基于自适应阈值函数的小波阈值去噪方法

吴光文 王昌明 包建东 陈 勇 胡扬坡



基于自适应阈值函数的小波阈值去噪方法

吴光文*①②王昌明①包建东①陈 勇①胡扬坡①

①(南京理工大学机械工程学院 南京 210094)②(东华理工大学电子与机械工程学院 抚州 344000)

去噪是小波分析的一个重要应用领域，相对于其它方法，小波变换具有对信号时频局部性详细刻画的优势。在信号的去噪处理过程中，如何在削弱噪声的同时又最大限度的保留信号的奇异性特征是信号去噪研究的一个核心问题。该文提出一种基于自适应阈值函数的小波去噪方法，通过调整阈值函数实现在信号小波分解的细尺度上去除噪声的同时又尽量保留信号细节系数，而在宽尺度上最大限度地滤除噪声部分的小波系数。通过对blocks, bumps和水下目标回波信号的仿真实验证明，该方法和现有的阈值去噪方法相比，具有显著的优势，能够在滤除噪声的同时很好地保留信号的奇异性特征。

信号处理；小波去噪；阈值函数

1 引言

经过仔细分析研究，本文提出一种自适应调整阈值函数的去噪方法，该方法在去噪的同时考虑了保留信号奇异性的问题，能比现有的单纯基于最小均方差意义上的去噪方法更好地满足目标特征提取的要求。

2 非稳态信号的小波阈值去噪

2.1 非稳态信号奇异特征提取中的去噪问题

在对非稳态含噪信号的模式识别中，去噪的过程中需要考虑保留信号的奇异性问题，在低信噪比的信号去噪处理中，这一点尤为重要。如水下目标的信号，信噪比非常低，真实的信号往往被淹没在噪声之中，而且大量的代表目标特征的奇异点需要在去噪过程中保留。如图1所示，图1(a)中的原始数据为水下金属圆柱体的回波信号轮廓，波形中包括多个突变信号。图1(b)为图1(a)中的数据加入高斯白噪声后的信号波形，图中信号基本淹没在噪声之中。图1(c)中的图形为含噪数据用硬阈值函数去噪后的效果图，噪声基本被滤除，但是一些小的细节信号(如图中矩形框标注部分)也被平滑掉了。图1(d)是用软阈值函数去噪后的效果图，为了减少信号幅值的整体衰减，选用的阈值为图1(c)中所用阈值的一半，可以看到，虽然相对于硬阈值函数滤波较好地保留了信号的细节部分，但是也保留了较多的噪声。为了在去噪处理中尽量地保留信号的细节，需要设计介于硬阈值函数和软阈值函数之间的新阈值函数。

2.2 小波阈值去噪模型

小波阈值去噪的原理[7]是：信号经过小波变换后，能量分布在少数的系数上，即信号的小波系数具有良好的局部性，并且这些小波系数显著地分布在各个分解尺度上。而环境噪声经过小波变换后的系数分布在细尺度变换的整个小波域内，并随着分解尺度的变大而变小。对应的小波去噪过程分为3步：(1)对含噪信号进行小波变换；(2)保留最大尺度下低通滤波的系数(这部分小波系数对应真实信号部分)，而对各个尺度高通滤波处理获得的系数进行非线性处理，即根据设定阈值函数和阈值对信号进行去噪处理；(3)对处理后的小波系数进行小波逆变换，获得去噪后的估计信号。

含噪信号可以用数学模型表示为

图1 使用传统阈值函数对水下目标回波去噪效果图

2.3 一种新阈值函数

为了解决图1中存在的问题，需要一种介于硬阈值函数和软阈值函数之间的阈值函数，受到文献[9, 10]的启发，本文构造了一种新阈值函数，区别于传统意义上的硬阈值函数和软阈值函数，将其命名为可变阈值函数，含义是可以根据实际信号调整软硬程度的可变阈值函数。相对于文献中的阈值函数，本函数的数学表达简洁，结构完美对称，并且纠正了文献[10]中的一处书写错误。

