方程组巧解

李国东

二元一次方程组的解法是学生必须掌握的一项基本技能，解题时应教会学生仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想不同的解题方法和技巧.通常情况下，有的教师总认为只有通过重复，机械的练习才能获得这一技能.而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味，反而影响了学生对数学的学习态度与情感.怎样才能让学生更好地学习与掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展呢？

在学生们学完了用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组后，我进行了一次大胆的尝试.

上课铃响了，我一如既往地走进教室：“同学们，上面我们学习了二元一次方程组的解法.今天我们来上一节复习课.”一听是复习课，学生立刻缺少了往日的热情.

“解二元一次方程组的基本思路是什么？”

“消……元……”几个学生懒洋洋地回答道.这时，我在幻灯片上展出解方程组

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停顿，我灵机一动：“今天，我们只解一道题.”

话音刚落，许多学生都惊奇地抬起了头.看来这出其不意的一招奏效了.

“咳，这个简单……我来做，我来做.”学生甲举起了手.于是他顺理成章地上了讲台.他用的是加减法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，将y=1代入①，求得x=2，

∴方程组的解为

x=2y=1

紧接着，我问：“这个题目还有没有其他方法呢？”“有，代入法.”学生乙大声说.既而，响起了更多的唏嘘声：“麻烦死了……”我决定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”这回，唏嘘声轻了些：“可以是可以，就是麻烦.”“那你有没有办法使它简单一点呢？”我笑着追问.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因为第2个方程中x的系数是第1个方程中x的系数的4倍，故用整体代入法，将3x看做一个整体.由①得3x=10-4y代入②从而得解.”

“对呀，我怎么没想到……”这时有些学生懊恼，有些学生羞愧，有些学生羡慕.

“学生们唧唧喳喳地讨论开了.从他们满意的神情中，我看出了他们还是很愿意接受挑战的.几分钟后，学生们开始陈述自己的观点.

解法3：将3x+4y看做一个整体

将②代为12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①为3x+4y=10整体代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

这是一种巧妙的换元.

解法4：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

虽然没有比上述各解法简单，巧妙，但这是解此类方程组的常规方法.

解法5：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代为y=15-7x代入①求解.

这种代入非常巧妙，他构造了一个系数为1的元，看来不能小瞧学生的潜力.由这种解法我想到了一种系数呈轮换对称的方程组.于是给出了一个变式：

解方程组：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引导学生通过观察系数的特殊性，介绍了解决此类方程组的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

联立③④，解得方程组.

此时学生很兴奋.

于是我不失时机地让学生进行归纳总结：“不同的方法可以达到殊途同归的效果，如何根据方程组的特点选择恰当的方法呢？要解对一道方程组，又有哪些重要因素呢？”学生们情绪高涨，七嘴八舌地讲了很多.

数学是一门严谨的学科，由于它的学科特点，学生往往觉得数学课困难、枯燥、乏味.因此，在教学中如何引起学生的共鸣是每个老师应该深思熟虑的一个问题.

责任编辑罗峰endprint

二元一次方程组的解法是学生必须掌握的一项基本技能，解题时应教会学生仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想不同的解题方法和技巧.通常情况下，有的教师总认为只有通过重复，机械的练习才能获得这一技能.而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味，反而影响了学生对数学的学习态度与情感.怎样才能让学生更好地学习与掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展呢？

在学生们学完了用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组后，我进行了一次大胆的尝试.

上课铃响了，我一如既往地走进教室：“同学们，上面我们学习了二元一次方程组的解法.今天我们来上一节复习课.”一听是复习课，学生立刻缺少了往日的热情.

“解二元一次方程组的基本思路是什么？”

“消……元……”几个学生懒洋洋地回答道.这时，我在幻灯片上展出解方程组

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停顿，我灵机一动：“今天，我们只解一道题.”

话音刚落，许多学生都惊奇地抬起了头.看来这出其不意的一招奏效了.

“咳，这个简单……我来做，我来做.”学生甲举起了手.于是他顺理成章地上了讲台.他用的是加减法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，将y=1代入①，求得x=2，

∴方程组的解为

x=2y=1

紧接着，我问：“这个题目还有没有其他方法呢？”“有，代入法.”学生乙大声说.既而，响起了更多的唏嘘声：“麻烦死了……”我决定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”这回，唏嘘声轻了些：“可以是可以，就是麻烦.”“那你有没有办法使它简单一点呢？”我笑着追问.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因为第2个方程中x的系数是第1个方程中x的系数的4倍，故用整体代入法，将3x看做一个整体.由①得3x=10-4y代入②从而得解.”

“对呀，我怎么没想到……”这时有些学生懊恼，有些学生羞愧，有些学生羡慕.

