弯道出流横向流速发展过程的解析解

周建银，邵学军，假冬冬，杨 研，秦翠翠

(1. 清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084；2. 南京水利科学研究院水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京 210029)

弯道出流横向流速发展过程的解析解

周建银1，邵学军1，假冬冬2，杨 研1，秦翠翠1

(1. 清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084；2. 南京水利科学研究院水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京 210029)

针对现有弯道出流横向流速衰减公式忽略横比降的局限，推导了考虑横比降影响的出弯直道内横向流速发展的解析解．该解析解的各项具有明确的物理意义．与试验数据对比表明，该解析解能够较为合理地预测出弯后直段内横向流速的发展，计算结果优于未考虑横比降的公式．横比降对直段的影响主要集中在靠近弯道的直段入口和出口．当横比降影响较大时，不考虑横比降的公式计算值与实测值相差较大，而考虑横比降的解析解的计算结果与实测符合得较好．

解析解；弯道出流；横向流速；过渡段；横比降

弯道明渠流动中，水流受边界约束，其运动方向被迫改变．弯曲段内离心力、水面超高产生的静水压力和雷诺应力的综合作用，产生弯道环流．环流强度沿程分布极为复杂．张红武等[1]经过研究认为，对于一般河弯，弯顶附近的环流已发展得相当充分，且直至弯段出口处，环流强度也无很明显的衰减．

若水流自弯道出流后进入直线段，则离心力消失，环流将逐渐衰减．许多学者对此现象进行了分析研究．1936年，波达波夫[2]根据实验指出，弯道出口后直线段内环流衰减遵循指数规律，并将其假设为“均匀衰减”，从而求得沿程衰减计算式为

式中：irv为弯道出口处横向流速；c为系数；下标“r”为横向(即弯道的径向)；“i”为入口．

马克维耶夫首次从雷诺方程简化，得到出弯后的直段内横向流速的运动方程为

式中：vθ为纵向流速；rv为横向流速；tν为黏度．罗索夫斯基[3]、张定邦[4]、张红武等[1]都在此式基础上，引入一定的假设，推导了横向流速衰减的解析解．然而，此式的推导过程中忽略了直线段内的横比降．而研究表明，弯曲河段在入弯前和出弯后都存在横比降．刘焕芳[5]、许光祥等[6]总结了弯道入弯前、弯道段、出弯后的横比降分布规律．因此，研究横向流速的发展过程时，需要考虑横比降的影响．当研究对象距离弯道入口或出口不远，或者上下游弯道相距较近时，此影响可能较大．而这种影响，在现有的、以式(2)为基础推导的公式中，尚无法考虑．为此，笔者推导了考虑横比降影响的弯道后直线段内横向流速的计算公式，并与未考虑横比降影响的计算结果进行了对比．

1 公式推导

极坐标下，三维稳态横向流速运动方程为

式中vz为垂向流速．考虑宽深比大的近似二维轴对称流动，流速的横向梯度和垂向流速可以忽略，从而包含和vz的项可以忽略不计，且由垂向流速的动量方程积分可以得到，其中rJ为水面横比降，以凸岸低、凹岸高为正；又考虑到一般弯曲半径大于宽度，宽度又远大于水深，故与相比是小量，也是小量．从而，方程简化为

水流出弯后，离心力消失．恢复笛卡尔坐标系，方程转化为

忽略横比降rJ即得到式(2)．前人都忽略rJ，并将vθ、和充分发展的弯顶处水流建立联系，利用容易求解的轴对称流动，求解弯道出流后横向流速的衰减过程．文献[1]的推导是其中的最新成果，所以下面以文献[1]的方法为例，介绍其推导过程.

