论零件在随机应力和强度下模糊事件的概率

黄立中

【摘要】论述并推导了零件在随机应力和随机强度下可靠度的模糊应力或模糊强度事件的概率问题及计算公式；零件在随机应力和随机强度下的一般模糊事件的概率问题及计算公式。

一、零件在随机应力和随机强度下可靠度的模糊应力或模糊强度事件的概率表达

设随机应力和随机强度的概率密度函数分别为和，其函数曲线如图1所示。

由应力和强度干涉和概率密度函数联合积分法可以推得可靠度计算公式：

（1）

在随机应力和随机强度的分布密度已知的情况下，（1）式计算的零件可靠度是一个确定的数值。零件在随机应力和随机强度下的可靠度的计算可以转化为零件在随机应力和由随机强度决定下的模糊强度隶属函数的模糊概率问题。对（1）式经简单变换即可：

由于（1）式中符合隶属函数定义区间，因此，

（2）

可以看出（2）式为戒上型（偏小型）隶属函数；将（2）式分别代入（1）式并进一步推得：

（3）

由此可见，（3）式为随机应力与模糊强度或者为随机强度与模糊应力所表达的模糊事件的模糊概率的可靠度的计算公式。

二、零件在随机应力和随机强度下的一般模糊事件的概率问题

零件在随机应力和随机强度下的模糊事件的概率，其概率密度为和，则功能密度函数为：

（4）

其中和表示影响零件强度和应力的各种因素矢量，Z为影响零件功能的各种因素矢量。

对于（4）式可以提出如下三种随机强度和随机应力的模糊事件及其概率问题：

即随机应力和随机强度相等的临界模糊事件}；

即随机应力大于随机强度的失效模糊事件}；

即随机应力小于随机强度的安全模糊事件}。

对于模糊事件为对称型隶属函数；对于模糊事件为戒上型隶属函数；对于模糊事件为戒下型隶属函数。这里以线性隶属函数给出计算公式。

这三种模糊事件的概率由勒贝格积分公式可得：

（5）

如果这三个模糊事件互补且完备，则这三个模糊事件的概率和應为1。

由（5）式可知模糊事件的概率可以通过计算机仿真求隶属函数的数学期望。

三、结论

对于给定的随机应力和随机强度，在概率分布密度函数已知的情况下，零件的可靠度由应力—强度干涉模型给出的可靠度是唯一的，可以转化为相应模糊应力和随机强度或模糊强度和随机应力的模糊事件的概率所表达的可靠度，是分别由随机强度和随机应力的概率分布密度函数唯一确定。

参考文献

[1]王超，王金编著.机械可靠性工程.北京：冶金工业出版社，1992

[2]王彩华，宋连天编著.模糊数学方法学.北京：中国建筑工业出版社，1988