艾拉姆咖分布参数多重模糊假设检验的贝叶斯方法①

杨淳偓， 魏立力

(宁夏大学数学计算机学院，宁夏银川 750021)

0 引言

假设检验作为应用统计推断和统计决策中一个非常重要的内容，已发展了一套比较完善的理论[1].然而，如果在假设或观测值中引入模糊概念，则将面临很多新颖而又有趣的问题.

近年来，许多学者致力于模糊假设检验问题的研究[2～11]，其中一个重要的方面是把模糊集理论与贝叶斯方法结合起来.Delgado等人[2]利用模糊集理论与贝叶斯方法，得到原假设的一个模糊拒绝域.Casals[3]研究了与[2]相同的问题，但其考虑的观测信息也是模糊的.Taheri[4～5]等人研究了观测数据是精确的而假设是模糊的模糊假设的贝叶斯检验.Saade[6]在决策过程中应用了模糊化的贝叶斯准则研究了二重假设检验问题及模糊似然函数.对于经典的统计学问题，国内有不少学者在研究，但是只有部分学者将模糊数学与统计学结合起来做研究.魏立力等人[7～8]将模糊性引入到多重假设中，从贝叶斯决策的角度出发，在定数截尾样本情形下，研究了两参数指数分布中尺度参数的多重模糊假设检验的贝叶斯方法.沈红菊等人[9]研究了单参数指数分布中参数的多重模糊假设的贝叶斯检验.马翠玲等人[10]研究了两参数威布尔分布中尺度参数的多重模糊假设的贝叶斯检验.夏亚峰等人[11]研究了两参数指数_威布尔分布中参数的多重模糊假设的贝叶斯检验.

艾拉姆咖分布[12]是俄罗斯在研究武器装备的维修时间时引入的，此分布在装备维修理论中占有非常重要的地位，其模糊假设通常有很好的解释.本文在精确样本情形下，考虑艾拉姆咖分布参数的多重模糊假设的贝叶斯检验.其中，使用的先验分布为Jeffreys先验和共轭先验分布，并且给出了数值例子.

1 预备知识

首先引入一些基本概念.为了避免可能的争议，在这里强调:先验分布是关于假设的真实性的先验信息，而隶属函数仅是对于假设本身所描述概念的不确定性的一个反映.

设Θ为我们所考虑的参数空间，通常是Rn的一个子集.

称为一个k重模糊假设(k≥2，且为自然数)，记为(H0，H1，…，Hk－1).记A={a0，a1，…，ak－1}为行动空间，其中ai表示接受Hi(i=0，1，…，k－1)的行动.

设X=(X1，X2，…，Xn)是简单随机样本，观测值为x=(x1，x2，…，xn)，其中X的概率函数为f(x|θ)，θ∈Θ是未知参数，且有先验分布π(θ)，现要对 k 重模糊假设 H0，H1，…，Hk－1做出判决，即选择行动空间A中的一个行动.

由贝叶斯公式可知，在得到样本x后，参数θ的后验分布为

其中，m(x)= ∫Θπ(θ)f(x|θ)dθ为样本X的边缘分布.

损失函数是指L(θ，a):Θ × A→R+，L(θ，a)表示参数真值为θ时采取行动a所造成的损失.从样本空间X={x=(x1，x2，…，xn)}到行动空间A上的一个映射δ(x)称为一个判决函数.设D表示所有判决函数组成的判决函数类.其中，损失函数对样本分布的期望值

称为δ(·)的风险函数.风险函数对先验分布π(θ)的期望.

称为δ(·)的贝叶斯风险.如果在决策函数类D中存在这样的决策函数δ*(·)，使得.

则称δ*(·)为贝叶斯风险准则下的最优决策函数[13].

损失函数L(θ，δ(x))关于后验分布π(θ|x)的期望值称为决策函数δ(·)的后验风险.使后验风险达到最小的决策函数称为后验风险准则下的最优决策函数.

对于给定的决策问题和决策函数类D，如果给定的先验分布π(θ)使得贝叶斯风险B(π，δ)满足，则贝叶斯风险准则和后验风险准则等价[14].

2 艾拉姆咖分布参数多重模糊假设检验的贝叶斯方法

假设总体的寿命分布为艾拉姆咖分布，其分布函数为

密度函数为

其中t0是参数.

密度函数为

现在从总体X中抽取n个样本进行寿命试验.引理1 θ的Jeffreys先验为证明: 由Jeffreys先验的定义直接可证.此时，后验分布为

引理2 倒咖玛分布为θ的共轭先验分布.如果取倒咖玛分布IGa(σ，λ)为θ的先验分布，则θ的后验分布为IGa(σ′，λ′)，其中σ′= σ +2n，λ′=

证明: 若θ的先验分布π(θ)=IGa(σ，λ)，则θ的后验分布为

现在我们从总体X中抽取n个样本进行寿命试验.

为了研究k重模糊假设检验问题(H0，H1，…，Hk－1)，使用如下的损失函数[15]:

其中 gi(θ)(i=0，1，…，k－1)为任意非负函数，gi(θ)的选取取决于试验者对错误接受Hi这一假设的敏感程度.

