考虑磁路饱和效应的无刷直流电机电感参数研究①

钟继隆， 周 苏，2， 王明强

(1.同济大学汽车学院，上海201804;2.同济大学中德学院，上海 200092)

0 引言

电感是对电机性能有重大影响的参数，它不仅直接影响电机的稳态性能，还与电机的换相及转矩脉动等动态性能密切相关[1].由于饱和效应的影响，电感在电机运行过程中也体现出动态特性.而在以往的永磁无刷直流电机模型中，相绕组电感都视为常值，因而忽略了电感参数的饱和效应，这就势必导致性能计算值与实际情况出现偏差.在无刷直流电机的控制方面，目前已有研究利用电感的饱和效应进行无位置传感器电机的启动控制及转子位置估计[2～3]，但并未对电感的变化规律作系统的研究和阐述.

因此，对电机电感参数的准确描述无论对电机本体本身的设计还是对电机的控制都有重要意义.本文将从电感饱和效应的基本原理出发，系统分析影响电感变化的因素及其规律性，并给出无刷直流电机各相绕组自感和互感的计算方法.

1 电感饱和性质

1.1 基本性质

电感是电路元件的一种集总性质，表征了元件储存磁能的能力.对于一个通电电流为，电感为L的N匝线圈，其反电动势

可见电感又是关联磁场与电场的物理量.电磁理论研究表明，绕组磁链Ψ与通入其中的电流有如图1所示的关系.结合式，从中可以看到电感具有以下性质:

(1)始终为正，这也可以从磁能表达式得出;

(2)通电电流为0或磁场最弱时，电感最大;

(3)随着磁场增强，电感逐渐减小;

图1 线圈电感随磁链的变化图

此即电感的饱和特性.磁路分析法表明，绕组电感

其中N为绕组元件匝数，Λ为磁导，Rm为磁阻.

因此，当绕组确定时，匝数确定，电感仅由磁导或磁阻决定，而由于磁路具有饱和性质，磁阻在接近饱和状态时，将急剧增大，电感趋于0.因此，电感的饱和性质其实是磁路饱和效应的一种体现.

1.2 无刷直流电机电感的影响因素分析

文献[4]指出，对于通电线圈，其磁链

则电感

其中L0为电流为0时电感，也即最大电感.可见，式与图1描述的电感饱和规律相互验证.对无刷直流电机的某相绕组而言，其磁链不仅包括该绕组电流产生的自磁链，还包括外部磁场通量交链:其他绕组电流对其产生的磁通交链及作为励磁元件的永磁体产生的磁通交链.因此，式(3)应修正为

对于p相绕组，其磁链0

φmp为永磁体在相绕组内的磁通，则p相绕组自感

由于各相永磁磁通跟转子位置有关，因此可以定性地认为，某一特定无刷直流电机的各相电感随三相电流及转子位置θ变化而变化.

2 无刷直流电机磁路分析和电感计算

无刷直流电机三相绕组磁路及对应坐标系如图2所示，其中永磁铁转子位置θ以转子D轴来表征.

图2 无刷直流电机各相绕组磁路示意图

2.1 磁链的计算

此时无刷直流电机各相磁链为:

此即磁链方程.忽略永磁体退磁效应，永磁磁通交链Ψma，Ψmb，Ψmc仅取决于转子位置.其变化产生了梯形反电动势，即:

显然，Ψma(0)是永磁体通过A相绕组的最大磁链，Ψma(0)=Nφm(φm为极面气隙磁通).根据三相反电动势因数Kea，Keb，Kec与转子位置的梯形函数关系解式(5)中的方程得A相永磁磁通交链

由Ψma(π)=－Ψma(0)=－Nφm得

利用Ψma(θ)，Ψmb(θ)，Ψmc(θ)之间的120°电角度关系，得

2.2 互感的计算

由电磁学相关理论知，相绕组间互感有如下关系:Lab=Lba，Lac=Lca及Lbc=Lcb，且相绕组间互感具有与自感机理相同的饱和效应.那么，对于互感饱和效应，需要考虑两相绕组互磁路饱和情况，例如计算AB两相绕组互感时应考虑AB互磁路即以Lab或Lba为磁路轴线的虚拟绕组磁路饱和效应，如图2所示.

