古巴比伦人的数学智慧

林革

古巴比伦王国是世界四大文明古国之一，它建于公元前19世纪。古巴比伦位于西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，也就是现在的伊拉克境内。人类历史上最古老的两河流域文明孕育了璀璨夺目、享誉世界的古巴比伦文化。尤其值得称道的是，古巴比伦人在3000多年前就掌握了大量的数学知识和一些独特巧妙的解题策略，令人惊讶之余，不由得击节叹服。

泥板书上的数学成就

考古学研究表明，古巴比伦人当时使用的是特殊的楔形文字，并把文字刻在泥板上晒干，晒干后的泥板变得和石头一样坚硬，可以长期保存；但岁月的侵蚀还是使得大部分泥板书消蚀破损，保存下来的泥板书数量远不及埃及的纸草书。不过，这并不影响后人对古巴比伦灿烂文化的全面了解。古巴比伦人对于数学的发现和记载，也是采用这种独特的泥板书，在已经挖掘出的50万块古巴比伦泥板中，纯数学泥板有300块左右。

从这些存世发掘的数学泥板书中人们发现，古巴比伦人不仅早就形成“逢十进一”的概念，而且掌握了每隔六十进一的计数法。在泥板上，古巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，从1到9是把“▼”写相应的次数，而60以内的其他数字则通过“▼”和“<”的组合实现。比如35，就用：<<<▼▼

▼▼▼来表示。显然，这种记数方法对如今普遍使用的十进制和六十进制有着重要而直接的影响。

古巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制有各种数表辅助计算。从数学泥板书上，人们发现古巴比伦人使用乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们在代数领域达到了相当高的水平，能卓有成效地处理一般的三项二次方程和某些三次方程，特别是开方根的算法非常成熟。美国耶鲁大学收藏的一块编号7289的古巴比伦泥板书上，载有的近似值，用现代阿拉伯数字表示就是1.414213，这已是相当的精确。古巴比伦人还掌握了等差数列的概念，对级数问题有一些研究。

他们还具备初步的几何知识，能把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法，求得圆周与直径的比π=3，甚至还使用了勾股定理。

诸如此类，林林总总，足以证实古巴比伦人杰出的数学成就。

兄弟分银与等差数列

在德国柏林博物馆收藏的一块古巴比伦数学泥板书上记载了这样一道题目：兄弟10人分米那的银子（米那和后面的赛克尔都是古巴比伦的重量单位，其中1米那=60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三……所分银子

的差相等，而且已知老八分到的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量？通俗转化的意思是：“10个兄弟分100两银子，一个比一个多，只知道每一级相差的数量都一样，但究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问每级间相差多少？”这是一则涉及到等差数列的问题，古巴比伦人给出的解题方法是如此巧妙简便，甚至连小学生也能理解。

他们的具体解答是：首先要判断出10个兄弟分得的银子数，从老大到老十要么越来越多，要么越来越少。如果10个兄弟平均分这100两银子，则每人应该分到10两。而现在第八个兄弟分到了6两，说明只能是第二种情况，即老大分得多，往下是一个比一个少。

其次，要找到各兄弟所得银子数间的关系。根据题意条件，假设老十的银子数为A，一级相差d，那么老九的银子数为A+d，老八的银子数为A+2d，老七的银子数为A+3d……老三的的银子数为A+7d，老二的银子数为A+8d，老大的银子数为A+9d。这样不难得出，老大与老十的银子数之和=老二与老九的银子数之和=老三与老八的银子数之和=老四与老七的银子数之和=老五与老六的银子数之和，这样100两银子就分成了相等的5组，每组为20两。

最后，就从老三与老八的银子数之和为20两入手。由老八的银子数6两，可求出老三的银子数为20-6=14（两），这就说明，老三比老八多得14-6=8（两）。而老三与老八相差（A+7d） -（A+2d）=5d，因此可求得一级相差d=8÷5=1.6（两）。

古巴比伦人的原始算术解答，都是采用楔形文字叙述。这里为了直观说明才加进了字母，解答的数学本质没有改变。

“普林顿322号”与勾股数

在古巴比伦数学泥板书中，最引人瞩目的当数“普林顿322号”。这是美国哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号收藏品。此泥板书完成于公元前1900年～前1600年，现存的半部长12.7厘米，宽8.8厘米，用古巴比伦文字记录书写。尽管该泥板书有些残缺，但大体完整，只是左边掉下一块，靠右边中间部分有一个很深的缺口，左上角也剥落了一片，仍可以清楚地看到，有3列15行非常明显的六十进制数字，可用大家熟知的阿拉伯数字改写直观表示如下图。

