“核心知识”基点：认知块问题串思维场——基于省市小学数学质量监测数据分析

●荀步章

小学数学核心知识是最为基础和普通的数学知识，其“核心”的基点和作力点指向于认知块、问题串和思维场，功效表征为其自身高度概括的程度以及与特定情境的紧密联系程度。数学教学要反复回到这些基础知识，以它们为基础，直至学生掌握了与之观念相适应的完整知识体系和思想方法为止。

一、儿童认知块中的“核心知识”

市测题1：左图温度计表示的温度是（）℃。

A.16 B.-16 C.24 D.-24

学生答题情况：

选择序号ABCD多选未选百分率0.9487.511.889.370.220.08

本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“知识技能”范畴。日常生活中，通常把温度低于0摄氏度的用负数表示，但读数方法与正数有所不同，学生答题正确率为87.51%，选D答案的可能受0上温度读法的影响，从20向上4小格，认为是-24摄氏度。这里“核心知识”表现为儿童认知块中的外显知识。

（一）单个知识

从大量的知识点中寻找到儿童最容易发生错误的知识，部分学生对温度读法的方向上没有掌握，以“0”为分界点，0摄氏度以上从下往上看，0摄氏度以下从上往下看，儿童认知中的观察顺序发生了重要改变。为分清不同方向，需要用红笔标记箭头。为认识刻度含义，可借助学生常见的直尺进行比较。

（二）序列知识

儿童认知块中的新知识是建立在他们已有知识的基础上，确定了知识的序列化才能确保儿童清晰地进行认知建构。读温度计上的温度，首先从分清摄氏度与华氏度，也就是看左边还是看右边，接着找分界点“0”的位置，以“0”为标准，分清方向，正确读出温度。每一个儿童的认知存在差异，需要进行针对指导，体现知识生长的过程。

（三）共享知识

儿童共享知识是认知块中不同的知识点，经过交流与思考，改善与修正，完成知识的自身联结。针对“儿童需要什么样的知识”提供实践性答案，对刻度的正确读法，对正负数的准确把握，对不同两种温度干扰的排除，都反映了儿童共享知识促成核心知识的顶层化。

市测题2：一个平行四边形相邻两条边长度分别是5厘米和8厘米，其中一条底边上的高是6厘米，这个平行四边形的面积是（）平方厘米。

A.30 B.40 C.48 D.无法确定

学生答题情况：

选择序号ABCD多选未选百分率75.064.6115.474.480.230.14

本题考察内容属于“图形与几何”领域，考察能力属于“理解概念”范畴。考查学生平行四边形底上对应的高，和另一条底与这条高长度的关系。6厘米的长度，究竟是5厘米对应的高，还是8厘米对应的高，学生正确率为75.06%。如果把5厘米和8厘米表述上交换位置，正确率可能会更低，因为隐藏着斜边大于直角边的道理。这里“核心知识”表现为儿童认知块中的内隐知识。

（四）境域知识

知识本身存在于特定的时间、空间、理论范式和价值体系等因素中，这种知识具有认知块中的境域性特征。学生习惯于从“前面”的5厘米出发，直接与6厘米相“对应”，潜意识中形成“前前”对应，选C的学生可能是“大大”对应的想法。要准确把握平行四边形底与高，理解另一条底与这条高的长度关系，才能顺利解答问题。儿童认知块中的“核心知识”，需要根据不同的场境、域地进行梳理和厘定。

（五）隐性知识

波兰尼提出两种知识：一种知识是用书面文字或地图、数学公式来表述的，称为显性知识；还有一种知识是不能系统表述的，称为缄默知识。有必要对儿童认知块中的知识点进行有效提升，准确把握其本质和内核，渗透内隐的数学思想方法，促使儿童自主生长。借用直观图形帮助儿童想象，选答案C的学生，把最长的底乘以6厘米，缺乏对知识隐性思考。如果沿某顶点作一条高，形成的直角三角形中，直角边的长度小于斜边的长度，这样一种隐性知识，儿童在解决问题时常常被忽略。