综上所述，本文提出的阈值函数能够在临界区实现小波系数削弱程度的平滑过渡，可以通过调整参数确定临界区域的大小。值越大，越接近于硬阈值函数处理过程，可以对临界区的小波系数进行大尺度的收缩。因此，当值比较大时，适合处理信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)比较高的含噪信号。反之，值越小，处在临界区的小波系数就越多，可以在收缩噪声系数的情况下更好地保留信号细节小波系数，从而保持信号原有的局部奇异性。

图2 可变阈值函数图形

2.4 阈值函数的自适应选择

高斯白噪声在各个尺度上的近似能量为

表1水下回波信号在5个尺度上的能量分布占总能量的比例

能量分量S1S2S3S4S5 d10.01820.01720.01040.01180.0267 d20.02990.02620.01340.01990.0284 d30.04870.03780.03930.06270.0340 d40.02810.02770.07870.03950.0956 d50.20790.18190.24250.21950.1801 a50.66720.70910.61570.64660.6351

3 自适应阈值确定方法

3.1 均方差意义下的最佳阈值确定

定义函数：

SURE是式(13)的一个无偏估计[3]，定义为

3.2 信号去噪流程

根据本文提出的方法，含噪信号的去噪流程如图3所示，首先对含噪信号进行小波变换，接着对每层小波变换的结果选取自适应的阈值函数，求解对应MSE意义上的最佳阈值，进行去噪处理，最后进行小波逆变换获得去噪后的信号。

4 去噪处理实验仿真

用matlab自带的blocks和bumps信号进行实验，验证本文方法对普通信号的去噪效果；用水声回波信号进行实验，验证本文方法对特定信号的去噪效果。分别使用硬阈值函数、软阈值函数和文献[10]提出的连续且一阶可导的阈值函数对含噪声信号进行处理，将处理结果和本文方法对比。

4.1 通用信号的去噪处理实验仿真

利用不同的去噪方法对blocks和bumps含噪声信号进行处理，求取去噪后的信噪比(SNR)、均方根误差(RMSE)和局部峰值相对误差(LREPV) 3个指标。局部峰值相对误差(LREPV)用于衡量原始信号的奇异性保留情况，定义为局部峰值相对误差的平均值，本文实验中选取的局部点的数目为128，原信号长度为4096。计算公式为

表2 各种方法对blocks信号的去噪指标

表3 各种方法对bumps信号的去噪指标

图3 基于自适应阈值函数的去噪流程

观察表2，表3中的数据和图4中的波形，可以发现后面两种方法比传统的硬阈值法和软阈值法去噪效果的各项指标都有较大的改进。再对后面两种方法进行比较，信噪比和均方根误差两个指标相差不是很大，本文方法优于文献[10]的地方是在保留信号的奇异性方面。通过表中的数据可以很清楚地发现本文方法的有效性。通过比较图4(e)和图4(f)也可以发现，文献[10]方法去噪的信号在保留信号的奇异性方面比本文的方法差，这主要是因为文献[10]中选择阈值函数时是根据操作者的经验，而本文方法是根据观测到信号的具体特征来自适应地选择合适的阈值函数。

4.2 水声回波信号去噪处理实验仿真

实验数据来自文献[19]，包括111组从水下金属圆柱体和97组从水下岩石返回的声呐数据。这些数据是回波信号的轮廓，实验中将随机取20组数据叠加代表水下环境噪声的零均值高斯白噪声。利用本文的去噪方法对每组数据进行处理，求取每组数据的信噪比(SNR)、均方根误差(RMSE)和局部峰值相对误差(LREPV) 3个指标，然后计算这20组数据的SNR平均值，RMSE平均值和LREPV平均值。用软阈值函数去噪方法、硬阈值函数去噪方法、文献[10]去噪方法和本文所提方法对这20组数据进行相同的处理过程，将所得的结果进行比较，数据如表4所示。

从表4中可以看出，信噪比和均方误差两个指标，后两种方法的去噪效果均优于传统方法。根据局部峰值相对误差的比较结果，本文方法相对于文献[10]方法，能够更好地保留信号的局部峰值，也就更好地保留了信号的局部奇异性。

