卡塞格林望远镜耦合系统锥形导管的仿真与误差分析

张鹏飞，王志斌，李 晓，王立福

（中北大学 山西省光电信息与仪器工程技术研究中心，山西 太原030051）

引言

卡塞格林望远镜因其大口径收光效果好作为前置光学系统，广泛应用于激光通信［1］、遥感［2］和光谱仪器［3］等领域。卡塞格林的耦合系统有耦合进入单模光纤和多模光纤两类，前者仅仅是将零视场的平行光束耦合进入单模光纤，其耦合方式主要应用非球面透镜［4］和直接耦合［5］，后者在天文学方面运用较多，多采用光纤分束器耦合和直接耦合的方式［6－7］。为了让更多光线耦合入多模光纤，尝试性采用较为便宜的锥形导管作为核心耦合器件。锥形导管可用做缩束［8］和LDA激光器耦合系统［9］，另外，作为耦合像斑进入多模光纤的器件，有增大耦合视场的作用，可以在遥测时获取目标信号。为了获得远距离740nm～780nm的光谱信号的耦合信息，通过Zemax仿真软件搭建了整个耦合系统，并计算了采用锥形导管作为耦合器件后耦合效率较光纤直接耦合提升的幅度。

1 卡塞格林望远镜及耦合系统简介

如图1所示，整个系统由卡塞格林望远镜，锥形导管和多模光纤组成，三者共轴。带有一定视场的平行光束成像在焦平面上，锥形导管入射面紧贴像面放置，利用锥形导管内全反射将像斑耦合进多模光纤。

图1 卡塞格林望远镜及耦合系统示意图Fig.1 Cassegrain telescope and coupling system

望远镜采用ABB公司MR170光谱辐射仪的窄角度卡塞格林望远镜，其抛物面主镜的口径为250mm，焦距为325mm，双曲面副镜口径为75mm，共轭焦距分别为73mm和290mm，望远镜的有效焦距为1 300mm，其中心遮挡比为0.3，具有4mrad的最大视场。锥形导管选用较为便宜K9玻璃作为材质，在740nm～780nm光谱范围的内部透过率为0.998。另外，为了满足多模光纤的数值孔径，锥形导管限于尺寸，只截取部分像斑进行耦合。多模光纤采用的是Avantes公司的特种光纤 FC-IR600-2，其纤芯直径为600μm，数值孔径为0.22。

2 理论分析及参数计算

2.1 望远镜参数计算

首先需要根据卡塞格林望远镜主镜和副镜参数，算出其曲率半径和圆锥系数。下面给出通用非球面关系式：

式中：c为曲率（半径的倒数）；r为径向坐标；k为圆锥系数。当k＝－1时，非球面关系式代表抛物面，其可以简化为r2＝2Rz。显然焦点f＝R／2，又因f＝325mm，可以得到抛物面主镜的曲率半径为650mm。

副镜为双曲面，令其共轭焦距为f1、f2，其实轴与虚轴分别为a、b（此处a和b区别于锥形导管），曲率半径为R，圆锥系数为k，根据双曲面性质有：

双曲面副镜的共轭焦距为73mm和290mm，根据公式（2）～（5），可以得出R＝195.1mm，k＝－2.798。

2.1 锥形导管参数的选择

望远镜像斑由无数个像点组成，双镜面卡塞格林望远镜的视场只有0.2°，彗差很小，所以每个像点都可以近似看成有一定发散角的理想点光源。通过计算轴上像点耦合入光纤的光线最大发散角来选择锥形导管的参数。

图2 锥形导管耦合像斑示意图Fig.2 Axicon duct coupling image spot

由图2可知，导管的输入面和输出面均为平面，直径分别为a和b，导管长度为l，锥形导管半顶角θ，轴上像点（点光源）O的发散角为α0。通过分析O点发出的能耦合入光纤的光线最大发散角来确定锥形导管的参数，并以它为Zemax仿真的初始结构。

像点O在导管轴线上，其发出的光束成锥形，具有对称性，选择其子午面讨论O点的最大耦合角。因光线在导管内传播为折线，为了便于分析，将导管子午面按光线传播方向展开，图3是光线经过2次全反射的子午面展开示意图。

