二次多项式模型和灰色理论模型在接收机钟差预报中的应用和比较

王志浩，胡永辉，侯雷，吴华兵，葛君霞



二次多项式模型和灰色理论模型在接收机钟差预报中的应用和比较

王志浩1,2,3，胡永辉1,2，侯雷1,2，吴华兵1,2,3，葛君霞1,2,3

（1. 中国科学院国家授时中心，西安 710600；2. 中国科学院精密导航定位与定时技术重点实验室，西安 710600；3. 中国科学院大学，北京 100049）

为了更好地对接收机钟差作科学、准确的预报，基于实验室解算出的接收机钟差数据, 分别采用二次多项式模型和灰色理论模型对接收机钟差进行了预报和分析。预报结果及其比较表明，对于需要用少量接收机钟差数据建立预报模型时，灰色理论模型预报不论是单点预报还是多点（30个点）预报，其预报精度都优于二次多项式预报模型，可以在实际工作中应用。

接收机钟差；二次多项式模型；灰色理论模型

0 引言

根据卫星导航定位理论，接收机同时观测4颗以上的导航定位卫星，可以实现定位，并且可以解算出接收机的钟差。当接收机在城市街道、高楼附近或者森林等遮挡物较多的环境工作时，由于卫星信号被遮挡，接收机短时间内能收到的卫星数可能少于4颗。在仅收到3颗卫星信号时，可以将接收机钟差模型预测出的下一时刻钟差当成一个已知参数，再根据伪距观测方程进行接收机的辅助定位。此外，接收机钟差预报在接收机完备性检测、弱信号环境下信号的快速捕获等方面均有十分重要的意义。

目前接收机钟差预报方法主要以多项式模型及其改进模型为主。文献[1]提出采用滑动窗的方式建立参数实时更新的接收机钟差改进模型，即对拟合所用的采样数据集设置一定长度，同时把新的采样数据引入拟合模型，并剔除最旧数据，然后重新估计模型参数再用于预报，从而建立参数实时更新的钟差模型；文献[2]针对最小二乘钟差预报算法会造成数据饱和的不足，将遗忘因子引入最小二乘预报算法，减弱了老数据对预报值的影响，防止了数据饱和；文献[3]针对GPS/INS深组合系统中GPS接收机误差状态模型难以确定的问题，提出一种自适应的时钟误差模型，该模型可以根据GPS接收机钟差的变化规律而自适应地调节模型参数。

灰色系统是指部分信息已知、部分信息未知的系统。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为的正确认识和有效控制。灰色预报基于人们对系统演化不确定性特征的认识，运用序列算子对原始数据进行生成、处理，挖掘系统演化规律，建立灰色系统模型，对系统的未来状态做出科学的定量预报[4]。

解算出的接收机的钟差变化受到各种因素的影响，除卫星坐标误差、对流层延迟以及电离层延迟等因素外，接收机钟差变化还与其内部的晶体振荡器有关。无论是星载钟、地面原子钟还是普通晶体振荡器，都是非常敏感的，极易受到外界环境及自身因素的影响，很难掌握其复杂细致的变化规律，因此可将钟差的变化视为灰色系统[5]。

近年来随着灰色理论的发展，对于卫星钟差和接收机钟差的处理越来越多地使用灰色理论。文献[6] 对灰色理论的钟差模型详述了病态矩阵与判别方法，并对钟差预报模型的稳定性进行了分析。文献[5]采用了灰色系统和神经网络的混合模型来实现星载钟差的预报。

本文通过采用实验室解算出的接收机钟差数据进行数学建模，根据二次多项式模型和灰色理论模型，对接收机钟差进行预报和分析比较。

1 接收机钟差的求解

卫星导航定位理论中，伪距观测方程式为

由式（2）可以看出，求得的GPS接收机的钟差精度水平主要取决于接收机的伪距测量精度、接收机的坐标精度、卫星的位置精度、卫星钟差的精度、对流层延迟改正以及电离层延迟改正的精度等。

接收机的钟差一般与位置信息一并解算，故认为各观测瞬间的接收机的钟差是相互独立的，因此可以根据以往测得的接收机钟差数据建立相应的钟差模型，得到未来某个时刻的钟差数据。

2 接收机钟差模型的建立

2.1 二次多项式模型的建立

二次多项式模型是用二次多项式作为拟合的目标函数，对接收机的原始钟差进行建模：

我们可以直接套用矩阵方程的最小二乘法解的公式，得到方程（4）的最小二乘法解为

利用该模型求得的未来任意时刻的钟差数值为

2.2 灰色理论模型的建立

对接收机的原始钟差序列进行建模时，必须保证钟差序列中符号保持一致[7]，若不一致，需要给每个元素都加上一个常数。在此基础上才可以建立钟差灰色理论模型，完成最后解算过程后重新减去此常数即可得到预报的钟差数据。

