一类抛物方程的广义解

李 悦

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

1 问题的提出

在文[1]中，我们知道求一个方程解的方法有很多，当x∈R时，

(1)

(2)

2 预备知识

定理1 存在常数c0≤0,使得当c≥c0时，对任何f∈L2(Ω)和fi=L2(Ω)，问题u|∂Ω=0,-Dj(aijDiu)+cu=f+Difi,x∈Ω恒存在唯一的弱解.

3 逼近解的构造

(3)

为了以后计算方便，我们记

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

第二步.对逼近解做估计.在式(6)中，我们取φ=um,j-um,j-1，则式(8)变为

由此可推出

(9)

因此有

‖≤‖

(10)

我们记Mm=‖由式(10)迭代j次，我们可得

‖≤
‖≤Mm

(11)

而对式(9)求和可得

(12)

由式(7)um的定义知

um,j-1+λ(um,j-um,j-1))

由导数定义知

故由式(12)可推出

(13)

再由式(11)可得

‖
um,j|2dxdt≤

‖≤
‖≤4TMm

(14)

4 广义解的存在性和唯一性

(15)

再对固定的ml取kl使得

(16)

(17)

至此，我们证明了问题(3)的弱解.在式(13)和式(14)中令m→∞取极限，我们还知道这弱解u满足

于是解的存在性得证，下面我们来证明其唯一性.

上面两式相减得∬QT(utφ+u特别地取φ=uχ[0,s](t)，于是得到∬QT(u1u+|u|2)dxdt=0,其中0

参考文献：

[1]周蜀林.偏微分方程[M].北京:北京大学出版社,2005.

[2]伍卓群,尹景学,王春朋.椭圆与抛物型方程引论[M].北京:科学出版社,2003.

[3]Adams RA.Sobolev spaces[M].New York-San Francisco-London:Academic Press,1975.

[4]石兰芳.一类双曲-抛物型方程的广义解[J].南京气象学院学报,2006(3).

[5]王耀东.偏微分方程的理论[M].北京:北京大学出版社,1989.