显然，最右侧这一列数字表示的是顺序号，剩下的两列数就让人颇为费解。不过，有关学者经过修补考证研究，还是揭示出其中蕴含的数学意义：两列中的对应数（除了4个例外，有学者认为是笔误所致）恰好是，边长为整数的直角三角形的斜边和一条直角边。比如：1692=1192+1202，66492=46012+48002，185412=127092+135002等等。图中的4个例外情形，原泥板上的不正确数字均标注在括号里。简单地说，“普林顿322号”与“勾股数”有关。

大家都知道，像3、4、5这样一组能作为直角三角形三条边的正整数叫作“勾股数”，或称“毕氏三数”。这是由于毕达哥拉斯学派独立发现了“勾股定理”，所以西方习惯把“勾股数”称为“毕氏三数”。如果一组勾股数中，除了1之外没有其他的公因子，就把这种特殊的勾股数叫作“素勾股数”或“素毕氏三数”。数学研究表明，所有的“素勾股数”a 、b、c都能用a =2uv，b2=u2-v2，c2= u2+v2来表示，其中u、v互质，奇偶互异，且u>v。3、4、5这组最为常见的“素勾股数”就是取u=2、v=1时所得。

据此进行验证，人们惊讶地发现，专业人士根据“普林顿322号” 给出的斜边c和直角边b来确定另一条直角边a的“勾股数”中（如下表），除第11行的60、45、75和第15行的90、56、106之外，竟然都是“素勾股数”。为直观

理解，表中也给出了毕氏参数u、v的值。

通过“普林顿322 号”不难看出，古巴比伦人早在3000多年前就知道“素勾股数”的一般参数表达式，否则，单靠巧合根本无法凑出这样的数据。考虑到当时的文化和数学背景，这绝对是个令人惊叹的研究成果。

令人称绝的巴比伦开方

不过，在名著《数学——人造的宇宙》中介绍的一种源自上古时代巴比伦的“开方”妙法，其奇妙构思和独特手法更令人拍案叫绝。

下面就以为例，向大家介绍别具一格的“巴比伦开方”法。

首先，我们可以通过计算器或查表得？≈？4.358898944。这样的近似值把19的平方根写到小数点后第9位，精确度已经够高，无需继续拓展延伸，就放在一边作为参照。

其次，用“迭代”（ 顾名思义就是指不停代换，也指循环执行、反复执行）来具体解释“巴比伦开方”逐渐接近准确结果的操作步骤：

第一次，设4为的起始近似值，虽然这极为粗略，但请不要放在心上。然后进行如下计算：19÷4=4.75，接着求起始近似值4与商4.75的算术平均数，即（4.75+4）÷2=4.375，可以判断的是，4.375的平方更接近于19，所以接下来就用相对准确的4.375替代不准确的4。

第二次，仍采用与上述一致的两次计算，只是其中的4由4.375代换。如法炮制的计算就是：19÷4.375≈4.343，再求4.375与4.343的算术平均数，即（4.343+4.375）÷2=4.359，可以判断的是，4.359的平方更接近于19，所以接下来就用更为准确的4.359替代相对准确的4.375。其中道理，仍是为了求出更接近于准确结果的近似数。

第三次，设的近似值为4.359，则19÷4.359≈4.358798，（4.358798+4.359）÷2≈4.358899；

第四次，设的近似值为4.358899，则19÷4.358899≈4.3588989，（4.3588989+4.358899）÷2≈4.35889895；

第五次，设的近似值为4.35889895，则19÷4.358898959≈4.358898937，（4.358898937+4.35889895）÷2≈4.358898944。

至此，经过5次迭代后，所得的近似值已经与参照数值完全吻合，说明这种递推结果非常精确。尽管这种“巴比伦开方”的计算过程比较繁琐，但其科学合理和实用精妙毋庸置疑。

更令人惊奇的是，如果在假设的起始近似值时随意离谱，比如设为7居然也不碍事。只要按照上述步骤持续操作，就会发现逐次接近的近似值变换为：7→4.857→4.3845→4.38895→4.358899→4.35889895→4.358898944。计算结果竟然在迭代过程中自我修复，悄悄回到正确轨道上，这真是匪夷所思。要知道，在欧洲被称为“黑暗时代”的中世纪，大部分有文化的读书人都不会开方运算，遇到此等问题唯恐避之不及。

尽管古巴比伦的数学主要用于解决各类具体实际问题，但在早期文明中即达到极高水平。其精妙奇特的计算方法打开了人类对数学的探索之门，科学合理的计数规则对后世产生了重大影响。时至今日，我们回顾古巴比伦数学，仍能感受到奇特的魅力，惊叹于古巴比伦人非同凡响的数学智慧。

【责任编辑】赵 菲