一道中考题带来的启示
2014-06-20刘世杰
刘世杰
摘 要 中考复习回归课本已是势在必行，中考试题都根植于课本，只不过是对原题引申、条件变换、移植转换、增加了解题的层次性。说题是对中考试题的创造性研究与中考试题回归课本是相辅相成的，是我们做好中考复习的重要法宝。
关键词 说题 中考 数学
中图分类号：G633.63 文献标识码：A
Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination
——Dynamic Point Issues in Trapezoidal
LIU Shijie
（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）
Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.
Key words said the problem； examination； mathematics
本文以一道中考选择题为例进行说题。
说题题目：2012年乌鲁木齐数学中考试题第10题
如图1，AD∥BC，∠D = 90€埃珹D=2，BC=5，CD=8，若在CD边上有点P，使△ PAD与△PBC相似，则这样的点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1 说试题立意及背景
试题立意：动点问题是近年来中考的一个热点问题，要求学生能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，化“动”为“静”。从数学知识点来看，动点依附于不同的载体，一般考察几何图像的判定和性质（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函数和方程等知识，综合性很强。考察的途径越来越复杂，对学生的读题、解题、知识迁移能力、数形结合的思维能力提出了很高的要求。
说背景：本题以直角梯形作为载体，动点P隐含其中，以相似三角形的判定为主要考点，运算上以一元方程求解为突破，得到点P的个数。本题运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解题的关键。主要考查学生对基本知识、基本方法、基本技能的理解、掌握和应用，属中考中等难度试题。
2 说学情、教法
说学情：学生较容易先找任一点，大致勾勒三角形，进而利用相似三角形判定列方程，但在分类讨论及列方程求解上容易疏漏，这里要注意，需平时加强训练。
说教法：从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明、代数计算问题，探究解决问题的策略，培养学生解决问题的完备性。
3 说解法
解法一： 解：在CD上找一点P，得到△PAD和△PBC，设DP=X，则CP = 8-X，若△PAD～△PBC，对应边成比例则有两种可能情况。
图2 图3
（1） = （一元一次方程） 有一个解——一个点
（2） = （一元二次方程） 有两个不相等解——两个点
经检验，均符合题意。答案：C
解法二：从形的角度来分析（图3），利用物理上的反射来构造相似，相对的两角相等，这只有一种情况；利用勾股定理证明的图形作为背景，相对的两个角互余，但不等，互余且相等的情况不可能，图3是反例，这时，以不垂直于底的腰为直径画圆，有两个交点，这时有两种情况，总计三种即有三个点存在。
4 拓展变化
如图4，AD∥BC，∠D=90€埃珹D=a，BC=b，AB=c，若在CD边上有点P，使△ PAD与△PBC相似，则这样的点有（ ）个。
图4
本题解有四种情况：以AB为直径作圆，利用梯形中位线定理和圆与直线的位置关系可解得：（1） 如图4（a），c
启示一：本题两种解法实际从数和形的角度出发，把一元方程解的个数与圆与直线的三种位置关系联系起来，这两个看似毫无关联的知识通过直角梯形这个载体有机统一在一起，我们在平时命题时可以有意识去尝试把代数和几何以某个特征图形为平台联系起来，去考察中考考点，让我们对题目有更加深刻的认识，而不是蜻蜓点水，浅尝辄止。
5 中考链接（2013 攀枝花）
如图5，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）。直线经过A，D两点，且sin∠DAB = 。动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设点P，Q运动的时间为t秒（t>0），△MPQ的面积为S。
（1）点A的坐标为 ，直线的解析式为 ；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值。
思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB = 特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标为（-4，0）；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为 = + 4。
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：①当0 （3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值； （4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解。 解：以第二问为主（2）在点P、Q运动的过程中： ①当0 过点C作CF⊥轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。过点Q作QE⊥轴于点E，则BE=BQ·cos∠CBF=5t ·=3t。∴PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM·PE = €？t€祝？45t）=5t2+14t； ②当1 过点C、Q分别作轴的垂线，垂足分别为F，E， 则CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t， S= PM·PE= €？t€祝？67t）=7t2+16t； ③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7， 即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。 当2 MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t， S=PM·MQ=€？€祝？67t）=14t+32。 启示二：（1）复杂的双动点问题可以通过画图呈现运动全过程，随着点的移动，与之相关的图形肯定随着变化，而且移动到不同的位置，我们研究图形可能会改变。（2）特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，化动为静，由特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊图形等）过渡到一般情形。要抓住图形在动态变化中暂时静止一瞬间，将这些点锁定在某一个位置上，看满足什么样的关系，这样问题的实质就显示出来，从而得到解题方法。（3）认真研读文字抓住其中的等量关系和变量关系。一个问题是有关确定图形变量之间的关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊关系或者一些特殊值时，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知识点。 6 教学建议及对策 （1）通过把中考试题回归课本，强化学生对书本知识的融会贯通。本题在九年级下教科书（人教版）中可以找到它的出处，只不过对原题引申、条件变换、移植转换、增加解题层次性。（2）掌握数学知识的迁移，通过代数模块与几何模块互相转化，互相解释，来培养学生数学素质和思维的灵活性、深刻性和创造性 。 具有较强代表性的课本习题和中考试题是数学知识的精华所在，在教学中教师要善于“借题发挥”，使所学数学知识系统化、网络化，培养学生复合思维模式，形成网格技能。通过说题促进教师对试题的研究，帮助教师把握中考命题的趋势与方向，使中考复习走出题海战术，回归课本，把厚书读薄，薄书读厚，真正做到举一反三，达到事半功倍的效果。