1.1 不考虑横比降的公式

为求解方程(5)，文献[1]做了如下假设：①出弯后，纵向流速分布仍然保持环流充分发展后的分布不变；②纵向流速垂线方向为指数分布；③忽略直线段的横比降．忽略横比降后，方程简化为式(2)．假定右边项与充分发展的轴对称环流成比例，即

式中下标“o”代表弯顶．再利用弯顶充分发展水流的方程，最终得到横向流速的沿程衰减函数为

式中：orJ为弯顶的横比降；x为上游直段位置到弯道入口的距离，或者下游直段位置到弯道出口的距离．

方程的求解还需要知道弯顶的横比降orJ、纵向流速ovθ和横向流速orv，以及积分常量也就是直线段入口的横向流速irv．通过代入横比降计算公式、假定1/7指数律的垂向流速分布，引入其他假定，可由方程(4)积分得到弯顶横向流速为(详细推导过程参见文献[1])

式中：U为断面平均纵向流速，假设断面中心垂线平均纵向流速与其相等；rC为积分常数，根据连续条件确定，连续条件为

从而

宋志尧[7]也推导了一个环流通用公式．但是，它在精度上没有明显优于文献[1]中的环流公式．为保持一致性，本文仍采用文献[1]的环流公式．

对于入口横向流速，按照假定，应当有vri=vro，这是一般的取法．但是文献[1]把它单独保留，以适应边界条件．

文献[1]最终得到水面处(η=1)和近底(η=0.01)的环流沿程衰减公式为

1.2 考虑横比降影响的公式推导

文献[1]在推导过程中，计算弯顶横比降系数a0时采用的是对数流速分布，与后面假设的指数分布不一致．若采用该指数分布公式，则a0=64/63．考虑到它毕竟只是一个系数，也可以调整，经过测试，其影响不大．

文献[1]在推求式(7)的过程中，很多假设是推出解析解所必要的，但是忽略横比降的假设则没有必要，且不符合实际．弯道水流在入弯前和出弯后，都有一定的横比降．刘焕芳[5]总结弯道进口直段、弯道段、出口直段的横比降的分布为

式中：mr为中轴线的弯曲半径；θ为角度；ϕ为弯角．

考虑长度为l的连续弯道过渡段内的环流衰减(单弯出流只是l无限大的特殊情况)，将式(13)、式(6)代入式(5)，并采用文献[1]中计算弯顶横比降、纵向流速、横向流速的方法，最终得到

式中：下标“1”指过渡段上游弯道的影响；下标“2”指过渡段下游弯道的影响. 注意，过渡段前后为反向弯道时，o1rJ与o2rJ符号相反．式(14)积分的结果为

式(15)与式(7)相比，多了前面两项，它们分别反映直线段上、下游弯道在直线段产生的横比降的影响．单弯出流时，c2=0．不考虑横比降时，c1=c2=0，即回归为式(7)．

2 公式的对比

大多数有关弯道的文献都没有直线段横向流速的资料．经过查找，表1所列的2个试验可供检验．这2个试验，弯道半径、宽深比相差较大，且粗糙程度不同，可以更充分地检验解析解的有效性．

表1 试验参数Tab.1 Experimental parameters

2.1 Chang试验

图1为Chang试验[8]的平面示意．每个断面测量了12条垂线，本文采用其中y/b=0.446和y/b=0.554 2条垂线的值，进行插值得到中轴线上的横向流速．入口断面S0的数据是计算的边界条件．图2对比了S1、S2、S3断面中心线上横向流速的垂向分布.由图可见，解析解与实测数据符合较好．除了在靠近水面的小区域之外，式(15)的结果较式(7)好．

图1 Chang试验平面示意(单位：m)Fig.1 Plan sketch of Chang experiment(unit：m)

图2 Chang试验横向流速对比Fig.2 Comparison of transverse velocity in Chang’s experiment

2.2 Ghanmi试验

图3为Ghanmi试验[9]的平面示意．该试验测量了包括S0～S7在内的14个断面的y/b为0.3、0.5和0.7 三条垂线上的横向流速．本文选取了中轴线上的值进行对比．图4和图5为S1～S7断面的横向流速的实测值与解析解的对比．由图可见，式(15)的计算结果在每个断面均优于式(7)的计算结果．在过渡段出口S7断面，近底横向流速发生逆转．式(15)定性上计算正确，而式(7)则没能计算出这一趋势．