定理1 对于k重模糊假设检验问题(H0，H1，…Hk－1)，如果取损失函数(7)，则接受Hi当且仅当

证明: 考虑决策函数δ(x)的贝叶斯风险

由贝叶斯公式f(x|θ)π(θ)= π(θ|x)m(x)，m(x)

为X的边缘密度函数，因而由Fubini定理，可得

其中

如果定理中的(8)式成立，则

因而B(π，ai)≤B(π，aj)，j≠i.即ai(接受Hi)为贝叶斯检验法则.证毕.

特别的，如果在定理中gi≡C(常数)，i=0，1，…，k－1，则式(8)等价于

假如把Hi理解为模糊事件，则(9)式说明贝叶斯检验法则为接受使后验概率最大的假设Hi，这正是所谓的后验概率准则.

推论1 若取Jeffreys先验πJ∝1/θ，θ＞ 0，则式(8)，(9)分别等价于

推论2 若取倒咖玛分布为的共轭先验分布，则 θ的后验分布也是倒咖玛分布，IGa(σ′，λ′)，其中那么式(8)，(9)分别等价于

3 数值算例

例1 设X=(X1，X2，…，X10)是来自艾拉姆咖分布(5)的简单样本，考虑如下三重模糊假设:H0:θ比10较小，H1:θ大约为10，H2:θ比10 较大其隶属函数分别为

取gi(θ)≡C(常数)，记，则对于 Jeffreys先验，由推论1，需要计算

对共轭先验分布IGa(σ，λ)，超参数σ，λ需要事先确定，我们这里假设 σ =0.5，λ =5，则由推论2，需要计算

对T=120，140，160，180，200，220，240 分别计算 αi(T)和 αi′(T)i=0，1，2，结果列入表 1.

表1 例1计算及检验结果

通过表1可以看到，使用Jeffreys先验和共轭先验分布，其决策基本相同，说明贝叶斯检验法则对两种先验分布不敏感，具有一定稳健性.

例2 (续例1)对于例1中的三重假设，选取损失函数为

对于Jeffreys先验，由推论1，需要计算

对共轭先验分布IGa(σ，λ)，超参数σ，λ需要事先确定，我们这里假设 σ =0.5，λ =5，则由推论2，

需要计算

对T=120，140，160，180，200，220，240 分别计算α(ai|T)和α′(ai|T)i=0，1，2，结果列入表2.

比较表1和表2易知，当T=140时，检验结果发生了改变，这是因为我们选取了g0=20，g1=9，g2=9.说明我们对错误接受H0这一行动比较敏感，不能轻易接受H0.

表2 例2计算及检验结果

[1]Lehmann E L.Testing Statisticalhypotheses(Second Ddition)[M].New York:John Wiley＆ Sons，1986.

[2]Delgado M，Verdegay J L，Vila M A.Testing Fuzzy Hypotheses:a Bayesian Approach[A].Gupt a M M，Kandel A，Bandler W，Kiszka J B.Approximate Reasoning in Expert Systems[C].Amsterdam:Elsevier，1985:307－316.

[3]Casals M R.Bayesian Testing of Fuzzy Parametric Hypotheses from Fuzzy Information[J].RAIRO Operations Research，1993，27(2):189－199.

[4]Taheri S M，Behboodian J.A Bayesian Approach to Fuzzy Hypotheses Testing[J].Fuzzy Sets and Systems，2001，123(1):39－48.

[5]Taheri S M，Behboodian J.Fuzzy Hypotheses Testing with Fuzzy Data:a Bayesian Approach[A].Lecture Notes in Artifical Intelligence 2275[C].Springer，2002:527－533

[6]Saade J J.Extension of Fuzzy Hypothesis Testing with Hybrid Data.Fuzzy Sets Systems，1994，63:57－71.

[7]魏立力，张文修.两参数指数分布模型多重模糊假设检验的贝叶斯方法[J].系统工程，2002，20(2):1－5.

[8]魏立力，张文修.多重模糊假设检验的贝叶斯方法[J].工程数学报，2004，21(3):400－416.

[9]沈菊红，魏立力.指数分布模型模糊假设检验的贝叶斯方法[J].宁夏大学学报:自然科学版，2005，26(1):26－29.

[10]马翠玲，张德存，李彪.两参数威布尔分布模型多重模糊假设检验的贝叶斯方法[J].海军航空工程学院学报，2009，24(1):97－100.

[11]夏亚峰，王瑞.两参数指数－威布尔分布模型多重模糊假设检验的贝叶斯方法[J].甘肃科学学报，2011，24(3):1－5.

[12]吕会强，高连华，陈春良.艾拉姆咖分布及其在保障性数据分析中的应用[J].装甲兵工程学院学报，2002，16(3):48－52.

[13]陈希孺.数理统计引论[M].北京:科学出版社，1997.

[14]范金成，吴可法，统计推断导引[M].北京:科学出版社，2001.