平面简谐纵波动能和势能的有关讨论

许 花 冯 杰 涂 泓

(上海师范大学数理学院 上海 200234)

机械波是大学物理力学的重要内容，在讨论机械波能量的问题时，由于纵波比较抽象，现有文献通常以横波为例推导平面简谐波的动能和势能[1，2]，对横波能量的探讨相对比较全面深入[3]，少数文献讨论波动能量时简单提及纵波，没有进行深入的探讨．现有关于纵波的讨论也比较集中在纵波波峰、波谷与纵波疏密部问题上[4，5]，而对于纵波力学原理、动能与势能的详细分析较少.本文根据牛顿运动定律、广义胡克定律等弹性力学理论，结合图像，讨论了平面简谐纵波的动能与势能．

1 平面简谐纵波能量的数学推导

弹性介质元的线变产生纵波，各质元振动的方向平行于波传播的方向，因此表现为各质元间隔较小的“密部”和质元间隔较大的“疏部”在空间做周期性的移动．通过数学分析可知，纵波的最密集处与最疏散处均为平衡位置，纵波的波峰和波谷均位于质点最密集处与最疏散处之间[6]．这样所确定的纵波的波峰和波谷与横波的波峰和波谷在质元的形变、位移大小和振动速度这三个方面就完全一致，即波的平衡位置形变最大，速度也最大，在波峰、波谷位置，形变最小，速度为零[7]．

在有简谐纵波传播的固体介质内，取一微小质元，其横截面积为S，长为dx，质元中心的平衡位置为x，波的传播速度为u．根据平面简谐波方程

可求出其在t时刻的振动速度为

设介质密度为ρ，并用dV表示质元体积，则该质元动能为

同时，质元因形变而具有弹性势能，质元的形变量为dy，弹性势能

因

故

代入上式得

可见ΔEp=ΔEk，质元任一瞬时动能和势能具有相同的数值，它们是同步的，即同时达到最大值又同时达到最小值．质元机械能等于动能与势能之和

即它的机械能也随时间变化，是不守恒的.沿着波的传播方向，该质元不断地从后面的介质获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质．介质的任一质元与其临近的质元之间在不断进行能量交换，这样，能量就随着波动行进，从介质的这一部分传向另一部分．机械能不守恒表明波的传播过程也是能量传递的过程，所以波动是能量传递的一种方式[8]．

2 平面简谐纵波能量的图像 力学原理分析

纵波在介质中传播,各质元的谐振动方向平行于波的传播方向．在纵波通过的区域里,介质发生体积变化,有弹性形变,如图1所示，弹力F的方向、质元本身的弹性形变都平行于波速u(向右)．弹力F在质元本身的弹性形变上所做的功等于质元的弹性势能的增量．质元在振动过程中具有与u平行的加速度,是因为质元两端附近的形变程度不同,两端受到的弹力不等(假设各质元平衡位置均为介质自然状态时各质元所处的位置，疏部受拉、密部受压),弹力的矢量和dF是质元产生加速度的原因,dF在质元的振动位移上所做的功等于质元动能的增量．

图1

以均匀的、各向同性的、无吸收的弹性固体介质为例，在介质内,以某一波线为x轴,x轴的正方向与波速u的相同,选取振动位移为y轴，沿波速方向为正，平衡位置为零．在波线上位置x处取长为dx的质元．用垂直于波速u的切面去切开介质和质元,在同一切面所截出的两个端面上,弹力大小相等、方向相反,符合牛顿第三定律．

2.1 质元的受力与运动情况分析

如图1所示,C质元为最疏部，即到达它的平衡位置，此刻振动方向为沿x轴负方向，因为对称性,左右截面附近的形变程度完全相同,所以左右截面受到的拉力大小相等，方向相反．

2.2 动能ΔEk

如图1，质元D位于最疏部与最密部之间的波峰，形变量为零，D截面F=0，质元D左边邻近的介质被拉伸，给予其向左(与波速方向相反，为负值)的拉力，质元D左边邻近的介质被压缩，给其向左(为负)的压力，质元D的两个端面上弹力的矢量和为-dF(两力大小相加)；质元A为最密部，位于平衡位置，由于对称性，左右截面邻近质元由于受挤压的形变程度完全相同，左右截面受到的压力大小相等，方向相反，质元A两个端面上弹力的矢量和为零；质元D与质元A之间的质元均被挤压，由于各质元左右邻近的介质形变量不同，各质元两个端面上弹力的矢量和为两端弹力大小相减、方向向左(为负值)．

实际上，质元的两个端面上弹力的矢量和dF与质元离开平衡位置的位移y的大小成正比,而方向相反，是质元振动加速度的原因．图2(b)表示对应于图2(a)中在不同时刻的振动位置,某一质元的两个端面上弹力的矢量和dF随时间t变化的曲线,图中箭头表示dF的方向．质元从正的最大位移处由静止开始向平衡位置做加速运动,dF做正功,动能增大；到平衡位置处,y=0,dF=0,质元加速度a=0,速率v最大,动能ΔEk最大．在惯性作用下,质元从平衡位置向负的最大位移运动,与上述过程相反,dF做负功,动能逐渐减小．到达负的最大位移时,dF最大,a最大,v=0,动能ΔEk为零．从此处开始,质元又从静止开始向平衡位置做加速运动,力dF与动能ΔEk的变化与前述过程类似．图2(d)表示对应于图2(a)在不同时刻的振动位置,质元的动能ΔEk随时间t的变化．