图3 Ghanmi试验平面示意(单位：m)Fig.3 Plan sketch of Ghanmi experiment(unit：m)

图4 Ghanmi试验横向流速对比(S1～S4)Fig.4 Comparison of transverse velocity in Ghanmi’s experiment(S1—S4)

图5 Ghanmi试验横向流速对比(S5～S7)Fig.5 Comparison of transverse velocity in Ghanmi’s experiment(S5—S7)

3 分析和讨论

式(15)较式(7)的优势在于它考虑了弯道段在直线过渡段内产生的横比降对横向流速发展的影响.为便于分析，将式(15)复制到此处，即

式中右边第1项反映了上游弯道在过渡段内形成的横比降的影响，第2项反映了下游弯道在过渡段内形成的横比降的影响，第3项反映了雷诺应力的耗散作用．按照文献[1]中提出的横比降公式计算，Chang试验的弯顶横比降约为0.001,6，而Ghanmi试验的弯顶横比降约为0.006,5．而前者纵向平均流速0.366,m/s较后者的0.307,m/s大，且前者R/b值、b/h值均比后者大．因而，横比降的相对影响，前者应远小于后者.从计算总体效果来看，Chang试验的计算结果与实测的吻合程度确实较Ghanmi试验更高．式(7)在预测Chang试验的结果时较好，而预测Ghanmi试验则与实测值差别较大．

在对比Ghanmi试验的横向流速时发现，过渡段入口和出口附近的断面上，横向流速的发展与内部差异较大．以中轴线近水面(z/h=0.9)和近底(z/h=0.1)的横向流速发展为例，实测值与计算值的对比见图6．由图可见，近水面的横向流速，在过渡段入口附近迅速减小，而在过渡段出口附近迅速增大；近底横向流速在过渡段入口不仅没有减小还有所增加，而在出口附近则由负转正，并迅速增加．与式(7)相比，式(15)能较为准确地反映出这些发展趋势．基于公式的推导条件的差异可知，这些异常变化主要是由于上下游弯道在过渡段内形成的横比降的影响．同时，式(15)的计算与实测仍有一定差距，尤其是在水面附近，入口和出口的变化速度也较实测为小．这可能是由于推导中的简化和假设(如第1.1节假设(1))与实际不符所致．

图6 横向流速的沿程发展Fig.6 Transverse velocity along the x direction

为更深入地剖析横比降的影响，将式(15)右边3项及其代数和的沿程变化用图表描述出来．图7(a)为近水面的横向流速各项的沿程发展．由图可以很清晰地看到，入口横向流速的迅速衰减是由于第1项的迅速衰减，它反映的是上游弯道横比降的影响．出口横向流速的增加，是由于第3项的迅速增加，它反映的是下游弯道横比降的影响．事实上，过渡段入口是上游弯道的出口，其环流方向在水面是由凸岸指向凹岸，而横比降的方向则是由凹岸指向凸岸．因而，过渡段入口附近横比降使得水面横向流速迅速减小.而过渡段出口，由于下游连接的是反向弯道，横比降方向与水面横向流速方向相同，因而使水面横向流速迅速增大．

横比降对近水面和近底的作用是一样的，但是由于环流的近底横向流速方向与近水面相反，因而，可以预见，横比降对近底横向流速的影响与它对近水面横向流速的影响效果相反．图7(b)为近底流速各项的沿程发展．由图可见，由于过渡段入口附近第1项的迅速衰减，近底横向流速不仅没有衰减还略有增加；出口附近由于第3项的迅速增加，近底横向流速由负转正，并迅速增大．

