中，可以根据同学们获得的知识进一步猜想：一次函数y=kx+b （k、b为常数，且k≠0）的图象是什么形状？并进一步思考：①作一次函数图象时，要取几个点？②用两点定线法作一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象。③你取的是哪几个点？学会比较，怎样取比较简单？探索出由特殊到一般的规律。通过习题使学生的发散思维得到训练，培养了学生良好的思维品质，使教学由传授知识向开发思维引申，也培养了学生敢于质疑的创新意识，使课堂学习效果得到了升华。

四、设计习题时要尊重学生的个体差异

在习题训练过程中，要关注全体学生的发展，不同水平的学生都要考虑。对于学习有困难的学生，设计基本的训练题，鼓励他们主动参与数学学习活动，鼓励他们自主地解决问题，对他们的解法和表述进行恰当的指导和评价；对于学有余力的学生，设计有难度的问题，鼓励他们探索问题的多种表述方式和解题方法，同时给他们提供丰富的学习材料，拓宽他们的视野，发展他们的数学才能。

总之，教材中的习题与中考题的定位不同，因此，教材中的习题可以兼顾中考（越往后可以兼顾的内容越多），但绝不等同于中考题，要注意对中考题进行加工和改造，以有利于训练本节（章）的核心知识，有利于增强学生理解数学、应用数学、学好数学的信心。

参考文献

[1]马复.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]张一民.中学数学教学方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，1999.