图2

2.3 弹性势能ΔEp

弹力F作用于质元的两端截面上,将使质元发生弹性形变dy．弹力与弹性形变成正比,服从广义胡克定律．该力在质元本身的弹性形变上所做的功等于质元因为形变而具有的弹性势能的增量．在正的最大位移处,形变为零,弹力F=0,弹性势能为零；在向平衡位置运动过程中,形变逐渐加大,F增大,质元的弹性势能ΔEp增大；直到平衡位置时,弹性形变最大,F最大,相应的弹性势能由零变到了最大．从平衡位置运动到负的最大位移处,弹力F、弹性形变及弹性势能必然由最大值不断减小到零．图2(c)表示对应于图2(a)的振动位置,质元右端面受质元施加弹力F随时间t变化曲线(图1中波峰左疏右密，波谷左密右疏，图2中质点t=0时刻位于正的最大位移处，弹力F=0；向其平衡位置振动过程中，F增大，且该质点将处于疏部，质元被拉伸，右端面所受的质元的弹力为拉力，方向向左，即沿x轴负方向；当质点由负的最大位移处向其平衡位置振动过程中，弹力由零开始增大，质点将开始处在密部，质元被压缩，右端面所受的质元的弹力为压力，方向向右，即沿x轴正方向)．

2.4 机械能ΔE

从上述分析可见,质元的弹性形变和弹性势能都随弹力F的增大而增大,并且都随质元离开平衡位置的位移大小|y|减小而增大．质元的速度大小与动能大小皆随所受的力|dF|的减小而增大,并且都随位移大小|y|减小而增大．综合这两个方面,质元的机械能必定随|y|的减小而增大或者随|y|的增大而减小,即处在平衡位置时,ΔE最大；在最大位移处时,ΔE=0．图2(d)表示对应于图上在不同时刻的振动位置,质元的动能ΔEk随时间t的变化．ΔEp的变化与ΔEk的相同．ΔE的变化与ΔEk和ΔEp同步,ΔE的振幅是ΔEk或ΔEp的两倍．

3 总结与延伸

纵波在弹性介质中传播时与横波相比较，虽然介质的形变不同，但这两种波动的最基本的形式相同，在传播过程中具有相同的能量．并且在波动中，动能和势能是同相位的，它们同时达到最大值又同时达到最小值，因此对任意体积元，它的机械能是不守恒的．

传播简谐波的介质质元不满足简谐振动的一些特点．为什么机械波动能与势能同步？简谐振动系统机械能守恒，动能与势能相互转换，是此消彼长的关系，不是同步的，位移最大处，速度为零，势能最大；平衡位置速度最大，势能为零．在波动中，对任意体积元，它的机械能是不守恒的．介质质元在最大位移处速度为零，在平衡位置速度最大，这点与简谐振动相同，但是势能的情况不相同．

弹簧振子的势能与其位移相关，振动的位移即为弹性形变，所以当位移最大时，弹性形变最大，振子的势能也最大，当振子处于平衡位置时，弹性形变量为零，势能也为零．而波动中的介质质元的振动位移并不是其形变量，反而是处于平衡位置时，介质形变最大，势能最大，与动能同步．通过对比不难发现，与弹簧振子连结的弹簧一端被固定，系统能量守恒，而波动中各介质都能在其平衡位置附近往复运动，能量传递，最初能量由波源提供．若不单考虑做简谐振动的弹簧振子，将弹簧也划分为一个个微小质元，各质元的运动情况与弹簧振子一致，即所有质元和弹簧振子同时到达最大位移处，速度为零，各质元形变最大；又同时回到平衡位置，速度达到最大，各质元形变为零，也就是各质元(包括弹簧振子)相位相同，但各质元的振幅不同．而平面简谐波在弹性介质中传播时的特点是各质元的振幅相同，但相位不同．

参考文献

1 孙存兰.谈波动中的能量.安康师专学报，2001(4)：89

2 陈永清.简谐振动与简谐波的功能转换关系比较.深圳教育学院学报，2002(1)：94

3 叶帆.关于连续介质中横波的能量探讨.大学物理，2008(9)：19

4 黄金星.论机械波纵波密部的形成机理.岳阳职业技术学院学报，2008(2)：72

5 吴开亮.关于纵波的波峰和波谷的探讨.物理与工程，2010(3)：9

6 海国廷.平面简谐波中媒质质元运动的数学分析.宁夏大学学报(自然科学版)，1995(4)：60

7 冯杰.大学物理专题研究.北京：北京大学出版社，2011.126～129

8 王翔,周玲,郭中华.波动能量的研究.甘肃高师学报，2010(2)：18

Abstract:In this paper we focus on the plane harmonic longitudinal waves transmission in a elastic medium and discuss the kinetic energy and the potential energy of the plane harmonic longitudinal waves from three aspects:function expression method,graph expression method and mechanics principle showing the essence and elementary law of energy transfer of the plane harmonic longitudinal waves through analysis of the force condition,deformation and motion of material element.

Keyword:the plane harmonic longitudinal waves；elastic medium；elasticity modulus；kinetic energy；potential energy