图3 光线在锥形导管内全反射路径展开图Fig.3 Path expansion plan of total internal reflection in axicon duct

从O点发出的与光轴夹角为α0的光线，与输入面相交于点M′，由于像面和输入面紧贴，OM近似于零，则可认为M、M′重合。此光线在输入面满足折射定律sin（α0）＝nsin（α）。光线经过N 次全反射后到达输出面，在输出面上光线满足条件nsin（β）＝NA。如图3所示，光线 MB1与轴OO′的夹角可以看成是光线在锥形导管内全反射零次的最大角，以此类推MB2，MB3与OO′的夹角分别为全反射1次和2次的最大角。由几何关系得出：

以此类推，当全反射n次时，有：

其中半锥角：

另外，在锥形导管中传播的有效光线要满足2个条件。其一，光线在传播过程中，在锥壁处要满足内全反射条件。光线每经过一次锥壁或者锥轴时，其与锥壁和锥轴法线的夹角减小θ。以光线MK为例，第一次和第二次全反射的入射角分别为γ1、γ2，第m 次全反射的入射角为γm，即：

只要γm满足全反射条件，前面m－1次全反射都能满足要求。第m次全反射条件为

其二，光线在输出面外要满足光纤数值孔径NA。光线经过m次内全反射后与输出面法线的夹角βm＝α＋2mθ，经过折射后要满足光纤数值孔径NA：

在实践提升阶段，教师讲解完电泳原理之后，带领学生进入实验室进行实际操作（蛋白样品处理、加样、电泳、剥胶、染色、脱色、观察）。

取折射率nd＝1.52（K9玻璃相对于d光的折射率），NA＝0.22，m＝3，b＝0.6mm，联立公式（6）～（9），运用 Matlab做数值计算，可以得到α在各种参数下所能取的最大值，如表1所示。并可得到如下3条规律：

表1 光束半锥角α在各组参数下取得的最大值Table 1 Maximum semiapex angle of rays coneunder each pair of parameters

1）当a固定不变时，α随着全反射次数增加而减小；

2）α随着a和l的同时增大而减小，即导管半顶角不变时α随长度l增大而减小；

3）前一行数据的第2次全反射的α值小于后一行数据第1次全反射的α值。

另经计算得出零视场时边缘光线在卡塞格林望远镜像面上与光轴的夹角α0为0.096rad，根据折射定律sin（α0）＝nsin（α），可得在锥形导管内光线与光轴夹角α为0.063 2rad。从表1中可以得到当a＜1.6mm时，α都不小于0.063 2rad；当1.6mm≤a≤2.0mm时，α略小于0.063 2rad；当a＞2.0mm 时，α远小于0.0632rad。因考虑到实际加工，需要控制a≥1.8mm，l≤20mm。故本文选择a＝1.8mm，b＝0.6mm，l＝15.9mm作为锥形导管的初始参数结构，Zemax利用此初始参数对卡塞格林望远镜部分像斑进行耦合仿真。

3 基于Zemax的仿真和误差分析

3.1 初始结构的编辑

Zemax软件在序列模式中无法模拟光纤，但是在分析栏中的几何成像分析可以用来分析多模光纤的耦合效率。在几何成像分析中，计算多模光纤的耦合效率，需要在像面上利用圆形孔径模拟多模光纤纤芯大小，在设置菜单中NA项可以限定光纤数值孔径。经过光线追迹［10］后，Zemax将会统计经过圆形孔径且满足NA值的光线总量，并计算这些光线所占总光线的比重，这个百分比就是耦合效率。

本文采用混合模式来进行仿真，在序列部分插入卡塞格林的主镜和次镜，其曲率半径分别为－650.0mm 和－195.115mm，圆锥系数分别为－1和－2.798，材料为mirror。将主镜的厚度设置成变量，用操作数EFFL控制有效焦距在1 300mm，优化后可以得到主镜厚度为－251.832mm，负号表示与全局坐标Z的方向相反。