（六）结构知识

数学知识点存在于知识块中，知识块是整体性结构知识中的一部分。小学数学中的核心知识，也不应当是散点形态，而应是相互连接，彼此关联，是一种动态性和联系性存在。平行四边形底和高教学，让学生结构性厘清，相邻两条边和它对应的高，每一条高与另一条底长度关系，随意编造平行四边形底及高，容易发生科学性错误。教师有意识地结构化组织、加工学习素材，帮助学生形成知识结构，让学生在情境中掌握数学本质。

二、教师问题串中的“核心知识”

省测题1：用36朵花扎花束，每3朵扎成一束，可以扎多少束？明明用竖式计算出了结果，竖式中箭头所指的表示的是（）。

A．已经用去了3朵

B．已经用去了6朵

C．已经用去了30朵

D．已经用去了36朵

学生答题情况：

江苏省A水平B水平C水平得分率66.6%81.7%36.0%17.4%

17.4%本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。考查学生竖式计算中十位上的“3”表示意义，学生要结合生活实际，理解平均分过程，根据平均分意义对应到竖式中，正确认识每一位上数的含义。有17.4%的学生达不到基本水平，对“核心知识”的强调或变式不足。“核心”是“牵一发而动全身”的问题，是教学的主线，课堂中“派生”的问题和核心知识存在一定的逻辑关系。这里“核心知识”表现为教师问题串中问题的“外围化”。

（一）问题指向

在教学两位数除以一位数时，抓住算式“每一步”意义发问，既要从算式本身理解，也要结合学生生活实际解释意义，使学生在头脑中把“数学”与“生活”意义相对应。教师问题串的“核心知识”要具有鲜明的指向性，指向教学的核心内容和目标，也要整合教材的重点内容和关键问题，具有更高、更全面的教学指向与达成度。

（二）问题整合

联系儿童原有知识经验，从一位数除以一位数出发，扩展到两位数除以一位数，从生活的经验出发，把36朵花分成30朵和6朵，先把30朵平均分一分，再把6朵平均分一分，最后合起来。教师要抓住“主要问题”与“次要问题”的主辅关系，有效整合，逻辑地思考问题。抓住知识点与能力点，连接儿童的兴趣点与发展点，将课堂的问题串与学生心理发展有机整合起来。

（三）问题开放

教师问题串创设与开发，需要适度开放。如果采取亦步亦趋的教学方法，只能让学生感到厌烦与无趣。对问题串层层探究与适度开放，使问题更加呈现价值性与多样性，解答路径与评价过程也就开放了。“3”表示“3个一”还是“3个十”，为什么？“3”的后面为什么不写“0”？可不可以写？等等问题探讨，使学生对箭头指向“3”的意义更为深刻理解，让学生在宽松的环境里自觉地进行反思，自主地寻求突破。

省测题2：小熊吃了一个西瓜的1/3，小猴子也吃了一个西瓜的1/3，结果小熊吃的西瓜比小猴子吃的少。请解释为什么？

学生答题情况：

江苏省A水平B水平C水平得分率52.1%65.1%24.3%2.1%

本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。考查学生对分数意义的本质理解。正确答案是，因为小熊吃的西瓜小或者小猴吃的西瓜大，或者两块西瓜不一样大，或者其他合理答案。学生达到优秀水平为65.1%，成绩不够好。分数意义教学中的“核心知识”有没有强化？是如何强化的？学生的答案可能会给我们一些思考。

