高中数学排列组合中几种常见的数学模型

摘 要：以常见的排列组合试题为例，分析了各种排列组合中的数学模型，以期帮助学生更快更准确地解决排列组合问题。

关键词：高中数学；数学模型；排列组合

排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。

一、特殊元素优先数学模型

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。

例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。（用数字作答）

解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。

点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。

二、捆绑式数学模型

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排， 这种模型称为“捆绑式数学模型”。這种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。

例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？

解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。所以共有36种不同的安排方法。

点评：由于两个工人在同一个房间没有排列问题，所以不能自排。还有一种典型的错误排法，先在四个人中选出三个工人入住三个房间，有24种方法，再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个，共有4种方法，故共有96种方法。请学生思考，这种方法为什么是错误的？

三、插空式数学模型

对于某些元素要求不相邻排列的问题，可先排好没有限制条件的元素，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙及两端位置，这种模型称为“插空式数学模型”。

四、AB型数学模型

对于一些排列组合问题，不同的元素或不同的情况只有两种，我们可把它们视为A和B，再进行排列，这种模型称为“AB型数学模型”。坐座位问题，射击问题，相同的小球放入盒中的问题，方程解的个数问题等等都可以归结为“AB型数学模型”。

例3.一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？

解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走1级或2级。显然必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。其余的填写A，这是一个8选2的组合问题，所以一共有28种走法。

点评：本题利用AB型数学模型，把一个实际问题映射为一个纯数学问题。

提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题。这样有利于学生区别模式，并进而熟练运用。本文列举了四种常见的排列组合典型问题的解题模型，希望能对大家有所帮助。

参考文献：

[1]王雷，连四清.数学问题解决方式的比较研究[J].数学教育学报，2010.

[2]顾亚楠.排列组合中的数学思想方法[J].考试：高考理科版，2008.

作者简介：林子碧，男，出生年月：1979.11，本科，福建省泉州市南安华侨中学，研究方向：中学数学教学。