在轨卫星星等建模与计算

杨 莉，吕相银，金 伟，赵纪金，杨 华

（1.电子工程学院 脉冲功率激光技术国家重点实验室，安徽 合肥230037，2.电子工程学院 红外与低温等离子体安徽省重点实验室，安徽 合肥230037）

引言

星等是天文学上传统形成的表示天体亮度的一套特殊方法，它表示天体明暗程度的相对亮度并以对数标度测量的数值。古希腊天文学家根据恒星的明亮程度把它们分成6等，最亮的星为1等星，肉眼刚好能看到的星为6等星，恒星越亮，星等数越小。望远镜技术问世后，可以看到更暗的恒星，比如现代大口径望远镜能观测25等的暗星。其中对于卫星而言，由于其反射太阳光而具有一定的亮度，若能计算其星等，就可以预估这颗卫星是否能被眼睛观测到，或者需要怎样的望远镜才能观测到。由此可见，计算卫星的星等对于卫星观测跟踪等具有重要意义。以往对于星等的研究主要是在观测方面，通过观测卫星的亮度来确定卫星的星等，理论计算方面也都没有考虑地球反照的影响，而且缺少一些通用模型［1－6］。文中研究了计算轨道卫星星等的通用数学模型，从而可以为观测跟踪卫星所需要的光学系统等硬件设计提供一定的指导。

1 卫星可见光特性计算

卫星的可见光特性主要由两部分组成，即卫星对太阳直接照射的反射和卫星对地球反射太阳光（以下简称为“地球反照”）的反射。卫星绕地球运行，同时地球带着卫星一起绕太阳公转。当太阳的位置确定以后，地球的公转轨道也就确定了，但卫星绕地球的轨道是由人工发射决定的，具体轨道的空间位置在满足天体力学的前提下可以是任意的。因此要计算卫星对太阳辐射和地球反照的反射，首先要确定卫星的轨道。

1.1 卫星的轨道描述

卫星的轨道方程由天体力学理论推导结果为

式中：p为半通径；e为偏心率；a为半长轴。

仅仅由上述轨道方程式还不能确定卫星在任意时刻所处空间的位置，要描述轨道在空间的位置，还需要一些特征量。完全描述轨道的所有特征量是：轨道半长轴a，轨道偏心率e，升交点赤经Ω，轨道倾角i，近地点幅角ω，纪元时刻的平近点角M（t0），它们总称为轨道要素。其作用分别是：轨道半长轴a和偏心率e确定轨道的大小和形状；升交点赤经Ω和轨道倾角i确定轨道平面在惯性空间的取向；近地点幅角ω确定拱点线（从远地点到近地点的直线）在轨道平面内的取向；纪元时刻的平近点角M（t0）确定时间的起点。由卫星的轨道描述可以确定卫星的空间位置，由太阳的赤经赤纬可以确定太阳光的入射方向。当卫星的空间位置及姿态和太阳光的入射方向确定以后，就可以计算卫星接收的太阳辐射了。当然同时还要考虑卫星处于地球阴影时所受地球遮挡的问题［7］。

1.2 卫星表面接收的太阳直接辐射

在计算时以三轴稳定型卫星为例，其结构形式大致为盒型，外加可展开的太阳能电池帆板。这种卫星通常采用惯性稳定，而有一个轴缓慢旋转以使有效载荷天线或敏感器指向地球，太阳能电池帆板也相对于卫星连续旋转以保持其始终面向太阳。卫星任一表面单位面积接收到的太阳辐射为

式中：ζ为日地间距引起的修正值；Esun＝1 353 W／m2，称为太阳常数；Fsun为目标表面对太阳直接辐射的角度因子。

1.3 卫星表面接收的地球反照

太阳辐射入射到地球及其大气内不同介质上，一部分被吸收，另一部分则被反射，被反射的这部分太阳辐射到达卫星表面，构成了地球反照。地球反照在卫星某一表面上的辐射能量密度为