（1）得分为0分的答案：

（2）得分为2分的答案：

（3）得分为4分的答案：

学生的答案给我们启示，生活经验向数学概念的运动，对于儿童来说，是一种具大挑战。这里“核心知识”表现为教师问题串中问题的“内驱化”。

（四）问题理解

从得分为0分的答案可以看出，在单位“1”教学时，总是喜欢抓住了“平均分”这个“牛鼻子”，使部分学生在理解上较“死板”，不论什么问题，都围绕平均分去回答，对单位“1”的本质没有清晰理解。得分为2分的答案中，主要反映了儿童的生活经验，从分得的多少出发，或通过面积意义理解，把小熊吃的西瓜与小猴吃的相比较，理解是浅层次的。教学应抓住问题串中“核心知识”反复探究实践，把学生的生活经验与数学概念相互作用，在实践中慢慢感悟，在问题探究中逐渐理解。

（五）问题研究

外部问题情境营造要真实，它又为内部问题情境生成服务,内部问题生成才是学生个人问题解决活动的开始。小熊吃了一个西瓜的1/3，小猴子也吃了一个西瓜的1/3，谁吃的多一些？问题来自于儿童的生活世界，是儿童外部情境的具体反映，要促成内部问题的生成才是儿童个体的真问题。问题串探究要能促进学生内心真实地形成一种悬而未决又力图解决的认知冲突状态。问题串既要指向于学生的外部情境，更侧重于内部问题的本质探究，在单位“1”与“平均分”之间寻找突破与平衡。

（六）问题构建

对于理解困难的学生，要借助于实践操作，比较三种不同情况，让学生一目了然。对于“平均分”地理解，要分清三个变量之间的关系，即整体单位“1”的量、平均分为几个部分和每部分的量，初步建构“平均分”的意义，发展儿童的数学思维能力。为促使学生深入理解和运用“平均分”，在研究分数时，教师要想方设法为学生创设运用这一概念的各种实践情境，激活他们多样化生活经验，同时引导学生解决不同表征形式的问题，建立起正确的对应关系。

三、课堂思维场中的“核心知识”

市测题3：

（1）小冬和小芳两家相距多少千米？

（2）某一天，小芳从家去电影院，走到学校时，发现电影票忘在家里，只好回家去拿，小芳去电影院比平时多走了多少千米？

本题考察内容属于“数与代数”领域，考察能力属于“解决问题”范畴。本题满分6分，扬州市学生综合得分率为83.75%。此题是教材一道习题的拓展，其中线段图与教材完全一致，错因包括：（1）部分学生理解题意有困难，把双向路程理解为一个单程；（2）计算有误；（3）少数学生解题思路混乱。反映出学生灵活解决问题的能力不足，综合理解题意的能力缺乏。这里“核心知识”表现为课堂思维场中的生成思维。

（一）关注思维

对于题目中的线段图，部分学生视而不见。线段图对于问题1的解答作用更多一些，图中直观看出把三段相加，很快能求出小芳家到小冬家的距离。第2个问题，求小芳比平时多走的路程时，很多学生没有联系生活经验，也不看图理解，片面认为是1.5千米。在平时课堂教学时，教师要引导学生从具体图形或生活经验中，分析问题特征，抓住关键思维点，多变化，多开放，让儿童在“问题陷阱”中引发思考，激发兴趣，发展思维。

（二）引领思维

思维场是数学核心知识“引探”的策略，要在多样化的问题研究中，处理好“传授”与“探究”之间的关系，力求将数学课堂由“传授知识”变为“思维引领”，让教学方式、学习方式和师生关系等领域取得实质性变革。让学生说一说，小冬家到小芳家一共有多少千米？小芳今天行走的路程与原来路程相比，发生了什么变化？同桌相互交流，把自己的发现用笔画一画，在画的过程中感悟，不是多一个1.5千米，而是两个1.5千米。再引导学生议一议、算一算，有没有更简便的计算方法？在思维探究过程中，让学生弄清问题的因果关系，以及与其他知识的联系，将知识教学上升到方法论教学的层次，使学生初步形成数学思想方法。