图4 耦合系统仿真图Fig.4 Simulation diagram of coupling system

3.2 优化过程的控制和优化结果

优化函数列表如图5所示。包括3个部分：1）耦合效率的控制。利用IMAE控制耦合效率；2）锥形导管的尺寸控制。利用边界操作数NPGT和NPLT来控制输入面直径、输出面直径和导管长度；利用NPVA、MPVA和DIFF控制输出面和像面的距离；3）监控输入面所能覆盖的最大视场。

图5 优化函数表Fig.5 Merit function table

由于Zemax优化函数对边界操作数的优化非常慢，因此有必要手动逐步试探来控制边界操作数的优化顺序，加快优化过程。具体实施步骤为：1）在IMAE操作数视场大小中填入2倍输入面对应的最大视场，控制输出面和像面的距离在0.1mm；2）将输入面半径设定成变量，同时优化IMAE并利用操作数NPLT和NPGT限定控制输入面直径2mm，并调整IMAE操作数视场大小；3）将输出面作为变量，同时优化IMAE和利用OPLT和OPGT控制导管长度小于20mm；4）做锤形优化，当IMAE达到目标值时，重设并稍微加大目标值。

根据图5优化函数表及优化顺序对锥形导管反复优化后，最终得出导管的参数a＝1.92mm、l＝14.65mm、b＝0.6mm。图6为导管入射端满视场（0.041°）时，波长为740nm、760nm、780nm光线的整体耦合效率η1为41.73%。且740nm和780nm的光线分别耦合时，耦合效率之差不超过0.05%，所以可认为导管在740nm～780nm光谱区内耦合效率是没有频率区别的。

式中：a和bo分别为输入面和多模光纤直径；η0和η1分别为直接耦合和利用锥形导管耦合的光线耦合效率。经计算应用锥形导管后，耦合进光纤的光线数量为直接用光纤耦合的4.53倍。

3.3 锥形导管误差分析

实际的锥形导管都不是理想的，存在加工误差，其大小都将直接影响耦合品质。对锥形导管输入、输出面直径和长度引入微扰量做光线耦合量之比K的灵敏度分析。应用几何成像分析和公式（10）得出耦合效率之比K，如表2所示。

图6 几何成像分析Fig.6 Geometric image analysis

运用同样的方法可以得出光纤直接耦合像斑的效率η0为94.22%。因耦合效率是根据输入面对应的最大视场计算的，所以没有渐晕。因此锥形导管耦合和光纤直接耦合进光纤的光线之比可以用输入面积乘以耦合效率之比K来表示：

表2 各参数引入微扰量后K的数值Table 2 Value of Kafter parameters induced perturbation

从表2可以得出各参数引入微扰量后，Ka、Kb、Kl的整体变化量为0.25、1.22和0.19。对于长度l＝14.65mm而言±0.09mm误差可以忽略不计，所以影响很小。但是输出面直径b直接影响到输出面和锥形导管半顶角θ的大小。当b增大时，虽然θ减小，根据（4）式可得满足NA的光线增多，但是耦合面不变，实际耦合进入光纤光线数量如表2所示，K会略微减小。当b减小时，θ增大同时耦合面减小，这2个条件同时减少满足NA的光线数量，令K迅速减小。同样输入面直径a直接影响输入面和锥形导管半顶角θ的大小。当a增大时，入射光线增多，半顶角θ增大；a减小时入射光线减少，半顶角θ减小。总之a的变化始终都会减少满足NA的光线数量。综上所述，需严格控制导管输入面和输出面加工误差，导管长度误差可稍微放宽，为了保证K不小于4.3，可将a、b、l的加工误差控制在0.03mm之内较为合适。

4 结论

在MR170光谱辐射仪自带的窄角卡塞格林望远镜的基础上，设计出锥形导管光纤耦合系统。通过数值分析得出锥形导管的初始结构，并利用Zemax对整个系统进行仿真优化后得出锥形导管输入面直径为1.92mm、输出面直径0.6mm、长度为14.65mm，其耦合效率是直接利用光纤耦合的4.53倍，其加工误差控制在0～0.03mm能达到较好的耦合品质。

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