以Lab，Lba磁路为轴线的互磁路磁链分别为Ψab(θ)=Lbbibcos150°+Laaiacos30°+ Ψma(θ+30°)Ψab(θ)=Lbbibcos30°+Laaiacos150°+ Ψma(θ－150°)

上文已述，电感L=L0－b0|Ψ|.由于互磁路与自感磁路路径不同，因而L0与b0参数值不同，分别另记为M0与c0，注意到绕组方向，互感为负，得:

同理可得BC和AC相互感公式，整理得互感方程

流电机的电感方程:

取六个符号变量S1～S6∈{1，－1}，作用于方程组(10)中，得

整理成矩阵形式得:

2.3 无刷直流电机电感方程

综上对三相绕组自感及互感的论述，得无刷直

2.4 电感方程的求解

对于电机的某一具体运行状态，电感方程中S1～S6的取值是确定的.其求解方法可归纳如下:

1)代入S1～S6某个组合，求解方程;

2)验证是否满足方程组(10)中的去绝对值符号;

3)若满足，方程得解;若不满足，代入下一个组合，重复1)～3).

因此，最多26=64次计算，即可求得三相绕组自感及互感.

实际上，为减少方程求解时间，可预先判定方程组(10)中的去绝对值符号，方法见表1.运用这种预 判方法，可以有效地减少求解电感方程的计算量.

表1 符号变量S1～S6的确定方法

3 电感仿真及变化规律验证与分析

3.1 Matlab/Simulink 和 Ansoft Maxwell建模

根据电感方程，在Matlab/Simulink环境下搭建无刷直流电机电感计算仿真模型.模型输入为ia，ib，ic三相相电流及电机转子位置θ，输出为电机各相自感及互感.模型相关参数:极面气隙磁通φm=0.098Wb、最大自感 L0=0.036H、参数 b0=0.0002A－1、最大互感 M0=0.0014H、参数 c0=0.0002A－1、相绕组匝数 N=12.

由于本文提出的电感方程基于磁路计算法，其采用解析的方法对复杂的电机磁场进行计算，难以全面考虑电机磁场的细节，因而可能导致计算准确度较低.因此，在磁路计算完成后，需对电机进行电磁场数值计算和分析，校核磁路计算的准确性和有效性.在所有电磁场数值计算方法中，有限元法是应用最广泛、最有效的一种方法[5].

有限元法将无刷直流电机空间划分为微小的网格空间，设置边界条件和激励后，通过仿真环境如Ansys、Ansoft Maxwell等对微小网格空间的电磁特性求解，得到整个无刷直流电机电磁场分布继而得到转速、转矩等动力性能.有限元方法能完整而精确地呈现无刷直流电机瞬态和稳态特性.

Ansoft Maxwell是一款高性能的电磁场设计和有限元仿真分析软件.它包括电场、静磁场、涡流场、瞬态场和温度场分析模块，可用于分析电磁装置的静态、稳态、瞬态、正常工况和故障工况特性，具有强大的计算分析能力和良好的易用性.本文将采用Ansoft Maxwell软件提供的瞬态场(Transient Field)求解器对如图3所示的内转子式永磁无刷直流电机模型进行计算求解，其基本参数见表2.

图3 Maxwell中的无刷直流电机2D Transient模型

表2 Maxwell 2D无刷直流电机模型参数

以上基于Ansoft Maxwell的模型完整而充分地考虑了无刷直流电机的具体结构，结合基于有限元法的瞬态求解器高计算精度，得到的结果精确可信.

基于两个软件的计算方法之间互无关联，其模型用到的参数也互不相同，且难以做到相互对应.同时由于本文的目的在于探讨无刷直流电机电感的变化规律，故本文将借助有限元法重点对提出的电感方程所映射的电感变化规律进行验证，而非着眼于仿真结果的电感数值上.

3.2 仿真结果及电感变化规律分析

在实际的电感测量中，由于一般无刷直流电机无中性点，仪器设备只能对各导通相的耦合电感(而非单相电感)进行直接测量，且耦合电感的变化会直接反映在电机瞬态和稳态性能上.依此，本文将对导通相的耦合电感进行着重分析.

(1)两相运行时耦合电感变化规律及分析

以导通AB两相为例，即ia=－ib，此时电机的耦合电感为Lt=Laa+Lbb－2Lab.分别在Matlab/Simulink和Maxwell软件下对电机空载、ia=20A、ia=50A三种工况进行仿真，得到耦合电感与转子位置的关系如图4中a)和b)(由于Maxwell模型中的电机极对数为2，图中b)的横轴实为电角度，其值为转子位置的2倍.为便于比较说明，统称为转子位置，下同).

图4 导通两相时耦合电感随电角度变化的仿真波形

仿真结果显示，无论空载还是负载，耦合电感波形有两个波谷，且出现的对应转子位置不随电流变化，都在150°和330°处;空载时的两个波谷值相等，而一定负载时，150°处的波谷值随电流增大，330°处的波谷值随电流增大而减小，为最小值.无论空载还是负载，波形有两个峰值，且两者相等，同为最大值;空载时最大值出现在60°及240°，而一定负载时，最大值出现位置随负载增大逐渐偏离了空载时的60°和240°，例如图 4中 a)显示 ia=20A，时的最大值分别出现在68.3°及 231.7°，而 ia=50A 时则分别出现在 82.4°及 217.6°.整个波形关于波谷位置轴对称，空载波形近似于正弦波形.这些特性在两个软件的仿真结果中表现完全一致，很好地验证了本文提出的电感计算方程.