“学生们唧唧喳喳地讨论开了.从他们满意的神情中，我看出了他们还是很愿意接受挑战的.几分钟后，学生们开始陈述自己的观点.

解法3：将3x+4y看做一个整体

将②代为12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①为3x+4y=10整体代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

这是一种巧妙的换元.

解法4：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

虽然没有比上述各解法简单，巧妙，但这是解此类方程组的常规方法.

解法5：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代为y=15-7x代入①求解.

这种代入非常巧妙，他构造了一个系数为1的元，看来不能小瞧学生的潜力.由这种解法我想到了一种系数呈轮换对称的方程组.于是给出了一个变式：

解方程组：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引导学生通过观察系数的特殊性，介绍了解决此类方程组的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

联立③④，解得方程组.

此时学生很兴奋.

于是我不失时机地让学生进行归纳总结：“不同的方法可以达到殊途同归的效果，如何根据方程组的特点选择恰当的方法呢？要解对一道方程组，又有哪些重要因素呢？”学生们情绪高涨，七嘴八舌地讲了很多.

数学是一门严谨的学科，由于它的学科特点，学生往往觉得数学课困难、枯燥、乏味.因此，在教学中如何引起学生的共鸣是每个老师应该深思熟虑的一个问题.

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二元一次方程组的解法是学生必须掌握的一项基本技能，解题时应教会学生仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想不同的解题方法和技巧.通常情况下，有的教师总认为只有通过重复，机械的练习才能获得这一技能.而重复机械的练习常常使学生觉得枯燥乏味，反而影响了学生对数学的学习态度与情感.怎样才能让学生更好地学习与掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展呢？

在学生们学完了用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组后，我进行了一次大胆的尝试.

上课铃响了，我一如既往地走进教室：“同学们，上面我们学习了二元一次方程组的解法.今天我们来上一节复习课.”一听是复习课，学生立刻缺少了往日的热情.

“解二元一次方程组的基本思路是什么？”

“消……元……”几个学生懒洋洋地回答道.这时，我在幻灯片上展出解方程组

3x+4y=10 ①12x-9y=15 ②

稍做停顿，我灵机一动：“今天，我们只解一道题.”

话音刚落，许多学生都惊奇地抬起了头.看来这出其不意的一招奏效了.

“咳，这个简单……我来做，我来做.”学生甲举起了手.于是他顺理成章地上了讲台.他用的是加减法.

解法1：①×4得：12x+16y=40③

③-②得：25y=25，y=1，将y=1代入①，求得x=2，

∴方程组的解为

x=2y=1

紧接着，我问：“这个题目还有没有其他方法呢？”“有，代入法.”学生乙大声说.既而，响起了更多的唏嘘声：“麻烦死了……”我决定支援一下乙：“用代入法可不可以解？”这回，唏嘘声轻了些：“可以是可以，就是麻烦.”“那你有没有办法使它简单一点呢？”我笑着追问.“哦！我知道了……”“乙，你知道什么了？”

解法2：“因为第2个方程中x的系数是第1个方程中x的系数的4倍，故用整体代入法，将3x看做一个整体.由①得3x=10-4y代入②从而得解.”

“对呀，我怎么没想到……”这时有些学生懊恼，有些学生羞愧，有些学生羡慕.

“学生们唧唧喳喳地讨论开了.从他们满意的神情中，我看出了他们还是很愿意接受挑战的.几分钟后，学生们开始陈述自己的观点.

解法3：将3x+4y看做一个整体

将②代为12x+16y-25y=15

4（3x+4y）-25y=15

∵①为3x+4y=10整体代入上式

4×10-25y=15由此得解y=1

这是一种巧妙的换元.

解法4：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①×3+③×4

得25x=50 x=2

虽然没有比上述各解法简单，巧妙，但这是解此类方程组的常规方法.

解法5：观察方程②，化为4x-3y=5 ③

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代为y=15-7x代入①求解.

这种代入非常巧妙，他构造了一个系数为1的元，看来不能小瞧学生的潜力.由这种解法我想到了一种系数呈轮换对称的方程组.于是给出了一个变式：

解方程组：

3x+4y=10 ①4x-3y=5 ②

引导学生通过观察系数的特殊性，介绍了解决此类方程组的特殊技巧.

①+②得：x+y=■ ③

②-①得：x-y=-5 ④

联立③④，解得方程组.

此时学生很兴奋.

于是我不失时机地让学生进行归纳总结：“不同的方法可以达到殊途同归的效果，如何根据方程组的特点选择恰当的方法呢？要解对一道方程组，又有哪些重要因素呢？”学生们情绪高涨，七嘴八舌地讲了很多.

数学是一门严谨的学科，由于它的学科特点，学生往往觉得数学课困难、枯燥、乏味.因此，在教学中如何引起学生的共鸣是每个老师应该深思熟虑的一个问题.

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