对式（9）进行展开，得到：

将式（10）写为矩阵形式，得

式（14）的离散形式为

将式（15）代入式（16）中，化简得到：

3 预报和分析

为验证上述两种模型的可行性，本文采用实验室解算出的接收机钟差数据作为实测数据进行预报分析。为了在预报过程中保证模型参数的可靠性，同时考虑到接收机实际应用中存储数据量不会太多，一般只存储大约几十个到几百个接收机钟差值，因此本文采用60个钟差数据（每秒1个数据，起始时间段为：2013年9月29日08:00:00至08:01:00）建立钟差模型，采用滑动的形式不断剔除最前面的旧数据，同时引入新的接收机钟差数据。在本文中，单点预报为每次预报下一秒的接收机钟差（预报时间段为：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）；多点预报为每次预报随后30s的30个接收机钟差（预报时间段为：2013年9月29日08:01:01至08:45:00）。

二次多项式模型单点预报结果及其与实测值之差分别如图1和图2所示，灰色理论模型单点预报结果及其与实测值之差分别如图3和图4所示。

图1 二次多项式模型预报的钟差（单点预报）

图2 二次多项式模型预报的钟差值与实测值之差（单点预报）

图3 灰色理论模型预报的钟差（单点预报）

图4 灰色理论模型预报的钟差值与实测值之差（单点预报）

二次多项式模型多点预报结果及其与实测值之差分别如图5和图6所示，灰色理论模型多点预报结果及其与实测值之差分别如图7和图8所示。

图5 二次多项式模型预报的钟差（多点预报）

图6 二次多项式模型预报的钟差值与实测值之差（多点预报）

图7 灰色理论模型预报的钟差（多点预报）

图8 灰色理论模型预报的钟差值与实测值之差（多点预报）

对于分别采用二次多项式模型和灰色理论模型进行钟差预报所得到的预报值与实测值之间的差值，它们的最大值、最小值、平均值和均方根值列于表1。

表1 钟差预报值与实测值之差的最大值、最小值、平均值和均方根值 ns

采用二次多项式模型进行钟差预报的特点是方法比较简单，计算步骤较少。由表1可见，二次多项式模型单点预报时预报值与实测值之差的均方根值为2.2984ns，效果较好；但在多点预报中，此均方根值上升，为3.8165ns。灰色理论模型更能反映由不确定因素引起的钟差变化，其计算步骤也不繁琐。表1表明，灰色理论模型单点预报时和多点预报时预报值与实测值之差的均方根值分别为2.2196ns和2.4202ns。不论是单点预报还是多点预报，灰色理论模型的预报误差均小于二次多项式模型的预报误差。由此表明，灰色理论模型预报值比二次多项式模型预报值更贴近实测值。

4 结语

在实际接收机使用中，当接收机时钟频率保持稳定时，可以根据近期接收机钟差的数据建立模型并预报后续时刻的接收机钟差。当需要基于少量接收机钟差数据建立钟差预报模型并进行预报时，灰色理论模型预报精度无论是单点预报还是多点预报都优于二次多项式预报模型。因此，灰色理论预报模型更适用于基于少量接收机钟差数据的钟差预报，可以应用在实际工作中。

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[4] 刘思峰, 党耀国, 方志耕, 等. 灰色系统理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2010: 226.

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[8] 邓聚龙. 灰色系统基本方法[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005.

Application and comparison of quadratic polynomial modeland grey theory model in prediction of receiver clock bias

WANG Zhi-hao1,2,3, HU Yong-hui1,2, HOU Lei1,2, WU Hua-bing1,2,3, GE Jun-xia1,2,3

(1.National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;2. Key Laboratory of Precision Navigation and Timing Technology, National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences, Xi′an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In order to make a more scientific and accurate prediction of the receiver clock bias, we adopted the quadratic polynomial model and the grey theory model respectively to predict and analyze the receiver clock bias based on the calculated clock bias data obtained from the laboratory. The prediction and comparison show that in case of needing establishing the prediction model with a small amount of receiver clock bias data, the forecast precision of grey theory model is better than that of quadratic polynomial model, for both of single point prediction and multipoint (30 points) prediction, and the grey theory model can be used in practical work.

receiver clock bias; quadratic polynomial model; grey theory model

P228

A

1674-0637(2014)03-0157-07

10.13875/j.issn.1674-0637.2014-03-0157-07

2013-09-04

中国科学院“西部之光”人才培养计划重点资助项目（2009ZD02）

王志浩，男，硕士，主要从事GNSS接收机的研究设计。