基于局部结构信息的自适应混合变分模型

王益艳

(四川文理学院 物理与机电工程学院, 四川 达州 635000)

0 引言

图像在获取和传输过程中，不可避免会受到各

种噪声干扰，导致质量下降.因此，在对图像进行后续处理(如边缘检测、分割、特征提取和识别等)之前，必须先进行滤波预处理.传统的滤波方法包括均值滤波、高斯滤波等，在去噪过程中容易导致图像细节丢失.近年来，基于变分偏微分方程的方法已成为图像处理领域中的一个重要分支，可应用于图像滤波、放大、修复、分割和增强等，其高质量的处理效果已引起人们的广泛关注[1-3].

基于L2范数的调和模型[4]和基于L1范数的全变分(total variation, TV)模型[5,6]是变分PDE去噪方法中的典型代表.从扩散的角度分析，调和模型本质上是各向同性的，与对图像采用高斯滤波器进行滤波等价[7].因此，该模型在平滑噪声的同时，会导致图像的边缘模糊[8].TV模型只沿着边缘方向扩散，它具有各向异性，能在去噪的同时较好的保护图像边缘.但该模型容易将平坦区域的噪声当成假边缘，从而导致产生阶梯效应.针对这两类经典模型存在的不足，人们提出了很多改进方法.Song[9]提出一种基于Lp范数(1

基于此，本文利用结构张量信息，提出了一种加权型的混合变分滤波模型.该模型可以根据图像的局部结构特征自适应选取加权参数，在图像平坦区域，具有各项同性扩散，有利于克服阶梯效应，而在图像边缘，则只沿着切向扩散，有利于保护边缘细节.该模型兼顾了调和模型和全变分模型的优点，具有良好的滤波性能.大量仿真实验结果表明，与其它几种变分模型相比，在同等测试条件下，该算法对应的峰值信噪比(PSNR)值更高，均方根误差(RMSE)更小，迭代收敛速度更快.

1 凸结合变分模型

令u为原始清晰的图像，u0为被噪声污染的图像，即u0=u+n.其中n是均值为0，方差为σ2的高斯噪声.

文献[13]提出如下基于L1范数和L2范数的凸结合变分模型：

(1)

其中τ∈[0,1]是控制参数.式(1)唯一且满足最优解的条件为：

-τ·(u/|u|)-(1-τ)·(u)+λ(u-u0)=0

(2)

其扩散项τ·(u/|u|)+(1-τ)·(u)显然，该模型沿梯度方向和边缘方向都有扩散.特别地，当τ=0时，模型退化为调和模型；当τ=1时，退化为TV模型.因此，该模型是调和模型和TV模型的折中，目的是克服两种模型的缺点，保留其优势.

2 本文改进方法

在文献[13]给出的模型中，参数τ的选取直接影响到最终的去噪效果.而该文给出的参数τ取值为常量，是作为全局性质作用于图像的，不具有自适应性.结构张量[14]常用来估计图像结构方向场和分析图像局部几何结构.基于此，本文提出如下基于结构张量的自适应加权系数.

对于给定的图像u(x,y)，其局部结构信息不仅仅表现为图像的梯度.利用如下定义的Hassian矩阵，可以获取更丰富的局部结构信息[15]：

(3)

式中，uσ表示参数为σ的平滑图像，∂2uσ/∂x2、∂2uσ/∂x∂y和∂2uσ/∂y2分别表示对平滑图像求二阶偏导数.H的两个特征值为：

(4)

(5)

它们对应的特征向量分别为μ1和μ2，表示为：

μ1=(cosθsinθ)T,μ2=(-sinθcosθ)T

(6)

角度θ是最小特征值对应的特征向量与水平方向之间的夹角：

(7)

在图像的平坦区域，结构张量的扩散速度较慢，具有较弱的方向一致性，J1≈J2≈0；在图像边缘区域的局部能量较大，方向一致性较好，J1≫J2≈0.因此，本文构造加权系数γ为：

(8)

其中，k为控制参数.则本文基于结构张量加权的混合模型可表示为：

(9)

γ为结构控制权函数.式(9)唯一且满足最优解的条件为：

-(1-γ)·(u/|u|)-γ·(u)+λ(u-u0)=0

(10)

其扩散项为

(1-γ)·(u)该模型具有各向异性扩散特性.在图像的边缘处，J1≫J2≈0，此时式(9)趋于TV模型，只沿切线方向扩散，具有保持边缘等细节的作用；在图像的平坦区域，J1≈J2≈0，此时式(9)趋于调和模型，在梯度方向和切线方向具有同等扩散(即各向同性)，对图像具有较好的平滑作用.

