粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性
2014-06-23董超雨姜金平张晓明
董超雨,姜金平,张晓明
(延安大学数学与计算机科学学院,陕西 延安716000)
考虑下列粘性Cahn-Hilliard方程:
粘性Cahn-Hilliard方程是由Novick cohen等在1958年首次提出,用来描述带粘性的二物质相互扩散.许多学者对该方程进行了研究[1-3].本文中对该方程在更高的正则性空间H2中的全局吸引子进行探究,同时参阅了其他方程的全局吸引子[4-5],当δ=0时,方程(1)是Cahn-Hilliard方程.Ω是R2(n≤3)中的有界集,非线性项f(u)满足如下条件:
存在β,γ,正常数k1,k2且0<β≤γ<∞,使得:
1 预备知识
本文中,c,c1,c2,…表示依赖于Ω 与n常数,分别记|·|p和‖·‖s表示Lp(Ω)和Hs(Ω)中的范数,特别地,|·|=|·|2,‖·‖=‖·‖2.令H=L2(Ω),V=H2(Ω).定义Au=Δ2u,则D(A)=H1(Ω)∩H2(Ω)为A的定义域,显然,D(A)⊂V⊂H,并且嵌入是紧的.
定理1.1 对任意u0∈H,初值问题(1~3)式存在唯一解
定理1.1的证明 利用Faedo-Galerkin逼近方法类似文献[5]可证.由定理1.1可定义一个连续算子半群S(t):V→V,使得S(t)u0=u.
定理1.2 以ρ0为半径的球Bρ0(0,ρ0)是 H1界吸收集,即 H1中的任何有界集B,存在t0,使得当t≥t0时,S(t)B⊂Bρ.
定理1.2的证明 用u与方程(1)式做内积,得:
带入(4)式及Poincare不等式|u|2≤λ| u|2得:
由Gronwall不等式得:
半群S(t)的全局吸引子是一个紧的不变集A,通常方法由嵌入定理证明,运用文献[6]中一种新的验证紧性的方法,得到了预期的结果.
定义1.1[6]Banach空间X中的连续半群S(t)满足条件C,是指对任意ε>0及X中任何的有界集B,存在t(B)>0和一个有限维的子空间 H1,使得‖PS(t)B‖是有界的,并且‖(I-P)S(t)x‖≤ε,∀t≥t(B),x∈B,P:X X1是一个规范投影.
定理1.3[6]设S(t)是Hilbert空间X中的连续半群,如果下面条件成立;
1)S(t)在X中存在有界吸收集B⊂X;
2)S(t)满足条件C.
那么S(t)在X中存在全局吸引子A=ω(B),且A吸引X中的一切有界集.
2 全局吸引子的存在性
2.1 H2有界吸收集的存在性 用v=ut+ε0u与方程(1)作内积,得:
由Poincare不等式得:
将(9~10)式代入(7)式得:
由Young不等式得:
因为Δf(u)=f″(u)(u)2+f′(u)Δu,因 H1⊂L2,由(ⅳ)、(ⅲ)、sobolev嵌入定理及定理1.2得:
利用Gagliardo-Nirenberg不等式,得:
得
将上式代入(13)式得:
将(12~14)式代入(11)式得:
取适当的ε0,使得c7>0,c8>0,由Gronwall不等式得:
所以对任意‖u0‖≤R,存在,使得当t≥t1时
定理2.1 f满足条件ⅳ,以ρ1为半径的球Bρ1(0,ρ1)是问题(1~3)生成的解半群S(t)在 H2中的有界吸收集,即对H2中的任何有界集B,存在t1,使得当t≥t1时,S(t)B⊂Bρ1.
2.2 在H2中全局吸引子的存在性 记λ1,λ2,…,λk,…为A 的特征值,e1,e2,…,ek,…为对应的特征向量,当i→∞时构成了H2(Ω)的正交基,令Wm=span{e1,e2,…,em},W′=W,记Pi:V→Wm为规范投影.
对∀u∈H,则有u=u1+u2,其中,用v2=u2t+ε0u2与方程(1)作内积,类似于(8~11)式的估计得:
同理可得,取适当的ε0,使得c3>0,由Gronwall不等式得:
因此满足条件(ⅳ)、定理1.3、定理2.1,得:
定理2.2 设u0∈H2,初值问题(1)~(3)在H2中存在全局吸引子A=ω(B),且A在H2的范数下吸引H2中的一切有界集.
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