图5 电流磁通与永磁磁通的矢量合成

图6 导通三相时耦合电感随电角度变化的仿真波形

以上结果可以用矢量理论来解释.如图5所示，磁通或磁链既有大小又有方向，视为矢量，AB相电流产生的磁场在绕组中的磁通在330°方向，与永磁磁通共同组成绕组合成磁通，且永磁磁通幅值大于绕组电流磁通.合成磁通在AB磁路轴线上的分量幅值决定了耦合电感的饱和情况，也即决定了其变化情况.空载时，绕组电流磁通可视为0，耦合电感的饱和情况仅取决于永磁磁通在AB绕组轴线的分量;显然永磁体位置330°和150°时该分量幅值最大，都等于永磁磁通幅值，电感最小;而θ1=60°及 θ2=240°两个位置，该分量幅值为 0，电感最大.随着负载的增大，绕组电流磁通也增大，合成磁通分量幅值在330°和150°时分别为两个磁通分量的和与差，对应形成耦合电感的最小值和一个局部最小值，且两者之间的差值也随负载增大而增大;而对应最大耦合电感的合成磁通分量幅值为0的位置 θ1，θ2则逐渐偏离空载时的60°和240°.

因此，耦合电感局部最小值发生位置不随负载变化，而最大值发生位置随导通电流大小而变化.

(2)三相运行时耦合电感变化规律及分析

以导通顺序A－BC为例，一般BC相电流相差不大，可以认为ia=－2ib=－2ic.此时电机的耦合电抗为

而耦合电感是其虚部.令

则耦合电感

仿真工况同样设为电机空载、ia=20A和ia=50A三种，两种方法仿真得耦合电感波形分别如图6中a)和b)所示，两者的规律性同样十分吻合.耦合电感的两个波谷值分别出现在0°及180°，最大值对应转子位置则随电流影响分别出现在90°及270°附近，这样的结果表明A－BC导通电流产生的磁通在0°方向.其他变化规律与两相运行时类似，并且同样可以用矢量理论进行解释，这里不再赘述.

综合以上仿真计算结果和分析，总结出无刷直流电机电感的以下几条变化规律:

(1)无刷直流电机导通相的耦合电感随转子位置变化的规律可从磁通矢量的角度予以解释，且变化情况取决于合成磁通在导通相磁路轴线的分量幅值;

(2)无论电机是两相导通还是三相导通，空载还是负载，其耦合电感一个电周期内有两个局部最小值，且其对应的电机转子位置不随负载变化而变化;空载时，两个局部最小值相等;随着负载增大，两个局部最小值分别增大和减小;

(3)无论电机是两相导通还是三相导通，其耦合电感一个电周期内有两个局部最大值，且两者相等;一定负载时，最大值对应的转子位置相对于空载时发生偏移，且负载越大(电流越大)，偏移量越大;

4 结论

本文从理论的角度对无刷直流电机的磁路机理和电感饱和效应进行了基础的分析探讨，并推导出了基于磁路法的电感计算方程.基于该电感方程的模型在Matlab/Simulink环境下的仿真结果与基于有限元方法在Ansoft Maxwell软件下的仿真计算结果在规律性上表现一致，这很好地验证了该计算方法的正确性.同时文章结合矢量理论，对无刷直流电机不同运行工况下的电感参数变化规律进行了系统的分析，得出了对其电感饱和效应明确的规律性认识.这对深化无刷直流电机的理论，建立精确的分析模型和正确的参数测试方法等，都有重要的意义.

[1]茆美琴，张邵波.永磁无刷直流电机电感分析及优化设计[J].电气传动，2013，43(2):19－21.

[2]Mei Ying，Pan Zaiping.A Novel Starting Method of Sensorless BLDC Motors for Electric Vehicles.2010 International Conference on Electrical and Control Engineering[C].784:3212－3215.

[3]王华斌.基于间接电感法的永磁无刷直流电机无位置传感器控制[D].重庆:重庆大学，2009.

[4]Fatihcan M.Atay.Magnetic Saturation and Steady－State Analysis of Electrical Motors.Applied Mathematical Modelling[C].2000(24):827－842.

[5]Aydin M，Surong Huang，Lipo T.A.Design and 3D Electromagnetic Field Analysis of Non－slotted and Slotted TORUS Type Axial Flux Surface Mounted Permanent Magnet Disc Machines[C].Electric Machines and Drives Conference IEEE International.Cambridge，Massachusetts，IEMDC，2001:645－651.