基于几何光学的泡沫滴／水滴光散射计算模型

迟 卫，王吉心，王 涌，兰国辉，金良安

（海军大连舰艇学院，辽宁 大连116018）

引言

舰船泡沫－水两用幕技术［1］是一种可以同时施放泡沫幕或水幕的技术，其通过舰船水幕系统［2］专门的管路系统在舰船表面区域施放泡沫形成泡沫幕，也可以直接施放水幕，兼具泡沫幕的多波段干扰功能［3－4］和传统水幕防光辐射等功能［2，5］。泡沫－水两用幕中大量的球状泡沫滴／水滴对光的散射与吸收是光衰减研究的基础，因而对其深入研究对提高泡沫－水两用幕的使用效果有巨大价值。在球状泡沫滴／水滴的光散射研究中，Van de Hulst［6］使用Mie理论与几何光学方法研究了球形粒子的光散射问题，但并未涉及具有双层表面的球状泡沫滴的光散射问题，且Mie理论求解散射场对边界条件要求苛刻，难以求解大量泡沫滴／水滴间的复杂光散射问题；金良安［7］和赵军［8］等人通过理论分析与实验研究了球状泡沫中的光传播，分析了光线在泡沫中的传播特征，发现泡沫结构和泡沫材料是造成光线强烈衰减的重要原因，减小泡沫中气泡尺寸以及增加光穿过泡沫液膜的层数可以有效提高干扰效果与透射光的衰减，但上述工作仅研究特定光线的传播和特定方向上的光衰减，并不能定量反映不同参数下球状泡沫滴／水滴的光散射特性。鉴于此，本文建立了基于几何光学的泡沫滴／水滴光散射能量分布计算模型，对非吸收条件下不同液体折射率、气泡相对尺寸的球状泡沫滴／水滴在不同散射角度内的散射强度进行数值计算，对舰船泡沫－水两用幕光衰减特性的研究提供必要的理论基础。

1 球状泡沫滴／水滴的光散射模型

由于可见光波长远小于泡沫－水两用幕滴尺寸，这种情况下光的传播服从几何光学定律［9］。由文献［6-7］知，光线射入球状泡沫滴／水滴的3种典型轨迹如图1所示。假设泡沫滴内外界面形成的球半径分别为R和r，设R＝1，则r称为相对气泡半径。当r为0时，泡沫退化为液滴。气核、液层和外部大气介质的相对折射率分别为m1、m2和m3。

图1中，光线在泡沫滴／水滴中的传播模式分为3类：穿射模式（a），全反射模式（b）和液层通道模式（c）。各种模式中，通过光传播轨迹线段／射线的起点和终点所处液层来定义光线种类，可以得到最多6类，如图1。当内侧界面处的入射角α、折射率m1与m2满足sinα·m1／m2＞1时，光线2将在内侧界面上发生全反射，因而光线3不会生成，光传播轨迹如图1（b）所示；当sinγ≥r／R时，如图1（c）所示，光线4无法和内侧界面相交，其只能在液层内传播，并最终射向外表面，纯液滴中的光传播均为该模式；其余情况下光的传播如图1（a）所示。

图1 球状泡沫滴／水滴中的光传播轨迹Fig.1 Traces of light propagation in spherical foam／water drop

光的折射角度服从斯奈尔定律［9］，其表达式如下：

内层界面的入射角α由正弦定理求解：

1、2、3、4号光线的起始点和终点对应球心为原点的极坐标角度差值分别为φ、φ1和φ2，其计算如下：

光线穿过界面发生折射与反射的能量服从菲涅尔定律［9］，角度i1为入射角而i2是折射角，F1，F′1和F2分别为入射、反射和折射光的能量，对平行极化和垂直极化的光能量取平均值。

当入射角为0°时，7（a）和7（b）由（8）式替代：

因此，3种介质间界面的透射系数和反射系数计算如下：

（9）式中，kt23和kt32为液层和大气之间外侧界面的透射系数，为透射光能量与入射光能量之比；kr23和kr32为相应的反射系数。同样地，kt12，kt21，kr12和kr21是对应的液层和气核间内侧界面的透射和反射系数。在图1（b）和1（c）情况中，射线不进入气核内部，因此9（a）式和9（b）式不使用。由于水在可见光波段内的电磁波复折射率虚部较低［10］，mm级尺寸的泡沫滴／水滴中液层对可见光的吸收可近似忽略，因此计算中认为光强度不随其在介质中的传播而改变，散射光与入射光强度总和相等。

计算中假设入射光为匀强平行光，由0°方向照射向泡沫，则由球状泡沫的中心对称性，其散射强度分布可以用二维平面上一系列强度为kP·2π·｜ri｜·R／n的光线形成的散射强度分布来等效表达。式中kP为入射光强度系数；ri为光线距球心的距离；n为从0至R范围内的光线数量，n值越高则计算精度越高。将入射光线按上述模型计算其全部散射光线的轨迹、散射方向和能量，并求得如图1所示的散射角在±τ内的散射光能量之和Wτ与入射光总能量W 之比，记作散射强度比Tτ。

忽略光在泡沫滴／水滴间的多次散射，则对于厚度均匀的泡沫－水两用幕，其被光源照亮的范围H、至探测装置的距离L与探测装置可接收到散射光的散射角度τ的关系服从：

因而在τ范围内的散射强度比Tτ对泡沫－水两用幕的光衰减性能有重要的影响。

2 计算结果与分析

利用第1节所述的模型对各种初始参数下散射角τ内单个球状泡沫滴／水滴的散射强度比Tτ的变化规律进行计算和分析。数值计算中设定单条光线计算能量精度为1×10－5，n＝5×103，R＝1，kP·π／n＝2，则入射光强度总和W 为为kP·π＝1×104；气泡相对半径r从0至0.99变化，散射角τ从1°～10°变化，空气与气泡折射率m1＝m3＝1.0，液层折射率m2从1.20至1.50变化，求得相应条件下的Tτ。