式中：l为地球面元dAE到卫星表面的距离；η为太阳对地球面元dAE的入射角；α1为沿l和地球面元dAE法线间的夹角；α2为沿l和卫星表面法线间的夹角。dAE的积分区域为卫星表面对有太阳照射地球表面的可视范围。

1.4 卫星的可见光反射能量计算

在卫星表面为漫反射的情况下，卫星某一表面在Δλ为可见光波段的反射亮度为

式中：Li为卫星第i个表面的辐射亮度；ΔAi为第i个表面的面积；d为星地距离；θi为卫星第i个表面的法线与卫星和接收点连线的夹角；θ′为接收表面法线方向与星地连线的夹角。

式中：ρΔλ为卫星某一表面在可见光波段的反射率；kΔλ－sun为在可见光波段的太阳辐射能量占太阳全波段辐射能量的比值；其他参数含义同上。

卫星在地球上某一点产生的辐射照度，通过推导可得：

图1给出了反射率为0.5时卫星本体6个漫反射表面的可见光反射亮度在卫星运行5个周期内随时间的变化曲线。比较卫星不同侧面的反射亮度随时间的变化曲线可以看出，卫星不同侧面的可见光反射亮度随时间的变化是不一样的。这主要是由于卫星在不同时刻每个面所接收到的太阳直接照射和地球反照是不一样的。进一步比较卫星表面接收太阳直接照射与地球反照的大小可知，卫星部分表面接收到的太阳直接辐射要远远大于地球的反照，部分表面接收到的太阳直接辐射与接收到的地球反照相当，这主要是因为卫星的不同表面和太阳光的夹角不同，和地球光照区的空间关系也不同，相关的空间关系取决于轨道参数及卫星在轨道上的位置。

图1 卫星本体各个表面的可见光反射亮度Fig.1 Reflection luminance on satellite body surface

图2 给出了反射率为0.5时太阳能帆板2个表面的可见光亮度随时间的变化。由图可见，太阳能帆板的向阳表面反射亮度在出了阴影区后即达到一个最大值，之后随着时间的变化其并不是一个常数，先是逐渐降低，直到一个极小值，之后又逐渐升高，这主要是由于太阳能帆板表面始终垂直于太阳光，故接收到的太阳直射是一个常数；而太阳能帆板与地球的角度关系却在时刻变化，接收到的地球日照区的反照也时刻在变化。刚出阴影区时接收到的地球反照最大，当处于太阳和地心连线时接收到的反照为0时，于是出现了如图所示的变化。另外太阳能帆板的背阳面虽然接收不到太阳直接辐射，但还是会有一定的亮度，这显然是由地球反照造成的。

图2 卫星太阳能帆板2个面的可见光反射亮度Fig.2 Reflection luminance on satellite solar panel surface

图3给出了反射率为0.5时卫星处于光照区的可见光反射强度空间分布图。由图可以看出，在面向太阳的方向卫星的可见光强度可达1 200 W／sr。

图3 某时刻卫星可见光反射强度空间分布图Fig.3 Reflection intensity distribution of satellite

2 卫星星等的计算

由于目标在可见光波段的特性可用眼睛直接观测或通过光学系统观测，因此如何描述针对人眼观测的卫星可见光特性也是一个重要的问题，这就涉及到光度量。在天文学中，通常用视星等（可简称为“星等”）来描述所感觉到的天体发光的明亮程度。因此也可用星等来描述卫星的可见光特性。

星等的测算方法：对于两颗星体，如果其星等分别为m和m0（m＞m0），他们的亮度分别为E和E0，其亮度比率为［8］

两边取对数并取0等星的亮度E0＝1，则有：

此式即普森公式。普森公式表明，只要有明确的0等星和它的标准亮度，就可以根据所测得的天体亮度计算其星等。星等越大，则星体越暗，其中太阳的星等为－26.74。同时天文学家定义0等星在地球大气层外产生的光照度为2.089×10－6lm／m2。

