一道竞赛题引起的思考和启发

童存项

摘 要：通过一系列思想对一竞赛题的分析与求解，快捷地得到题解；并通过对该题的深入分析给出了一系列定理和结论；最后，利用使用的一系列思想给出了另一竞赛题的求解。通过对这些例题的分析与求解，能带来一定的提示，也给教与学工作带来一定的启发。

关键词：例题；正整数；偶数

一、例题的引入

例题：有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，求此两位数。

分析：根据原题的本意，我们将已知条件分割成4条：（1）它们之差的个位数是6；（2）它们之差的十位数是5；（3）它们的平方数的个位数相同；（4）它们的平方数的十位数相同；同时满足上述4个条件的一对两位数就是所要求的解。

第一步：先考虑（1）。满足（1）的所有两位数的个位有如下10种组合情况：

■

第二步：在此基础上，考虑（3）。满足（3）的各对两位数，其个位数只剩下以下两种：

■

第三步：在考虑（2）。则同时满足（1）、（2）、（3）的两个二位数只有以下7对：

■

第四步：同时满足（4）的，只剩下唯一的一对：78，22了。

（注：782=6084，222=484）

上面我们将原问题分解为4个容易求解的部分，通过逐步筛选、淘汰的方法，将待选二位数组的个数逐步减少，即由90×90组→9×9×10组→9×9×2组→7组→1组。除了第四步计算量稍大外，前3步快速简单。

随着变量x的引入，给我们问题的求解带来了更广阔的空间。下面，我们就引入变量x，从另外一个角度来分解原题，达到迅速解题的目的。

解：设所求的两个二位数为x和（x+56），它们所应满足的条件可分解为下面两条：

（i）x与（x+56）都是二位数；

（ii）x2与（x+56）2的末两位数相同。

由（i）得10≤x≤43，由（ii）得 （x+56）2－x2＝112（28+x）的末二位数字是零，即100｜〔112(28+x)〕，而100＝22×52，22｜112，5×112，因此52｜（28+x）。结合条件10≤x≤43，可知，38≤x+28≤71；因此，x+28=50，即x=22，x+56=78。

所以，所求的两个二位数是78和22。

由上述的求解过程可以看出，我们使用了以下几种重要的思想：①利用化归思想，将问题分割成几个容易求解的部分，进而根据这些分割而得到的条件逐条筛选，直至满足所有的条件为止。②利用未知量x，对问题进一步抽象提炼，进而简化问题的分析过程，迅速达到求解目标。

二、例题的深入

通过对该例题的引入，我们就此问题的特点，分解成4个条件来求解。下面，我们针对这些条件进行一般性研究。

定理1：若两个正整数x，y的平方数的末位相同，则（x+5），（y+5）的平方数的末位也相同。

证明：10｜（y2-x2）?圯10｜［（y2-x2）+10（y-x）+（25-25）］?圯10｜［（y+5）2-（x+5）2］

由定理1告诉我们，满足条件（1），（2）的要么没有，若有必定有两个。但从定理的本身也给我们一个思考，若x，y刚好相差5，那么它们的平方数的末位又会有什么样的结论呢？

定理2：若两个正整数x，y相差a（a≠0），若x，y的平方数的末位相同，则a是偶数。

证明：由10｜（y2-x2）?圯10｜〔（x+a）2-x2〕?圯10｜a(2x+a)，若a是奇数，则有10｜（2x+a），而（2x+a）必定是奇数，无质因子2，得到矛盾式。

所以a必是偶数。特别地，当a=5时，x，y的平方数的末位必不相同。

我们也可以从另外一个角度来思考這个问题：由于完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9，我们根据这些末位数的由来和这些由来的差进行分类，得到下列表格：

■

从上述表格的最后一行，我们可以得到与定理2一样的结论，同时也看出0，5是比较特殊的情况。

根据上述两个定理，我们可以将题目进行一定的扩展：

将原题中的56改为正整数a，则a的取值范围是多少时，原例题仍然有唯一解？

解：设这两个二位数是x和（x+a），其中10≤x≤99-a，则有100｜［（x+a）2-x2］。

由定理2可知，a必定是偶数，设a=2b，其中b是正整数。于是

（x+a）2-x2=a（2x+a）=4b（x+b）

因此，要使得100｜［（x+a）2-x2］，只需要25｜b（x+b）即可。

下面分情况讨论：

①5｜b。此时仅需要5｜（x+b），进而可得5｜x，此时x有解。但是没有唯一解，不符合题意，故而排除。

②5×b。此时有25（x+b）。而10≤x≤99-2b，要使得x仅有唯一解，只要x的取值范围满足25≤（99-a）-10+1＜50，即40＜a≤65。

结合a是偶数的条件，可知a的取值范围是{42，44，46，…，62，64}

三、例题的延伸

利用上述例题所使用的两个重要的思想，在很多情况下，能巧妙地化解许多难题。下面我们通过混合使用两个思想来求解一道竞赛题。

例：求一个四位数，使它是个完全平方数，并且前两个数字相同，后两个数字相同。

分析：①设所求的四位数N=1000a+100a+10b+b，其中a可在1，2，3，…，9这9个数字中选，b可在0，1，2，3…9这10个数字中选。于是共有9×10=90个待选四位数，它们的前两位数字都是a，后两位数字都是b。

②又由于完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9，所以b只有6种取法了，剩下9×6=54种待选四位数了。

③N=1000a+100a+10b+b=11（100a+b），而N是完全平方数，则有100a+b=11c2（其中c∈N），即100a+b能被11整除，由于100a+b=99a+（a+b），因此（a+b）是11的倍数，而a和b是0到9的数字，因此a+b=11。这样将a和b建立了一个一一对应的等式，且从上式可知b≠0，1，故而b只剩下（4，5，6，9）四种取法了。现在只剩下了4个待选四位数了：■

④由于100a+b=99a+（a+b）=99a+11=11（9a+1）=c2，因此9a+1=c2，即（9a+1）是完全平方数，通过对该条件的判断可得唯一的解，a=7（此时c=8）。

于是，7744是我们要求的四位数。（注：■=11×8=88）

本文通过对一竞赛题的分析，利用化归法、筛选法、淘汰法等思想，对该题进行逐步缩小搜索范围，直至实现最后的唯一目标；另外，引入变量x后，题目的求解变得更加简明快捷。文章最后还利用上述方法的综合使用，巧妙地解答了另一竞赛题，希望能够通过这些例题的分析与求解，给大家在类似的题目上一定的启发和启示。

（作者单位 浙江省宁波市奉化市裘村镇初中）

编辑 李建军