球坐标非线性热应力本构方程

田雪坤，李 忱，王海任，赵 丽

(1.太原科技大学应用科学学院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部学院，030006)

薄壳作为一个重要的结构部件在石油化工、国防、能源、制药等行业应用非常广泛。在工程实际中，薄壳在静力或动力荷载作用下薄壳结构破坏的主要形式是屈曲失稳，且呈现强烈的突然性，造成的损失是不可估量的。所以，薄壳结构由于失稳引起的安全性和耐久性问题是人们一直普遍关注的研究课题。对于薄壳稳定理论的研究大体可分为两个阶段：第一阶段是针对完善结构的线性弹性理论，第二阶段是非线性弹性理论。壳体计算的理论可分为两类：薄壳理论和弯曲理论。薄壳理论也称为无矩理论，是最早产生发展也比较快的[1]。在薄壳理论中，所有的外力都可以看作是作用于壳体中间曲面的力。壳体在外力作用下发生变形，运用张量以理性力学的角度可以很好地描述壳体曲面的薄膜张力和抗弯刚度。

在经典弹性理论的基础上，通常对壳体采用了如下假设：(1)直法线假设：变形前正交于壳体中面的法线段，在壳体变形后仍为正交于变形后的壳体中面的直线段，而且保持长度不变。按照这条假设，在结合变形的概念，可得出：ε13=ε23=0,ε33=0；(2)切平面应力假设：与壳体中面平行的截面互相不挤压，也就是正应力σ33比应力分量σ11,σ22,σ12=σ21小得多，因此它对壳体变形的影响可以忽略不计，即：σ33=0；(3)作用在壳体上的所有外力都可以转换到壳体的中面。

1 线性本构方程

物体形变分量与应变分量之间的关系式也就是物体的物理本构关系[2]，在线性范围内轴对称球形壳体的线性物理本构关系如下所示：

(1)

其中D=Et3/12(1-μ2)、t是薄球壳厚度，E是弹性模量，μ是泊松比。κφ和κθ分别是φ和θ方向的曲率。

2 非线性本构方程

本构理论研究的是应力张量与物体运动历史的关系。材料在变形过程中必须遵循本构关系的规律。客观性原理又是建立本构关系所必须遵守的基本前提。Reiner得出：自变量为对称仿射量E，如果仿射量函数K(E)是各向同性的，则它可以表示为：K=φ0I+2φ1E+3φ2E2.对于任意有限数目的张量自变量和任意紧点群，存在一个由有限数目不变量构成的函数基，并且关于任意类型的张量值函数存在一个由有限数目形式不变量构成的完备表示[3-5]。对于各向同性材料，现有文献指出，应力与应变的关系可以写为：

(2)

其本构方程可以表示为应变张量E的主迹的完备的一次(n=2)式形式：

(3)

(4)

二阶本构方程：

(5)

前人早已提出过许多形式的应变能函数，然而从数学的角度上说，无论应变能函数有多复杂，始终可以将其表达成为一个非线性多项式。对于各向同性弹性体材料，建立Green弹性体共轭应力张量K、应变张量E与应变能函数W之间的积分关系：

因为K和E均为对称仿射量，故有：

所以应变能函数可以表示为：

(6)

3 非线性热应力本构方程

研究壳体的温度变形和热应力问题，不论在理论上还是在工程实际应用当中都有很重要的意义。在分析因温度变化而引起的应力和变形时，需要在弹性本构方程中增加温度对应变的影响[6]。对于各向同性材料在温度固定的环境下处于零应力状态，假如物体在温度T0时是无应力的，当温度变化到时应力仍然为零，则有线性定律：

εij=αij(T-T0)

(7)

假如物体受到约束，以至于当温度从T0变化到T时，εij=0，则物体内部将产生应力：

σij=-βij(T-T0)

(8)

αij和βij是材料常数的对称张量，在温度T0下分别由零应力状态和零应变状态测得。

将方程(7)与方程(8)结合，得到热弹性理论的杜哈姆-诺依曼(Duhamel-Neumann)定律：

σij=Cijklekl-βij(T-T0)

对于各向同性材料，二阶张量βij也必是各向同性的，可以得到：

其中：α为材料的线性膨胀系数，△T=T-T0为温度的改变量，得到热本构方程：

(9)

同样可以得到应变能函数W：

4 薄球壳非线性应力

根据假设，我们可以写出球壳的应力张量和应变张量：

进而可以写出E的3个主迹I1I2I3分别为：

这样，将K、E及E的三个主迹I1I2I3带入到方程(5)中，可以得到：

记：a1=k3+3k4+3k5,a2=k1+2k2,a3=k3+k4,a4=k1,a5=2k4+3k5

此时，本构方程系数再次简化为5个：

从将三维问题转为二维问题的目的出发，可将位移和应变进行简化，为此在板壳理论中简化计算应力时，引入沿板壳厚度的积分来表示力与力矩[7-9]，再结合上述结论，可以得到薄球壳非线性内力及内矩分量：

同样，将K、E及E的三个主迹I1I2I3带入到方程(9)中，可以得到薄壳热应力：

记：b0=k2T+k6T2,b1=3k5+k4+3k9,b2=k1+k7T+2(k3+k8T),b3=k4+k5,b4=k1+k7T,b5=2k5+3k9,b6=k5，其中，b1=b3+b5，以T代表△T.

此时，本构方程系数简化为6个：

同样可以得到薄球壳非线性热内力及内矩分量：

5 结论

本文用含有高阶弹性张量的张量多项式分别表示以应变为单变量以及应变和温度为双变量的应力张量函数。在各向同性情况下，推导出了薄球壳的非线性本构方程和非线性热应力本构方程，得到如下结论：

(1)对于各向同性材料，在n=3时，2n阶弹性张量独立分量有5个，与文献[3]的结论一致；

(2)非线性热应力本构方程比非线性本构方程多了一个独立常数，主要因为增加了一个关于温度T的常数；

(3)对于非线性热应力本构方程，若不考虑温度与应变二次项，与文献[3]中的本构方程完全相同。

参考文献：

[1] 周利，黄义.薄壳非线性稳定理论的最新发展[J].建筑钢结构进展，2006，8(4)：23-32.

[2] 黄义，黄会荣，何芳社.弹性壳的线性理论[M].北京：科学出版社，2007.

[3] 李忱.超弹性体非线性本构理论[M].北京：国防工业出版社，2012.

[4] RIVLIN R S.Non-linear Continuum Theories in Mechanics and Physics and their Applications[M].Edizioni Cremonese，Rome，1969.

[5] 王寿梅，徐明，李宁.非线性弹性材料的三阶本构方程[J].北京航空航天大学学报，2002，28(4)：402-404.

[6] 赵丽，李忱.非线性各向同性弹性材料热应力本构方程[J].应用数学与力学，2013，34(2)：183-189.

[7] 黄克智，卢明万，薛明得.弹性薄壳理论[M].北京：高等教育出版社，1985.

[8] 吴连元.板壳稳定性理论[M].武汉：华中理工大学出版社，1996.

[9] 韩强，黄小清，宁建国.高等板壳理论[M].北京：科学出版社，2002.