由星等的测算方法可知，要计算卫星的星等，首先要计算卫星在地面所产生的光照度，然后将其与0等星的照度比较，进而求得卫星的星等。卫星在地面产生的光照度，除了与太阳对卫星的照射及卫星的高度有关外，还必然与卫星的光谱反射率密切相关。对于卫星整体在某一点产生的光谱照度，可以表示为

根据辐射度量与光度量的关系，可得卫星整体在某一点产生的光照度为

式中：Km＝683lm／W，为最大光谱光视效能值；V（λ）为光谱光视效率，它是一个与人眼视觉刺激有关的量，其曲线如图4所示。V（λ）通常适应于亮度为几Cd／m2以上的环境，称为明视觉光谱光视效率；如果亮度为百分之几Cd／m2以下的环境，则光谱光视效率曲线变为V′（λ），称为暗视觉光谱光视效率曲线。显然光谱光视效率与人眼所处环境的亮度水平有关。如果是在地面上观测卫星，则可能受到观测时间与观测条件的影响，根据实际情况可能会选择不同的光谱光视效率曲线。

图4 光谱光视效率曲线Fig.4 Curve of spectral luminous efficiency

由于V（λ）没有解析表达式，故实际计算中都是采用数值方法［9］：

如果考虑大气的衰减，则只要把上式中的EV修正为

式中τ（λi）为在波长为λi处的大气透过率。

如果卫星表面在可见光波段可视为灰体，即卫星在可见光波段的光谱反射率为一常数，由于卫星的可见光无论是来自太阳的直接照射还是来自地球的反照，都是源于太阳的可见光，卫星在可见光波段的光谱特性应与太阳光谱特性相同。此时可避开光度量与辐射度量之间复杂的变换关系，而可用一种简便的方法计算卫星的星等。卫星某一表面反射光亮度为

式中：ρV为卫星某一灰体表面在可见光波段的反射率；EV－sundir为太阳辐射在卫星表面上的光照度；EV－sunref为地球反照在卫星表面上的光照度；其他参数含义同上。

对于卫星整体在某一点产生的光照度，可以表示为

由上式可见，灰体表面卫星的星等只取决于反射率以及一些相关的几何量。如果考虑大气的衰减，设大气在可见光波段的光谱透过率为常数τV，则上式修正为

式中d为卫星到观测点的距离，对于星下点，显然d等于卫星的高度h。

实际上大气在可见光波段的透过率与波长有一定关系，但由于大气本身的复杂多变，故在一定估算精度范围内计算时，可以认为大气在可见光波段的透过率近似为一常数。

由灰体卫星星等计算式可见，灰体卫星的星等主要取决于以下一些因素：卫星的表面反射率、卫星的高度、卫星的面积与姿态等。

图5给出了反射率为0.5时卫星星等在卫星运行5个周期内随时间的变化曲线。其中的空白部分表示卫星处于阴影区，不可见。由图可见，在不同时刻卫星运行在不同的位置时，在星下点观测到的星等是不一样的，而且变化非常剧烈，这主要是由于卫星在不同位置反射到星下点的太阳辐射和地球反照差异非常大的缘故。

图5 星下点观测的卫星星等Fig.5 Satellite apparent magnitude observed from subastral point

3 结束语

卫星的星等计算涉及到卫星的轨道参数、卫星形状和表面光谱反射特性、观测点以及人眼的视觉特性等复杂因素，目前一般主要靠测量来获得相关卫星星等。本文从卫星轨道参数出发，计算了卫星的反射光能量随轨道运行的变化特征，并推导出计算卫星星等的一般公式，建立了卫星星等的通用计算模型，并以表面为灰体的卫星为例，计算了在星下点观测时，其星等随运行时间的变化，由计算结果可以看出，卫星星等在日照区运行过程中，不同星下点观测到的星等差异可达5个等级之多。文中的星等建模具有一定的工程实用价值，利用本星等计算模型，可为观测跟踪卫星所需要的光学系统等硬件条件提供一定的设计指导。

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