2.1 气泡相对半径r对散射强度比Tτ的影响

设折射率m1＝m3＝1.0，m2＝1.33，R＝1，r从0至0.99变化，求得τ为1°、5°和10°时的Tτ，列于表1。

表1 不同气泡相对半径r下泡沫滴／水滴的散射强度比TτTable 1 Tτthrough foam／water drops with different r

由表1可见，Tτ随τ的增加明显提高，最高达2个数量级，这是由于散射光呈一定空间分布，增加考察的散射角，则散射光强度必然大幅增加。此外随着r的提高，不同散射角τ范围内的散射强度比Tτ先下降而后提高。其中选取的τ越小，r提高使得Tτ降低的幅度就越明显。例如，τ为1°、5°和10°时，Tτ值在r＝0.2时分别为0%、0.4%、5.4%，占相应纯水滴 Tτ值的 0%、12.9%、47.4%。此后随着r继续提高，Tτ逐渐提高，至r＝0.99时分别达到了66.6%、79.8%和80.8%，此时入射能量的大部分透过球状泡沫后集中在散射角10°以内，且此范围内的散射光能量大部分集中在散射角1°内，说明泡沫的光衰减效果大大降低。

上述现象的原因是球状泡沫对光的散射作用主要依靠其内部气液介质的不均匀性，使得光线在两层界面发生复杂的折射、反射和全反射后偏离原传播方向。其中，适当的气泡半径可以提高内侧界面上全反射光线的比例，使τ内的散射光强度大幅降低；而随着r增大，液膜逐渐减薄，导致液膜的内外表面曲率差距缩小，使得光穿过泡沫滴时的方向偏转明显减小，因而光衰减效果大幅降低。

2.2 液相折射率m2对散射强度比Tτ的影响

计算中设折射率m1＝m3＝1.0，r＝0.5，m2从1.30至1.40变化，求得τ为1°、5°和10°时的Tτ列于表2。

表2 不同液相折射率m2下泡沫滴／水滴的散射强度比TτTable 2 Tτthrough foam／water drops with different m2

表2中，随着液相折射率m2的提高，球状泡沫滴／水滴的Tτ值有一定程度的降低，这一现象在τ较高时相对明显。例如τ为1°、5°和10°时，m2的变化引起Tτ下降的幅度分别为0%，11.6%和9.1%。形成这一现象的原因与2.1节类似，由于球状泡沫内外界面所形成介质的不均匀性引起光线传播方向改变，而m2的提高使介质的不均匀性更加明显，因而不论是对光线方向的偏转还是反射能量比例都相应增加，其表现即为引起Tτ的下降。但和2.1小节比较可以看出，m2的改变对Tτ的影响幅度不如r改变的影响明显，同时对于较小的散射角τ，改变m2对Tτ几乎没有影响。

2.3 液相折射率m2对最优气泡半径ro的影响

在特定的折射率参数下，以0.1R为精度，将Tτ最小值对应的r记为最优气泡半径ro，计算τ为1°、5°和10°时，m2从1.20至1.50的较大范围变化对ro的影响，列于表3。

表3 不同液相折射率m2下泡沫滴／水滴的最优气泡半径roTable 3 Optimized bubble radius rocorrespond to different m2

由表3可见，随着m2的提高，ro有一定程度的下降，且这一现象在τ较高时相对明显。这是由于m2越高，平行光经过球状泡沫滴／水滴的外表面后在液相中的汇聚效应越强，光线通过的区域截面积越小，使得要产生最优散射效果的内界面半径必须相应减小。同时，纵向对比数据可以发现，随着选取的τ值提高，ro值也相应的提高，说明所选取的散射角增大后，气泡尺寸相应增大有利于干扰考察范围内光线的传播。

3 结语

基于几何光学原理，对舰船泡沫－水两用幕中球状泡沫滴／水滴的光散射过程建模，利用该模型对折射率为1.20至1.50范围内、气泡相对半径为0至0.99的泡沫滴／水滴在1°、5°和10°散射角内的散射光与入射光强度之比Tτ进行了数值计算。结果表明，在所设定的计算条件下Tτ随散射角τ的增大而提高，τ从1°提高至10°，Tτ最高可增加2个数量级；Tτ随液相折射率m2的上升而降低，m2从1.30至1.40变化时，Tτ降幅最高达11.6%；Tτ随气泡相对半径r的增加先下降而后提高，分别达到最低0.0%和最高80.8%；Tτ达到最低值对应的最优气泡半径ro随m2的降低和τ的增大而提高，从0.1最多增至0.4。因此，对于特定的泡沫－水两用幕与光学探测装置相对距离、光源的照射范围，应选取适当的两用幕工作参数以获得最佳的光衰减效果。这一研究结论可为舰船泡沫－水两用幕技术的发展提供必要的理论基础和数据支持。

由于文中仅考察非吸收条件下泡沫滴／水滴的光散射规律，因而仅适用于泡沫－水两用幕衰减可见光波段和其他吸收系数较低的电磁波段的情况。对于强吸收波段电磁波受泡沫－水两用幕的衰减建模和计算，仍有待于在后续研究中深入开展。

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