因此，与传统模型相比，本文模型不但在梯度和切线两个方向上都具有不同的扩散，并且扩散系数充分考虑了图像局部结构特征，对于灰度渐变区,该模型能更好地进行平滑，可有效去除阶梯效应.

3 实验结果与分析

3.1 数值实现

式(10)对应的梯度下降流为：

(11)

本文采用半点格式的中心差分[16]来离散化(11)式中的PDE，对(11)式利用时间步进法求解，其迭代形式为：

(12)

NSDE=|un+1-un|2/|un|2

(13)

实验中，首先给定一个迭代初始值T，当满足时NSDE<ω，迭代提前结束.本文实验参数分别取T=100，ω=10-6，δt=0.05，α=0.01，λ=0.05,k取为噪声标准差大小.

3.2 仿真结果

为了验证本文方法的有效性，本文进行了大量仿真实验，并以峰值信噪比(PSNR)、均方根误差(RMSE)和迭代次数作为滤波性能的客观评价指标.

实验1：以“lena”为测试图像，对其加入一定程度的高斯噪声，分别采用传统调和模型、TV模型、文献[9]模型(参数取p=1,3)、文献[13]模型(参数取τ=0.5)和本文方法对其进行处理.实验结果如图1所示.表1给出了各种滤波模型对应的客观性能指标比较结果.

(a)噪声图像 (b)调和模型 (c)TV模型

(d)文献[9]模型 (e)文献[13]模型 (f)本文方法图1 “lena”测试图像(σ=15)的滤波结果表1 各种滤波模型对应的性能指标比较

滤波算法性能指标PSNRRMSEIter_N调和模型28.994 79.053 332TV模型30.509 27.604 742文献[9]模型30.454 67.652 744文献[13]模型30.614 77.512 933本文方法31.200 77.022 719

从实验1的结果看出，调和模型在滤波的同时模糊了图像细节，TV模型和文献[9, 13]模型虽然比调和模型去噪性能有所提高，但在平坦区域仍存在不同程度的“阶梯”效应.本文方法既能有效平滑平坦区域的噪声，而且与前几种模型相比，也能较好保护图像的边缘细节，其对应的性能指标明显优于其他模型，尤其是迭代次数(如表1所示).

实验2：为进一步说明本文方法的优越性.对测试图像“toys”加入不同程度的高斯噪声，采用文献[13]混合滤波模型(参数取τ=0.5)和本文方法进行对比实验，结果如图2所示.表2给出了不同测试条件下，两种模型对应的PSNR值和RMSE值比较结果，图3给出了不同测试条件下，两种模型对应的迭代次数比较结果.

(a)原始图像 (b)噪声图像

(c)文献[13]模型 (d)本文模型 图2 “toys”测试图像(σ=20)的滤波结果表2 不同测试条件下，两种模型对应的性能指标比较

性能指标噪声标准差文献[13]模型本文方法PSNR(dB)1020304033.602 931.663 029.942 028.638 634.280 131.812 830.162 428.998 8RMSE102030405.326 16.659 08.117 79.432 64.926 66.545 27.914 49.049 4

图3 不同测试条件下，两种模型对应 的迭代次数比较

从图2看出，本文方法滤波后的视觉效果优于文献[13]模型.从表2、图3的比较结果可以看出，在多种不同测试条件下，本文方法得到的性能指标也明显优于文献[13]模型.

4 结论

本文提出了一种基于结构张量的加权混合变分滤波模型，通过图像的局部结构特征，构造了一种自适应的加权系数.该模型兼顾了传统调和模型和全变分模型的优点，在图像平坦区域，可实现各向异性扩散，有效避免“阶梯”效应.而在图像边缘处，只沿切线方向扩散，以保护边缘细节.大量仿真实验结果表明，该方法对高斯噪声污染的图像具有良好的滤波性能.与其它几种变分模型相比，在同等测试条件下，本文算法均可取得更好的滤波视觉效果，同时峰值信噪比(PSNR)值、均方根误差(RMSE)和迭代次数等性能指标更优.

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