实验中其中一组信号波形对应的不同去噪方法所得的信号波形如图5所示。图5(a)为水下金属圆柱体的声呐回波信号图；图5(b)为叠加高斯白噪声后的波形图；图5(c)是使用硬阈值函数去噪后的函数波形图；图5(d)为使用软阈值函数去噪后的信号波形图；图5(e)为使用文献[10]方法去噪后的波形图；图5(f)为使用本文方法去噪后的波形图；从图中可以看出，文中提出的自适应阈值函数去噪方法优于传统的软阈值函数、硬阈值函数，并且在保留信号的奇异性方面优于文献[10]方法，能够更好地保留信号的细节部分。

表4各种方法对回波信号的去噪指标

去噪方法硬阈值函数法去噪软阈值函数法去噪文献[10]方法去噪本文方法去噪 信噪比(dB)23.353121.238624.735225.0364 均方根误差0.022550.036690.021360.01927 局部峰值相对误差(%)2.4854.5122.1041.896

图5 各种方法对回波数据的去噪效果比较

为了验证本文去噪方法处理的数据对改善水下目标识别正确率的效果，选取文献[19]提供的水下岩石回波信号和水下金属圆柱体回波信号各95组，其中每类35组作为训练样本，60组作为测试样本。分别用本文方法和水声信号去噪领域中常用的自适应滤波方法进行处理，将两种方法处理的结果分别输入到误差反向传播算法(Back Progagation, BP)神经网络进行目标分类识别实验，实验的结果如表5和表6所示。

虽然目标分类识别的结果受到特征提取，BP神经网络学习过程等其它因素的影响(因为识别目标是一个总体效果，一个系统工程)，但是通过比较表5和表6的数据还是可以发现，水下回波信号在经过本文方法的处理以后，正确识别率有了较大的提高。

5 结束语

为了解决水下目标回波信号的去噪需要，本文提出了一种新的带参数的阈值函数，根据噪声信号在各个小波变换尺度上的能量分布自适应地调整阈值函数，获取各个尺度上的最佳阈值函数，进而利用SURE无偏估计求取最小均方差意义上的最佳阈值。将文中的方法对水下物体的声呐回波信号进行去噪处理，期望实现在去噪的同时更好地保留含噪信号的奇异性的目的，为后续的目标识别奠定了基础。

在仿真实验中，为了验证算法的通用性，进行了blocks信号、bumps信号和水中静态目标的回波信号的实验。对不同的信号用传统的阈值函数去噪，用文献[10]中的方法去噪，然后与用本文方法去噪结果进行比较，结果表明，本文方法去噪的效果在信噪比和最小均方差方面效果更好，而且能够较好地保留原始信号的奇异性，可以为后续的目标识别过程提供更真实的输入信号，能够比较显著地提高对水下目标分类识别的正确率。

表5自适应滤波方法处理后的分类效果

样本类别样本个数训练样本集合正确识别个数识别正确率(%)样本个数测试样本集合正确识别个数识别正确率(%) 金属圆柱体3535100604981.7 岩石3534 97.1604676.7

表6本文滤波方法处理后的分类效果

样本类别样本个数训练样本集合正确识别个数识别正确率(%)样本个数测试样本集合正确识别个数识别正确率(%) 金属圆柱体3535100605286.7 岩石3535100605083.3

[1] Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation[J]., 1989, 11(7): 674-693.

[2] Donoho D L. De-noising by soft-thresholding[J]., 1995, 41(3): 613-627.

[3] Zhang X P and Desai M D. Adaptive denoising based on SURE risk[J]., 1998, 5(10): 265-267.

[4] Donoho D L and Johnstone I M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J]., 1994, 81(3): 425-455.

[5] Krim H, Dewey T, Mallat S,. On denoising and best signal representation[J]., 1999, 45(7): 2225-2238.

[6] Pan Q, Zhang L, Dai G Z,. Two denoising methods by wavelet transform[J]., 1999, 47(12): 3401-3406.