由此可见，过渡段入口和出口附近横向流速的发展受到横比降的影响，其影响为促进与横比降方向相同的横向流速的发展，而抑制与横比降方向相反的横向流速的发展．

图7 近水面和近底横向流速各项的沿程变化(式(15))Fig.7 Longitudinal variation of transverse velocity near surface and near bed(eq.(15))

4 结 论

(1) 明渠弯道流动在入弯前和出弯后都存在横比降，它们将影响入弯前后直段内横向流速的发展．本文在前人研究基础上，考虑直段内横比降的影响，推导出横向流速变化规律新的解析解，改进了前人未考虑横比降影响的公式，在计算直线段内的环流发展过程时，与实测结果基本吻合．

(2) 不同弯道过渡段内横向流速发展所受到的横比降影响程度不同．横比降的影响主要集中在过渡段入口和出口附近．其影响为促进与横比降方向相同的横向流速的发展，而抑制与横比降方向相反的横向流速的发展．与试验数据的对比表明，当横比降对横向流速发展影响较大时，本文考虑横比降影响的解析解计算结果优于不考虑横比降的公式的结果．

［1］ 张红武，吕 昕. 弯道水力学[M]. 北京：水利电力出版社，1993.

Zhang Hongwu，Lü Xin. Bend Channel Hydraulics[M]. Beijing：China Waterpower Press，1993(in Chinese).

［2］ Πotobmb. 波达波夫选集[M]. 北京：水利电力出版社，1958.

Πotobmb. Πotobmb Anthology[M]. Beijing：China Waterpower Press，1958(in Chinese).

［3］ Rozovskii I L. Flow of Water in Bends of Open Channels [M]. Kiev：Academy of Science of the Ukrainian SSR，1957.

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Zhang Dingbang. Research of Bend Horizontal Circulation[R]. Water Conservation and Waterway Thematic Commentary，1964(in Chinese).

［5］ 刘焕芳. 弯道自由水面形状的研究[J]. 水利学报，1990(4)：46-50.

Liu Huanfang. Study on the water surface configuration in curved channe[J]. Journal of Hydraulic Engineering，1990(4)：46-50(in Chinese).

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Xu Guangxiang，Tong Sichen，Zhong Liang. Study on the longitudinal distribution of water surface transverse slope in curved conduits [J]. Journal of Hydroelectric Engineering，2009，28(4)：114-118(in Chinese).

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Song Zhiyao. The universal formula on transverse circulation in channel bends[J]. Journal of Sediment Research，2003，8(4)：19-23(in Chinese).

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(责任编辑：田 军)

An Analytical Solution of Transverse Velocity in Straight Open Channel Situated Downstream of a Bend

Zhou Jianyin1，Shao Xuejun1，Jia Dongdong2，Yang Yan1，Qin Cuicui1
(1. State Key Laboratory of Hydroscience and Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China；2. State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering，Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing 210029，China)

Flow in a straight open channel situated downstream of a bend was considered. An analytical solution of transverse velocity in the channel was derived，and the effect of transverse slope was taken into account while it had been ignored in the existing formulae. Each term of the solution has a clear physical meaning. Verification shows that this analytical solution is capable of predicting the transverse velocity. Comparison between the proposed solution and an existing formula，which ignores the transverse slope，shows that the former is better. The entrance and exit parts of the straight channel are most affected by the transverse slope. When the effect of transverse slope is remarkable，the formula without consideration of transverse slope shows a great discrepancy from the experiment data，while the performance of the proposed analytical solution is generally good.

analytical solution；curved-channel outflow；transverse velocity；transition section；transverse slope

TV143；TV147

A

0493-2137(2014)07-0583-06

10.11784/tdxbz201211044

2012-11-22；

2012-12-16.

国家科技支撑计划资助项目(2012BAB05B01)；国家自然科学基金重点资助项目(51039004).

周建银（1987— ），男，博士研究生.

周建银，zhoujy09@mails.tsinghua.edu.cn.

时间：2013-11-08.

http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20131108.1524.006.html.