随机投资收益风险过程的一个标注

戴洪帅，唐沧新

（1.广西大学数学与信息科学院，广西南宁 530004；2.广西财经学院信息与统计学院，广西南宁 530003）

随机投资收益风险过程的一个标注

戴洪帅1，唐沧新2

（1.广西大学数学与信息科学院，广西南宁 530004；2.广西财经学院信息与统计学院，广西南宁 530003）

构造了一类更广泛的带随机投资收益的风险过程。利用停时定理以及伊藤公式，研究此类过程的生存概率的相关性质。给出了生存概率的积分表示，证明了其连续性。同时，给出了其二次连续可微的条件并得到了其生存概率的连续性满足的积分微分方程。

生存概率；随机投资收益；微分积分方程

0 引言

破产理论的研究溯源于瑞典精算师FilipLundberg于1903年发表的博士论文［1］，至今已有100多年的历史。从此，此类问题引起了人们的广泛兴趣。例如，文献［2］研究了马氏调制风险模型的破产概率的相关问题。随着破产理论的发展，人们开始考虑利率这一投资收益因素对盈余过程的影响。文献［3］研究了带干扰的多险种二项风险模型的破产概率。文献［4］研究了带利息的随机双险种风险模型的破产概率问题。近几年，随着金融衍生物的创新，投资收益的方式趋于多元化、复杂化。同时，技术的发展为研究更复杂的风险模型的破产概率提供了手段。基于这两个原因，越来越多的人开始关注带投资收益的风险模型。例如文献［5－9］都对此类模型进行了研究。但是目前为止，对此类模型的研究都是针对经典风险模型进行的。随着保险业的发展，保费收取的政策更灵活，方式更趋于多元化。因此，经典风险模型已经不能够很好的对这些新现象进行描述。基于上面这个问题以及投资收益多元化这个事实，本文将构造一类更一般的带随机投资收益的风险过程。这个新的风险过程不仅体现了保费收取的灵活性，同时也实现了投资收益的多元化。

1 主要结果

本部分给出本文的主要结果。首先引入需要研究的一般的风险过程｛X（t）｝。设｛Xi｝i∈N和｛Zi｝i∈N为两列独立同分布的随机变量序列，其中Xi表示第i次保费收入，Zi表示第i次索赔所产生的索赔额。则风险过程｛X（t）｝为：

其中，u≥0是初始盈余；｛N1（t），t≥0｝和｛N2（t），t≥0｝分别是参数为λ1和λ2的泊松过程，并且｛Xi｝，｛Zi｝，｛N1（t），t≥0｝和｛N2（t），t≥0｝彼此之间相互独立。为了讨论的方便，令T1i和Ti2分别表示保费到达间隔时间和索赔到达间隔时间。

下面给出随机投资收益过程｛I（t）｝。假设：

其中，r＞0表示折现率；σ＞0且r－2－1σ2≥0；｛W（t）｝是一个标准布朗运动并且满足｛Xi｝，｛Zi｝，｛N1（t），t≥0｝，｛N2（t），t≥0｝和｛W（t）｝是相互独立的。

最后，定义带随机投资收益的风险过程｛Y（t）｝：

其中，Rt＝（r－2－1σ2）t＋σW（t）。由上面的讨论可知Y＝｛Y（t）｝是一个强马氏过程。

本文主要研究过程Y＝｛Y（t）｝的生存概率的相关问题。下面将对风险过程｛Y（t）｝的生存概率进行研究。首先，介绍一些相关的符号。定义破产时间Tμ为Tμ＝inf｛t：Y（t）＜0｝以及生存概率Φ（u）为t0。另外，设F1（x）和F2（x）分别代表X1和Z1的分布函数。则对于≥Φ（u），有：

定理1对于任何u≥0，

由以上讨论可知，定理得证。下面研究生存概率的一些性质。

定理2生存概率Φ（u）在（0，∞）上是连续的。

证明设a≤b且［a，b］⊆（0，∞）。为了证明定理，则只需要证明Φ（u）在［a，b］上连续。令

下面证明Φ1（u）在［a，b］上是连续的。

经计算可得：

则h1（u）在（0，∞）上连续可微。同理，h2（u）在（0，∞）上连续可微。

结合式（7）和式（8）可知，Φ1（u）在（0，∞）上连续可微。

同理，可以证明Φ2（u）在（0，∞）上是二次连续可微。则由定理1可知，命题得证。

定理4设f1（x）和f2（x）满足定理3中的条件，则Φ（u）满足下面的积分微分方程：

由式（10）～式（12），在等式（9）两边同时除t并令t↓0，则容易得到命题成立。

［1］ 成世学.破产论研究综述［J］.数学进展，2002，31：403－422.

［2］ 董继国，刘国欣.Markov-modulated风险模型破产前最大盈余额与破产赤字的联合分布［J］.高校应用数学学报，2010，25：9－12.

［3］ 刘超，王永茂，颜玲.带干扰的多险种二项风险模型的破产概率［J］.郑州大学学报：理学版，2012，44（1）：46－49.

［4］ 戴洪帅，刘再明，沈亮.带利息力的随机双险种风险模型［J］.高校应用数学学报，2008，23：389－392.

［5］ Kam C Y，W ang G J，KaiW N.Ruin Probabilities for a Process with Stochastic Return on Investments［J］.Stoch Process Appl，2004，110：259－274.

［6］ Paulsen J.Risk Theory in a Stochastic Economic Environment［J］.Stoch Process App，1993，46：327－361.

［7］ Ragnar N.Ruin Problem s with Assets and Liabilities of Diffusion Type［J］.Stoch Process App，1999，81：255－269.

［8］ Wang G J，Wu R.Distributions for the Risk Process with a Stochastic Return on Investments［J］.Stoch Process App l，2001，95：329－341.

［9］ Wang G J，W u R.Some Distributions for Classical Risk Process that is Prturbed by Diffusion［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2001，26：15－24.

［10］ Yor M.On Some Exponential Functionals of Brownian Motion［J］.Adv Appl Probab，1992，24：509－531.

O211.6；F224

A

1672－6871（2014）01－0101－04

国家自然科学基金项目（11226141，11061002）；广西自然科学基金项目（2012GXNSFBA053010）

戴洪帅（1981－），男，山东胶州人，讲师，博士，研究方向为保险精算.

2013－03－02