（三）提升思维

通过问题解决，还要回头引导学生再思考，小芳这次走的路程与原来相比，从家到电影院共走了两次，第二次从家到电影院路程与原来一致，从而使思维更简洁，这样多走了两个1.5千米。再进一步思考，问题的本质是多走一个来回，如果向相反方向走，就更加容易理解。整个问题探究以“问题情境→建立模型→解释应用”的方式展开。认知心理学认为，数学教学的中心任务是塑造学生良好的数学认知结构，使之具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。问题串的介入为形成良好认知结构提供“脚手架”，思维场能够促进儿童形成具有自我生长活力的知识特征系统，培养良好的数学素养。

省测题3：请用图1和图2拼成一个平行四边形，并将拼好的平行四边形画在方格纸中。

本题考察内容属于“图形与几何”领域，考察能力属于“数学理解”范畴。学生作答情况：

江苏省A水平B水平C水平得分率66.9%82.0%35.0%1.7%

学生的错因包括：（1）空白未作答；（2）没画出平行四边形；（3）画出了平行四边形，面积改变，图1、图2形状不变（拼成的平行四边形，底和高必须有一个正确）；（4）画出了平行四边形，面积正确，图1、图2形状改变等。列举两种得0分的答案如下，这两种错误答案，将图1、图2形状发生了改变。数学核心知识教学，主要是把教学功夫下到理念向行为的转化上，在看似简明的形式下，教师以不经意的方式，让学生感悟到知识本身的魅力。这里“核心知识”表现为课堂思维场中的过程思维。

（四）聚合思维

从一般知识指向核心知识，使得若干知识整合为系统内知识结构，通过凸显核心知识块，形成有效思维场，以减少知识的离散程度。要求不改变形状，把一个三角形和一个梯形拼成一个平行四边形，问题的实质是让学生观察发现，三角形与梯形的特征，操作上是平移还是旋转，目标和策略上是否可行，从众多问题思考中“聚合”到这一核心要素上来。引导学生思考交流，斜着的边，哪些是一样长的，从一样长的边入手，是解决问题的关键。学生用何种方法准确画出这个平行四边形，还要借助一定的空间想像，以及方格图中线段长度的判别能力。

（五）优选思维

在思维场的形成过程中，要优先选择那些具有基础性、概括性、迁移性和生成性的核心知识作为教学的着力点，通过“少而精”的核心问题探究，不仅让学生拥有知识，更让学生深刻理解知识背后的思想，并学以致用。让学生先用直接平移的方法，发现不能拼成平行四边形。然后，让学生旋转后平移，发现还是不能拼成。最后，把三角形翻转一下再平移，能够拼成一个平行四边形。在多种策略操作的过程中，让学生进行优选，在优选的过程中，感悟解决问题的策略。在思维场营造过程中，学生先观察、比较、实践，再进行验证，帮助学生学会思考。

（六）联结思维

任何知识的学习都不是教师向学生直接传递知识信息，学习者被动地吸收的过程，而是学生主动围绕核心知识进行自主选择加工，自主建构理解，其间经过自我改造与重组，需要教师的帮助与引领，形成课堂思维场。学生已有的经验是三角形、梯形和平行四边形的认识基础，平移和旋转的操作能力，数方格的基本方法等。要求不改变图形的形状与大小，学生需要尝试与实践，在反复实践中，找出需要关注的关键因素。建立思维联结的通道，让学生在反复观察与实践中，慢慢发现和自觉运用的过程，这与教师有效帮助，以及儿童自身的善于联结有关。

综上所述，数学中的核心知识，是在儿童认知块中逐渐形成，是在教师问题串中逐步感悟，是在课堂思维场中不断重建，找到平衡点与结合点，才能真正把握核心知识，形成核心能力。通过问题引领与活动探究，让学生体验知识探索的过程，弄清知识的内涵和外延，以及各个阶段的呈现形式、变式与联系，领悟数学思想方法，形成儿童独有的数学素养。