数学在天然肠衣搭配上的应用

杨晶晶+欧冰

摘 要 通过先丈量所有原料，再建立数学模型，利用数学软件求出模型的最优解，从而得出一套原料搭配的最优方案，并显著提高肠衣加工公司的生产效率。

关键词 目标函数 LINGO 最优解

中图分类号：O232 文献标识码：A

Application of Mathematics in the Mix of Natural Casings

YANG Jingjing， OU Bing

（Zhongshan Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528404）

Abstract By measuring all the ingredients first， then create a mathematical model， the optimal solution using mathematical software model to arrive at the optimal solution of a mix of materials， and significantly improve the efficiency of the company's production casing processing.

Key words objective function； LINGO； optimal solution

1 提出问题

在肠衣加工厂，工人依靠边丈量原料长度边心算方式，将肠衣清洗并整理分割成长度不同的原材料，最后按指定根数和总长度扎成捆做成成品出售。

原材料分割后依据不同长度分档，隔0.5米为一档，在该档位所有长度的肠衣原料，按照该档位中最低长度计算。肠衣加工几种常见成品的规格表（见表1），工人以米的单位来丈量，第三种规格的最大长度在14米到26米之间（不包括14和26米）。肠衣加工厂建立以某批次原料描述的一个原料描述表（见表2）。目的是通过先丈量所有原料，后通过内部的计划和商讨改变组装工艺，设计出一个原料搭配的最优方案，工人能根据这个优化方案“照方抓药”进行生产，并能提高该公司的生产效率。

表1 成品规格表

2 问题分析，模型建立

可以看出肠衣加工公司提出该问题的目的是为了提高生产效率。而生产效率的提高，可以通过改变成品的扎捆方式和提高成品的均匀性、原料的使用率、工人的工作效率等方面来实现该公司生产效率的提高。若要得到的成品捆数最多，考虑到最短长度最长成品越多越好，原料有剩余降级使用的情况，所以需从第三种规格考虑，先求出第三种规格的能扎捆成的最大捆数，得到剩余量，再将剩余的降级到第二种规格中，求出第二规格中能扎捆成的最大捆数，再得到剩余量并以此类推即可。

结合相关资料，我们知道总长度允许有€？.5米的误差，我们在建立目标函数的时候，每种规格都分别按每捆88.5米、89米、89.5米来建立函数。对于任意的一批材料，为了使成品的捆数最多，建立第三规格的成品捆数最大值： = + + 为了使目标函数更加清晰，让工人更好地按照方案来“照方抓药”，我们首先把不同扎捆方式的总捆数（ =1表示每捆长88.5米， =2表示每捆长89米， =3表示每捆长89.5米）分别表示出来，并可由数学软件lingo来求解得出 = 132， = 5，= 0或者 = 137， = 0， = 0。

第三种规格的目标函数：

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 88.5

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89.5

从求解结果可知，能得到的总捆数为137捆。在根据原料描述表我们可查找到：14.5米到14.9米间余留1根和19.5米到19.9米间余留1根，也就是说第三规格降级到第二规格在13.5米到13.9米间的有2根； 14.米到14.5米间余留1根和21.5米到21.9米间余留1根，也就是说同样第三规格降级到第二规格在13.5米到13.9米间的有2根，所以用两个解除的需降级的都为2根，降到13.5米到13.9米区间加上原来的25根，一共有肠衣27根。

类似地，我们可以建立第二种规格以及第一种规格的目标函数，并由lingo得出结果：第二种规格 = 37， = 0， = 0 。即求得第二规格的总捆数为37捆。在与原材料表对比后发现在，7米到7.4米间余留24根；7.5米到7.9米间余留24根；8米到8.4米间余留8根；8.5米到8.9米间余留1根；12米到12.4米间余留1根；12.5米到12.9米间余留1根；13米到13.4米间余留1根；总共60根。也就是说第二规格降级到第一规格在6.5米到6.9米间的有60根，降到6.5米到6.9米区间加上原来的21根，一共有肠衣81根。endprint

对于第一规格，我们在设计模型的时候考虑到第一规格剩余量不再降级使用，对此，我们要在第一规格实行利用率最大化，减少企业的浪费程度。为更全面地考虑问题，我们把方程放入管理运筹学软件以及lingo中分别进行求解，得到的最佳结果为：第一规格的总捆数为19捆。那么原料表中装出的成品捆数最大值为：

= + + + + + + + + = 193（捆）

3 模型的评价

在建立目标函数时，要充分考虑到目标函数的各项约束条件。比如说，各个未知数均大于0。特别地，对于第三规格中，每一捆的标准根数为5，但是，为了提高原材料的使用率，每一捆的总根数允许比标准少1根。所以在不同的扎捆方式中，实际使用的总根数应该介于4倍的捆数与5倍的捆数之间。这些要求都要在约束条件中体现出来。

另外，为了提高模型结果的正确性，我们采用了两种不同的数学软件（lingo、管理运筹学软件）来求解。甚至于我们还用到了同一软件的不同版本（lingo9以及lingo11）。事实证明，不同的软件求解出的结果的确不同，lingo求解出的最大捆数为191捆，而管理运筹学软件求出的最大捆数为193捆，经过分析我们知道，193捆才是最佳答案。在计算第三规格时，用不同版本的lingo求解，得出的结果也是不一样的。

模型的优点主要有：（1）模型根据实据数据，考虑根数、丈量误差等因素来建立，又以求捆数最多的最优解求解，并分级考虑问题，减少降级使用率，充分利用了肠衣的原料，确实做到提高肠衣加工的生产效率；（2）模型能提供较为精准的方案，确保考虑到了求解出的捆数最多的同时，与下一模型的建立提供较好的联系，规划性较强。（3）模型的建立最大的特点就是在依据较多的数据基础上，进行多方案对比比较而得出最优的方案，方案的准确性与可靠性较高。

模型的不足之处主要是由于建立模型是依据某此原料描述表得出，我们并没有经多个原料描述表加权求平均的方法求出一个比较符合实际的原料描述表。这样一来，建立的模型与实际模型存在一定的误差范围；并且虽然该方案是以求总捆数的最优解来建立最初模型，但在模型的求解过程中，未考虑到公司的经济效益而提高生产的总捆数。

参考文献

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[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

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[4] 戎笑，于德明，孙霞.高职数学建模竞赛培训教程.清华大学出版社，2010.9.

[5] 冯杰，黄力伟，王勤.数学建模原理与案例.北京：科学出版社，2007.endprint