[7] 潘泉, 戴冠中, 张洪才, 等. 基于阈值决策的子波域去噪方法[J]. 电子学报, 1998, 26(1): 115-118.

Pan Q, Dai G Z, Zhang H C,. A threshold selection method for hard-threshold filter algorithm[J]., 1998, 26(1): 115-118.

[8] 潘泉, 孟晋丽, 张磊, 等. 小波滤波方法及应用[J]. 电子与信息学报, 2007, 29(1): 236-242.

Pan Q, Meng J L, Zhang L,. Wavelet filtering method and its application[J].&, 2007, 29(1): 236-242.

[9] 孟晋丽, 潘泉, 张洪才. 基于相邻尺度积系数的半软阈值小波滤波[J]. 电子与信息学报, 2007, 29(7): 1649-1652.

Men J L, Pan Q, Zhang H C,. Denoising by multiscale product coefficient semi-soft thresholding[J].&, 2007, 29(7): 1649-1652.

[10] Mehdi N and Hossein N. Image denoising in the wavelet domain using a new adaptive thresholding function[J]., 2009, 72(4/6): 1012-1025.

[11] Liu W Y and Han J G. The optimal Mexican hat wavelet filter de-noising method based on cross-validation method[J]., 2013, 108: 31-35.

[12] Beenamol M, Prabavathy S, and Mohanalin J. Wavelet based seismic signal de-noising using shannon and tsallis entropy[J]., 2012, 64(12): 3580-3593.

[13] Li J, Cheng C K, and Jiang T Y. Wavelet de-noising of partial discharge signals based on genetic adaptive threshold estimation[J]., 2012, 19(2): 543-549.

[14] Atto A M, Pastor D, and Mercier G. Wavelet shrinkage: unification of basic thresholding functions and thresholds[J], 2011, 5(1): 11-28.

[15] Stefan W, Chen K W, Guo H B,Wavelet-based de-noising of positron emission tomography scans[J],2012, 50(3): 665-677.

[17] Sanam T F and Shahnaz C. Noisy speech enhancement based on an adaptive threshold and a modified hard thresholding function in wavelet packet domain[J]., 2013, 23(3): 941-951.

[18] Stein C M. Estimation of the mea of a multivariate normal distribution[J]., 1981, 9(6): 1135-1151.

[19] Sejnowski T and Gorman P. Sonarmines.txt[OL]. http:// www.ics.uci.edu/~mlearn, 2013, 4.

吴光文： 男，1978年生，博士生，讲师，研究方向为信号处理、水声信号处理、水下目标识别和嵌入式系统.

王昌明： 男，1952年生，教授，研究方向为水下目标探测与定位和水中兵器测试.

包建东： 男，1979年生，讲师，研究方向为水下兵器的测试.

A Wavelet Threshold De-noising Algorithm Based onAdaptive Threshold Function

Wu Guang-wen①②Wang Chang-ming①Bao Jian-dong①Chen Yong①Hu Yang-po①

①(,,210094,)②(,,344000,)

De-noising is an important application field of the wavelet analysis. It has advantage over the traditional filtering methods for its well localized time and frequency property. A central issue in the signal de-nosing research is how to obtain a good balance between shrinking noise and preserving the signal singularity features. This paper presents a wavelet de-noising method based on an adaptive threshold function. By tuning the parameter of the threshold function, the noise wavelet coefficients are shrunk while the signal details are preserved as much as possible on the small scales of the wavelet transform, and on the other hand, the noise coefficients are removed to their maximum extent on a large scale. The simulation results of the blocks, bumps and signals corresponding to the sonar returns from underwater targets, demonstrate that the signal singularity features by adopting the proposed method are better preserved with significant advantage than the traditional threshold filtering method.

Signal processing; Wavelet de-noising; Threshold function

TN911.7

A

1009-5896(2014)06-1340-08

10.3724/SP.J.1146.2013.00798

吴光文 wu_gw@163.com

2013-06-04收到，2014-01-24改回

国家自然科学基金(61161010, 11265001)资助课题