Banach空间中一类新的几何常数

张海霞，崔欢欢，李 浩

（1.河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡 453007；2.洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳 471022）

Banach空间中一类新的几何常数

张海霞1，崔欢欢2，李 浩1

（1.河南师范大学数学与信息科学学院，河南新乡 453007；2.洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳 471022）

对Banach空间的一致非方性质进行了刻画，引入一类几何常数H（X）和h（X）并得到常数H（X）和凸性模δX（ε）的关系等式，且证明了Banach空间一致非方的充分必要条件是H（X）不超过2。另外，计算了一些具体Banach空间上常数H（X）和h（X）的精确值。

Banach空间；调和平均；一致非方

0 引言

1964年，James引入了Banach空间是一致非方的概念，若存在δ＞0，使对任意x，y∈S（X），有不等式成立，则称Banach空间是一致非方的［1］。1976年，Schäffer给出了一致非方的等价定义，即如果存在λ＞0，使对任意立，则称Banach空间是一致非方的［2］。

为了精确刻画这一几何性质，高继在1982年定义了下面的几何常数：

并证明了Banach空间X是一致非方的，当且仅当J（X）＜2（或S（X）＞1），其中，J（X）和S（X）分别被称为James和Schäffer常数［3］。1986年，Casini证明了在任何非平凡Banach空间中有J（X）S（X）＝2［4］。

空间上类似的常数以及这些常数之间的关系、精确值和空间上的几何性质如正规结构（由此得到不动点理论）得到了广泛的研究，同时，许多文章还证明了这些常数和非常著名的Clarkson凸性模联系紧密［5－12］。

2000年，Baronti等利用算术平均引入了如下常数：

2008年，A lsonso和Fuster利用几何平均引入了如下常数：

除算术与几何平均外，另外一类重要的平均就是调和平均：

其中，a，b是两个正实数。将根据调和平均在Banach空间中引入两个新的几何常数，并给出了这两个常数和上面常数的关系，由此可以更好地计算一些重要空间的常数精确值。

1 基础知识

定义1［10］X上的Clarkson凸性模为函数δX：［0，2］→［0，1］，

由文献［10］知：X是一致非方的当且仅当存在ε∈（0，2）使得δX（ε）＞0。

1937年，Clarkson引入了下面的几何常数。

定义2［11］X上的von Neumann-Jordan constant常数CNJ（X）定义为：

2 参数H（X）与h（X）的性质及与一致非方的关系

其中，M（a，b）关于b＞0单调递增。

推论1Banach空间X一致非方当且仅当H（X）＜2。

由定义易得如下结论：

定理3对任何Banach空间X成立，

下面的一些结论表明上述定理中一些严格不等式成立，从而表明本文的估计非常精确。

3 具体空间上参数H（X）或h（X）的精确值

［1］ James R C.Uniform ly Non-square Banach Spaces［J］.Ann of Math，1964，80：542－550.

［2］ Schäffer J J.Geometry of Spheres in Normed Spaces［M］.New York：Dekker，1976.

［3］ Gao J.The Uniform Degree of the Unit Ball of a Banach Space［J］.Nanjing Daxue Xuebao，1982，1：14-28.

［4］ Casini E.About Some Parameters of Normed Linear Space［J］.Atti Accad Linzei Rend Fis Ser，1986，80（VIII）：11-15.

［5］ 杨长森，郑亚男，王亚敏.广义高继常数的一些性质［J］.河南师范大学学报：自然科学版，2011，39（1）：6－9.

［6］ Yang C S，Li H Y.An Inequality On Jordan-Vonneuma-Nnconstant and James Constant On Zp，qSPACE［J］.Journal of Mathematical Inequalities，2013，7（1）：97－102.

［7］ 张海霞，关晓红，杨长森.常数H（a，X）与一致正规结构［J］.华中师范大学学报：自然科学版，2011，45（3）：363－365.

［8］ Baronti M，Casini E，Papini P L.Triangles Inscribed in Semicircle，in Minkowski Plane，and in Normed Spaces［J］.JMath Anal Appl，2000，252：121－146.

［9］ Alonso J，Llorens-Fuster E.Geometric Mean and Triangles Inscribed in a Semicircle in Banach Spaces［J］.JMath Anal Appl，2008，340：1271－1283.

［10］ Kato M，Maligranda L，Takahashi Y.On James and Jordan-von Neumann Constants and the Normal Structure Coefficient of Banach Spaces［J］.Studia Math，2001，144：275－295.

［11］ Clarkson J A.The Von Neumann-Jordan Constant for the Lebesgue Space［M］.Ann of Math，1937，38：114－115.

［12］ Kato M，Maligranda L.On James and Jordan-von Neumann Constants of Lorentz Sequence Spaces［J］.JMath Anal App l，1998，258：457－465.

O177.2

A

1672－6871（2014）01－0079－04

国家自然科学基金项目（11126284）；河南省基础与前沿技术研究计划项目（102300410012）

张海霞（1978－），女，河南滑县人，副教授，硕士，主要从事泛函分析方面的研究.

2012－04－17