浅析对立原则在数学教学中的应用

王泽香

（上海市钟山高级中学，上海 200434）

数学学习堪称是“思维的体操”.在教学中，怎样激发学生求异思维、展开学生的想象思维的翅膀，最大限度地吸引学生进入积极思维的学习状态，打开学生的数学思维的大门，是当前二期课改的重要课题之一.在数学教学中，经常遇到学生讲：“没思路、想不到……”教师怎么去帮助学生解决这些学习上的问题呢?教师一定要千方百计地为学生创设促进思维的情境，构建一个互动的平台，使数学教育真正面向全体学生，充分发挥数学在提高学生的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面的独特作用.叩开学生的数学思维的心扉，学生思维能力才能不断发展，素质才能不断提高.解题的过程，实际就是转化的过程，每个命题都有多个不同的转化方向和路线.因此怎样探索和如何选择最佳的转化方向和线路就成了解题的关键.矛盾的双方是对立的也是统一的.如果矛盾着的双方各向其对立的转化，就是本文要探讨的对立原则，它是解题的一个指导原则，也是培养和发展思维能力的重要课题，以下就从几个方面加以解析.

一、“未知”与“已知”的相互转化

在解题时，面对陌生的数学题目，我们要设法找出已经熟悉的东西，要尽可能地与自己已有知识、方法和经验挂上钩，想办法把不熟悉转化为熟悉的.“已知”与“未知”这一对矛盾的双方加以转化，没有较强的辩证思维能力，就难以实现这种转化.同时引导学生注意到知识的迁移，通过这样的悉心引导，使学生能积极主动地参与知识的发生过程，例如：

解方程x3+（1+）x2-2=0

这是关于x的一元三次方程，不便求解，如能转化为熟悉的一次方程或二次方程才便于求解，为此我们把x看作已知数而把看作未知数，将原方程转化为关于的二次方程 （）2-x2-（x3+x2）=0，解得=-x或=x2+x，这两个方程我们都很熟悉，都是解过的，这就实现了转化.教学时，要认真研究所要解决的问题与学生已有的认知结构，两者之间有什么样的联系，然后探索转化的方法，同时引导学生注意到知识的迁移，通过这样的悉心引导，反复地在数学思想方面接受熏陶，从而逐步形成自觉运用数学思想的意识.

二、“动”与“静”相互转化

“动”与“静”是一对矛盾，“动”是绝对的，“静”是相对，利用好“动”与“静”相互转化来解决问题会得到意想不到的结果.

边长为a的正三角形顶点A在x正半轴上（含原点）移动，且顶点B在60°角的终边（含原点）上移动.求顶点C到原点O距离的最大值与最小值.把运动的△ABC看作“静止”的，静止的坐标看作“运动”的，那么点O的轨迹是以AB为弦与点C在AB异侧含60°圆周角所得弓形弧，当点O与A（或B）重合时，|OC|取最小值a，当点O与CO'延长直线上时，|OC|取最大值

三、“变”与“不变”的相互转化

没有一成不变的事物，任何事物都处于相互联系和发展变化之中，数学问题也是这样，“变”与“不变”是相对的，也是相互转化的.

四、“一般”与“特殊”的相互转化

欲解特殊性问题，不妨先去考虑它的一般性，待发现它的“一般”规律之后，再回到“特殊”性之中，问题就可迎刃而解.对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举.

数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.

分析：（Ⅰ）a1=1，故

五、“平面”与“立体”的转化

立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位.立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，转化的目的是为了发现问题、分析问题和解决问题.如下问题6就是把某一立体的问题转化为平面的问题，从而使问题得到解决，就是一个较为典型的数学转化实例.四面体各顶点的三个面角之和都是1800，则三组相对的棱分别相等.在立体几何里，很难找到多面体的面角与棱的因果关系，解这道题如果是循常规走老路，很难打开思路，要另辟蹊径，以巧取胜.如把四面体沿其棱剪开，展成平面图形，即可把问题转化为平面几何问题来处理.

统一离不开对立，一方的性质依赖于另一方来规定，这就是平常说的“相比较而存在”.其次，对立离不开统一，什么样的东西才互相排斥呢?必须是具有某种共同的基础、相互依存的东西，才同时呈现出排斥的倾向.如果不是相互依存的东西，那就意味着“彻底分离”、“毫不相干”，还谈什么排斥呢?因此，有了这种转化使问题由难变易，由繁变简.数学中的转化方法不胜枚举，常见的其他转化方法还有“分与合”、“进与退”的转化等等，只要我们在教学中正确地利用好“对立原则”这一指导思想去解题，对于培养学生的科学精神、创新意识和实践能力起着很重要的作用.